尺规作图 邹林强 数学院 1210017 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 1/27

中学阶段的尺规作图 作线段的垂直平分线 作过三个点的圆 作全等三角形 作角的平分线 作一个角等于已知角 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 2/27

尺规作图的概念 尺规作图 在平面几何作图时只允许使用没有刻度的直尺和圆规 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 3/27

乔治.摩尔(Georg Mohr)与单规作图 1672年 丹麦数学家乔治.摩尔证明了：如果将直线看作直 线上的两点，那么凡是尺规能作的图，单用圆规也能作。 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 4/27

尺规限制 欧几里得工具 约公元前465年 希腊人伊诺皮迪斯(Oenopides of Chios)提出 几何作图只用直尺和圆规这两种工具的限制。 公元前三世纪 欧几里得将其归入《原本》的公理系统 《原本》 欧几里得 (B.C. 330-B.C. 275) 欧几里得工具 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 5/27

《原本》中的五大公理 等于同量的量彼此相等 等量加等量，和相等 等量减等量，差相等 彼此重合的图形是全等的 整体大于部分 亚里士多德：公理是一切科学共有的真理，而公设则是 某一科学所能接受的第一性原理 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 6/27

《原本》中的五大公设 从任意一点到任意一点可作一直线 一条有限直线可不断延长 以任意中心和直径可以画圆 凡直角都彼此相等 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 7/27

希尔伯特公理系统 1899年 德国数学家希尔伯特(Hilbert，1862—1943)归纳 完整的欧几里得几何公理，包括基本概念、基本对象、基本 关系，包含了结合、顺序、合同、平行、连续五大公理。 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 8/27

用尺规作图解一元二次方程 求一元二次方程x2-ax+b=0(a2>4b)的根 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 9/27

倍立方体问题 倍立方体问题也叫提洛(Delos)问题，起源于建筑的需要。 根据埃拉托塞尼(Eratosthenes，约公元前276一前195)记载 关于这个问题起源的两个神话传说 第一个传说是鼠疫蔓延提洛岛，一个先知者说已得到神的谕示， 必须将立方形的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息。建筑 师很为难，不知怎样才能使体积加倍，于是去请教柏拉图。柏 拉图对他们说：神的真正意图不在于神坛的加倍，而是想使希 腊人为忽视几何学而感到羞愧。 另一个故事说一个老诗人描述克利特王迈诺斯为死去的儿子修 坟。他不满意建筑师的设计，指责说：将体积加倍，但仍保持 立方体的形状。 这两个传说都表明倍立方问题起源于建筑的需要。 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 10/27

埃拉塞托尼与筛法 100以内的素数有：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 11/27

希波克拉底的进展 a:x=x:y=y:2a 希波克拉底指出了倍立方体问题可以化为求一线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题。 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 12/27

圆锥曲线与倍立方体问题 梅内赫莫斯(Menaechmus，约公元前360)为解决倍立方体问题 而发现了圆锥曲线。 事实上倍立方问题的解就是： x2=ay y2=2ax xy=2a2 中任意两圆锥曲线的交点的横坐标 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 13/27

尺规作图三大问题的不可能性 1837年法国数学家旺泽尔(P．L．Wantzel)首先在代数方程论 基础上证明了倍立方不可能只用尺规作图 伽罗华 （1811-1832) Galois 伽罗华理论 可尺规作图的伽罗华准则 推论：若在欧几里得意义下z可用尺规作图， 则z是有理数域Q上的代数元，且z在Q 上的不可约多项式Irr(z,Q)是2l（l是非 负整数）次多项式。 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 14/27

三等分角问题与正九边形 三等分角问题起源于作正多边形问题 古希腊人可以尺规作图正三、四、五、 六、八、十边形，却在作正九边形时 遇到了问题。如果可以将2π/3三等 分的话 那么就可以做出正九边形了 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 15/27

阿基米德与三等分角器 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 16/27

希比阿斯与割圆曲线 诡辩学派的希比阿斯为了三等 分任意角而发明了“割圆曲 线”(quadratrix) 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 17/27

化圆为方问题 几何的起源是面积测量 希腊人韦勒(Were)能作一个正方形使其面积等于任一 已知多边形的面积 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 18/27

化圆为方问题 公元前5世纪下半叶开奥斯的希波克拉底 (Hippocrates“Chios)解决了与化圆为方 有关的化月牙形为方 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 19/27

安提丰与穷竭法 诡辩学派的代表人物安提丰(Antiphon ，约公元前480---前411)，则首先 提出了用圆内接正多边形逼近圆 面积的方法来化圆为方．他从 一个圆内接正方形出发，将边 数逐步加倍得到八 边形、正十 六边形、……、无限重复这一 过程，随着圆面积的逐渐“穷 竭”(exhaustion)，将得到一个 边长极微小的圆内接正多边形． 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 20/27

达芬奇的圆柱法 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 21/27

π是超越数 Maclaurin公式 Euler公式 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 22/27

π是超越数 1844年刘维尔发现第一个确认为超越数的数， 刘维尔（Liouville）常数： 林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数α， eα都是超越数 林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem） 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 23/27

尺规作图三大不可能问题 三大问题的求解使人们发现了多种曲线，开创了曲线 研究的新局面，极大地丰富课古希腊几何研究的内容。 另一方面，对几何三大问题的深入研究还引出了其他 一些数学方法与数学知识上的发现。化圆为方问题促进了 穷竭法的研究，该方法孕育课近代极限论的思乡，具有划 时代的意义，后来成为阿基米德计算圆周率方法的先导。 三大问题还直接或间接地影响了有理数域、代数域与 超越数、群论等的发展。 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 24/27

高斯作正十七边形 “那是1796年3月29日，机会与此毫无关系．在这以前， 实际上在1796年冬天(我在哥廷根的第一学期)，我已经发 现了关于方程(XP一1)／(x一1)=0的根分离为2组的方方面 面．在算术范围内认真考虑一切根的相互关系之后，在布 伦瑞克(Braunschweig)的假日期间，那天早上我(起床前) 以最清楚的方式思考这个关系，我成功了，因此立即把它 应用于正17边形与数值证明．” ——T．贝尔(Bell)《数学的发展》 (Development of Mathematics) 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 25/27

作正五边形 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 26/27

作正十七边形 邹林强（数学院） 尺规作图 2013.3.26 27/27