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第八章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法

第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

为了把空间的几何问题代数化 , 把代数的问题用几何方法直观表示，需要建立空间解析几何. 平面解析几何 O x y 平面上的点P 有序实数对( x, y)的集合R2 平面曲线L 方程 为了把空间的几何问题代数化 , 把代数的问题用几何方法直观表示，需要建立空间解析几何.

一、向量的概念 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量(矢量) ： 既有大小又有方向的量. 向量的几何表示： 有向线段 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量(矢量) ： 既有大小又有方向的量. 向量的几何表示： 有向线段 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 以 为起点， 为终点的有向线段. 或 向量的模： 向量的大小. 或 单位向量： 模为1的向量. 或

零向量： 模为0的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. ‖ 平行向量： 方向相同或相反的向量. 又称两向量共线. 向量共面：向量都在一个平面内.

二、向量的线性运算 1. 向量的加法 多个向量相加的三角形法则 三角形法则: 平行四边形法则:

运算规律 : 交换律 结合律

2. 向量的减法 特别地, 当 时，有 三角不等式

3. 向量与数的乘法  是一个数 ,  与 a 的乘积是一个新向量, 记作 规定: 时， 时， 时， 总之: 运算律 : 结合律 分配律

练习1 化简 解

例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, 解:

练习2. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 与 平行且相等, 结论得证.

设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数) a∥b 定理1. 证: 充分性显然，仅证必要性： 取 ＝± , a , b 同向时取正号, 设 a∥b , 反向时取负号, a , b 则 b 与  a 同向, 且 再证 实数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则

设 表示与非零向量 同方向的单位向量, 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.

三、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 O , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 z 轴(竖轴) Ⅱ 坐标原点 Ⅲ 坐标轴 Ⅳ Ⅰ 坐标面 zOx面 卦限(八个) y轴(纵轴) Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅷ x轴(横轴)

思考题 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ 思考题解答 A: Ⅳ; B: Ⅴ; C: Ⅷ; D: Ⅲ.

在直角坐标系下 点 M 有序数组 向径 (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标: 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C

坐标轴 : 轴 轴 坐标面: 轴

2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 以 分别表示 轴上的单位向量， 设点 M 的坐标为 则 以 分别表示 轴上的单位向量， 设点 M 的坐标为 则 记 向量 r 的坐标分解式 , 称为向量 的坐标. 沿三个坐标轴方向的分向量. 称为向量

四、利用坐标作向量的线性运算 为实数, 则 设 平行向量对应坐标成比例: 当 时，

求解以向量为未知元的线性方程组 ① ② 例2. 解: 2×① －3×② , 得 代入②得

在AB所在直线上求一点 M , 使 及实数 例3. 已知两点 解: 设 M 的坐标为 如图所示 得 即

由 说明: 得定比分点公式: 中点坐标公式:

五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 设 则有 由勾股定理得

对两点 与 因为 得两点间的距离公式:

的三角形是等腰三角形 . 为顶点 例4. 求证以 证: 即 为等腰三角形 .

例5. 在 z 轴上求与两点 及 等距 离的点 . 解: 设该点为 解得 故所求点为 思考: (1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?

提示: (1) 设动点为 利用 得 且 (2) 设动点为 利用 得 例6. 已知两点 求AB的单位向量 e . 解: (1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?

2. 方向角与方向余弦的坐标表示式 空间两向量的夹角的概念： 向量 与向量 的夹角 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 2. 方向角与方向余弦的坐标表示式 空间两向量的夹角的概念： 向量 与向量 的夹角 它们的夹角可在 0 与 之间任意取值. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定

类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 非零向量 的方向角： 由图分析可知 向量的方向余弦

通常用方向余弦来表示向量的方向. 当 时， 向量方向余弦的坐标表示式

方向余弦的特征 就是与 同方向的单位向量 上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向量

和 的模 、方向余弦和方向角 . 计算向量 例7. 已知两点 解:

, 已知 例8. 设有向量 它与x轴和y 轴 求 的坐标 . 的夹角分别为 如果 的坐标为 解 设向量 的方向角为

3. 向量在轴上的投影与投影定理 在三个坐标轴上的分向量： 由前面分析知，向量 只考虑 与 轴的关系，有 在 轴上的分向量 且

空间一点在轴上的投影 过点 作轴 的垂直平面 交点 即为点 在轴 上的投影.

空间一向量在轴上的投影 已知向量的起点O, 终点 M 在轴 上的投影 则向量 称为向量 在轴 上的分向量. 则向量 称为向量 在轴 上的分向量. 设 则称 为向量 在轴 上的投影. 记为 或者

由此定义，设 则 例如： 则 投影的性质 1) 2) (为实数)

例9. 设 求向量 在 x 轴上 的投影及在 y 轴上的分向量. 解: 因 故在 x 轴上的投影为 在 y 轴上的分向量为

向量的投影定理 向量 在轴 上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦： 定理的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等；

例10. 设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且 求OA 在 OM 方向上的投影. 解: 如图所示, 记 ∠MOA =  , a

小 结 1. 向量的概念 2. 向量的加减法 3. 向量与数的乘法 4. 空间直角坐标系 5. 空间两点间距离公式 （注意与标量的区别） 小 结 1. 向量的概念 （注意与标量的区别） 2. 向量的加减法 （三角形法则） 3. 向量与数的乘法 （注意数乘后的方向） 4. 空间直角坐标系 （轴、面、卦限） （注意它与平面直角坐标系的区别） 5. 空间两点间距离公式

6. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. （注意分向量与向量的坐标的区别） 7. 向量的模与方向余弦的坐标表示式. 8. 向量在轴上的投影与投影定理.

练习 设 =(1,2,3), =(1,-1,1). 求 (1) 2 +3 ; (2) 的基本单位向量分解; (3)求表达式 解

备用题 1. 求平行于向量 的单位向量的 分解式 解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 或

求以向量 为边的 2. 设 平行四边形的对角线的长度 . 解： 对角线的长为 该平行四边形的对角线的长度各为

3. 设P 点在x 轴上，它到 的距离为 到 的距离的两倍，求点P 的坐标. 解 因为P 点在x 轴上， 设P 点坐标为 所求点为

作 业 P12. 3, 5, 13, 14, 15, 18 提交时间：2012年2月20日上午8:00