第七章习题课 向量代数与空间解析几何
一 基本要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示 2.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及 一 基本要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示 2.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及 用坐标表达式进行向量运算的方法． 3.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）， 4.了解两个向量垂直、平行的条件． 5.掌握平面的方程和直线的方程及其求法， 会利用平面、直线的相互关系，解决有关问题．
6.理解曲面方程的概念，了解常见二次曲面的 方程及其图形。 7.了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于 坐标轴的柱面方程 8.了解空间曲线方程的概念． 了解空间曲线的参数方程和一般方程． 了解空间曲线在坐标平面上的投影．
二 要点提示 向量代数： 一、向量及其坐标 1.向量 模 2 方向余弦
3 单位向量 基本单位向量 4 两向量的夹角 5 向量的投影
二、 向量的运算 1 线性运算 加(减): 数乘 2 内积:
3.外积 （2）以 为邻边的平行四边形面积 (3) 与 同时垂直的向量可取作
两非零向量平行、垂直的等价条件：
空间解析几何： 一、平面方程 设已知 法向量 点法式 一般式 截距式
二、直线的方程 设已知 方向向量 对称式 参数式 一般式
直线与平面的夹角 平面的法向量 直线的方向向量
三、曲面 二次曲面 球面，椭球面，抛物面，双曲面，圆锥面 旋转面 柱面 方程中缺少变量，准线和母线
四、空间曲线 一般式方程：两曲面的交线 参数方程： 空间曲线的投影柱面及在坐标面上的投影 空间曲线 投影柱面 投影曲线 空间曲线 投影柱面 投影曲线 几个曲面围成的立体的图形，立体在坐标面上的投影区域
三 思考与课内练习 1.与各坐标轴正向夹角都相等的向量有多少个？方向角是什么？ 两个方向，无穷多个向量； 三 思考与课内练习 1.与各坐标轴正向夹角都相等的向量有多少个？方向角是什么？ 两个方向，无穷多个向量； 2.设 都是单位向量，且 能得到 吗？ 不能得到 3.如何求同时垂直 的单位向量？ 4.三个坐标面的法向量、三个坐标轴的切向量是什么？
5.适合下列条件的平面方程有什么特征？ （1）过原点; （2）平行于坐标轴; （3）过坐标轴; （4）平行于坐标面. 6.空间中下列方程表示什么？ 母线平行于z轴的圆柱面 原点 开口向上的椭圆抛物面 圆锥面
四 典型题目 例1设 为空间中平行于向量 的直线， 是 外一点， 是 上一点，求证 到 的距离为 解
例2 已知向量 的模为8，且已知它与x轴和y轴正向的 夹角均为 ，求 的坐标表达式． 解：设与 同向的单位向量为 其中 又 于是
例3 求下列各平面方程 （1）平行于x轴且经过两点(4,0,-2),(5,1,7)； （2）通过点M(1,-1,1)且垂直于两平面 （3）在x轴上的截距为2，且过点(0,-1,0)和(2,1,3)．
例4 分别求适合下列条件的直线方程： （1）通过点(1,0,-3)且与平面 垂直； （2）通过点(1,0,-2)且与平面 平行， 又与直线 垂直； （3）通过点(0,-1,1)且与直线 平行．
例5 利用平面束方程解题： 通过两平面 的交线，且通过点(1,8,2)的平面方程 . 解 设过交线的平面束方程为 因平面过点(1,8,2) ，代入平面束方程，得 故所求方程为
例6 下列方程或方程组表示什么图形？ 中心在（2,0,0)的椭球面． 旋转抛物面 平行的二条直线 球面与上半圆锥的交线
的交线关于xoy面的投影柱面方程和在xoy面上的投影 方程. 例7 求单叶双曲面 与平面 的交线关于xoy面的投影柱面方程和在xoy面上的投影 方程. 解 消去变量z，得所求投影柱面方程为 所求交线的投影方程 为