2.3.2等比数列前n项和 中国人民大学附属中学
传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调 的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人——他的宰相西萨•班•达依尔，让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格四粒麦子……以此类推，每一格上的麦子数都是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求。实际国王能满足宰相的要求吗？
经过计算，我们得到麦粒总数是 =18446744073709551615（粒） 已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨
再看另一个问题： 甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏？ 分析：数学建模 {an}：100 ，100 ，100……100 q=1 {bn}： 1 ， 2 ， 22 …… 229 q=2
S30 =100+100+……+100 T30 =1+2+22 +…… +229 这是一个比较大小的问题，实质上是求等比数列前n项和的问题。 在等比数列{an}中 当q=1时 ，Sn=a1+a2+a3+……+an－1+an= na1 当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an－1+an =？
S1=a1 S2=a1 +a2 =a1+a1q =a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2 =a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3 =a1(1+q+q2+q3)
观察： 猜想得：
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ① qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ② ① —②得： Sn (1—q)=a1—a1qn 当q≠1时， 等比数列{an}前n项和
二者不能兼容，体现分类讨论的必要性。 数学游戏问题答案： 230–1 (分)＝10737418. 23 (元) 远大于3000元
1、注意q=1与q≠1两种情形 2、q≠1时， 3、五个量n、a1、q、an、Sn中，解决“知三求二”问题。
例1．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？ 解：这句古语用现代文叙述是： 一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。 如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为a1= ，公比q= 的等比数列，
它的前n项和为 总小于1， 不论n取何值， 这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。
例2．等比数列{an}的公比q= ，a8=1，求它的前8项和S8。 解1：因为a8=a1q7，所以 因此
解2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项， 即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}， 其中b1=a8=1，q’=2，所以前8项和
分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不能直接用公式求和， 例3．求和 个 分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不能直接用公式求和， 但将它转化为 10－1，100－1，1000－1，……， 就可以解决了。
解： 原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1) =(10+100+1000+……+10n)－n
例4．某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p>0)，求这个工厂去年全年产值的总和。 3月，4月，……，的产值分别为a(1+p)2元，a(1+p)3元，……， 所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p，
答：该工厂去年全年的总产值为 元。
练习： 1.在正项等比数列{an}中，若S2=7, S6=91, 则S4的值为（ ） （A）28 （B）32 （C）35 （D）49 A
2．一个等比数列共有3n项，其前n项之积为A，次n项之积为B，末n项之积为C，则一定有（ ） （A）A+B=C （B）A+C=2B （C）AB=C （D）AC=B2 D
3．在等比数列{an}中，Sn=k－( )n，则实数k的值为（ ） （A） （B）1 （C） （D）2 B
14．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6=3, log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为 （ ） （A） （B） （C）2 （D） A
5．数列{an}的前n项和Sn满足loga(Sn+a)=n+1 (a>0,a1≠0), 则此数列的通项公式为 . an=(a－1)an 6. 2+(2+22)+(2+22+23)+…+(2+22+23+…+210）= 。 212－24