第4章 布尔代数的应用、小项与大项展开式 本章中我们将继续学习布尔代数的应用，并介绍另外两种逻辑函数表示方法：小项与大项表达式。 第4章 布尔代数的应用、小项与大项展开式 本章中我们将继续学习布尔代数的应用，并介绍另外两种逻辑函数表示方法：小项与大项表达式。 计算机学院 许光全

4.1 文字描述项布尔等式的转换 设计单输出组合开关电路的三个主要步骤： 1. 找到一个可以描述电路功能的开关函数。 2. 为此函数找到一个简化了的代数表达式。 3. 采用现有的逻辑元件实现已经简化过的函数。 对于简单问题，我们可能会直接从电路功能的文字描述得到具有此输出函数的代数表达式。在另外一些情况下，更好的做法是，首先用真值表描述输出函数，然后由真值表推导出代数表达式。

例如，下面的语句有三个命题： 如果 “现在是星期一晚上” 并且 “她已经做完家庭作业”， “玛丽观看电视”。 如果和并且这两个词没有包括在命题内，它们指出了命题间的关系。我们为每个命题定义一个两值变量来指示每个命题的真假： 如果命题“玛丽观看电视”为真，F＝1，否则F＝0 如果命题“现在是星期一晚上”为真，A＝1，否则A＝0 如果命题“她已经做完家庭作业”为真，B＝1，否则B＝0 若A和B全为真则F为真，因此我们用F＝A.B来代表这个语句。

再例如：某个报警电路设计按下述情况操作： 当且仅当报警开关闭合并且门没有关闭，或者时间是下午6点以后并且窗户没有闭合，报警器响。 我们将文字中的每个命题与一个布尔变量关联起来。若命题为真则变量值为1，否则为0。我们使用下列变量赋值： 当且仅当 报警开关闭合 并且门没有闭合， 或者 时间是下午6点以后 并且窗户没有关闭， 报警器响。 A B‘ C D’ Z

上述变量的含义：若Z＝1则报警器响。若报警器开关闭合则A＝1，若现在时间是下午6点以后则C＝1。如果我们用B表示门已经关闭，则B’表示门没有关闭，那么若门已关闭则B＝1，若门没有关闭则B‘＝1（B＝0）。同理，若窗户已经关闭则D＝1，若窗户没有关闭则D’＝1，使用上述变量赋值，则上面的文字可以转换程下面的布尔等式： 这个等式与下面的电路一致：

4.2 用真值表设计组合逻辑 A B C f f’ 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 一个开关电路有三个输入和一个输出，如上图所示，输入A、B、C分别代表二进制数N的第一、二、三位。有如下逻辑关系：若N>=0112,f=1,若N<0112,f=0,f的真值表如表所示：

我们可以直接从真值表中读出f的表达式： 上式通过合并可以化简，从而消除A‘： 由上式可以得到下面的电路：

除了用功能为1的项来书写f外，也可以用功能为0的项来书写f： 实际上，这是负逻辑！注意：这时候原变量是A’，B’和C’ 整理各项，上次化简为：

此外，还可以先求出f’，然后利用摩根律得到f。

4.3 表达式的最小项和最大项 1、最小项和最大项： １）最小项：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。 可见三变量逻辑函数的最小项有8个（23），四变量逻辑函数的最小项有16个（24），则 n变量逻辑函数的最小项有2n个。

若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。例： 和 ，这两个最小项相加时能合并，并可消去1个因子。 最小项性质： ①在输入变量的任何一组取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积为0。 ③全体最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和可以合并为一项并消去一个因子。

2）最大项：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量的和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。 三变量最大项的编号表如下： 以A，B，C取值所对应的十进制数给最大项编号。

可见：三变量逻辑函数的最大项有23个，四变量逻辑函数的最大项有24个，n变量逻辑函数则有2n个最大项，其数目与最小项数目是相等的。 最大项性质： ①在输入变量的任何一组取值下，必有一个，而且只有一个最大项的值是0。 ②任意两个最大项之和为1。 ③全体最大项之积为0。 ④只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。 对比可知，最大项和最小项存在如下关系：

2、逻辑函数的最小项之和形式： 利用基本公式 A+A´=1 可把任一逻辑函数式展开为最小项之和的形式。这种形式在逻辑函数的图形化简法中以及计算机辅助分析和设计中得到广泛应用。

3、逻辑函数的最大项之积形式： 如果已知逻辑函数为Y=∑mi时，定可将它化成编号 为i以外的最大项之积。

例：将逻辑函数 化为最大项乘积的形式。

4、最小项与最大项之间的关系： 1. 或 2.某函数F若用P项最小项之和表示，则该函数的反函 数 可用P项最大项之积表示，而P项最大项及最小项 的标号完全一致。 例：F=m1+m3+m6+m7

3.一个n变量函数，当用积之和的标准型表示时，最 小项的下标号正好不是用和之积标准型表示时的最 大项的下标号，反之亦然，而且最小项与最大项的 下标号的总和为2n。 例： F=m(0,1,3,6) 可转换为：F= M(2,4,5,7)

作业 P78 4.1， 4.2， 4.3， 4.7， 4.8， 4.9， 4.10，4.19， 4.21