第六章 空间解析几何

§4. 空间中的平面与直线 空间中的平面及其方程。 空间直线及其方程。

一、空间中的平面及其方程 1、平面的点法式方程 设：平面过定点M0(x0, y0, z0)且垂直于方向n=(A, B,C). 几何上，任给空间中某一点，及某一方向，都可且只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用解析式描述此几何关系. 设：平面过定点M0(x0, y0, z0)且垂直于方向n=(A, B,C).   M0 M x z y n 任取平面上一点M(x, y, z). 由已知，nM0M， 故 nM0M=0.

= A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)  (A, B, C)(xx0, yy0, zz0) = A(x x0)+B(y y0)+C(z z0) = 0. (1) 即平面上任意点M(x, y, z)都满足方程(1). 反之若(x, y, z)满足(1)，则由(1). n与 M0M 垂直. 即M在平面  上.

我们称垂直于平面  的任何非零向量为的法方向或法向， 因此，n即为 之一个法向. 方程(1)依赖于法向n及定点M(x0, y0, z0). 故(1)称为平面 的法点式方程. A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0 法点式方程

解 取 所求平面的点法式方程为 化简得

解 取法向量 所求平面方程为 化简得

一般地，设平面 过M1, M2, M3三点, M1, M2, M3不共线. 即 则得平面方程为：

即 平面的三点式方程.

2、平面的一般方程 由点法式方程 —平面的一般（式）方程。 法向量

平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 类似地可讨论 情形. 平面平行于 坐标面； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 类似地可讨论 情形. 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形.

解 设平面  ： 由过原点知 所求平面方程为

3、平面的截距式方程 设平面方程为 将三点坐标代入方程，得 ——平面的截距式方程 x轴上截距 y轴上截距 z轴上截距

4、点到平面的距离 解：如图 设平面 : Ax+By+Cz+D=0. 则 平面上点M1(x1, y1, z1)满足 N      M1 设平面 : Ax+By+Cz+D=0. 则 平面上点M1(x1, y1, z1)满足 A1x+B1y+C1z+D1=0. 由于 M0N 为之法向.故 M0N // (A, B, C). n 即

点到平面的距离公式 即

我们目前已对平面本身的解析关系描述得较清楚了. 现在讨论两平面间的关系. 5、两平面的夹角 我们目前已对平面本身的解析关系描述得较清楚了. 现在讨论两平面间的关系. 一般说来，两平面的关系有以下几种 两平面平行不重合. 两平面法向一致但无交点 两平面平行重合. 两法向一致且有交点 两平面垂直 两法向垂直 两平面不平行相交 相交但不垂直 两法向不共线也不垂直 桥梁 法向夹角

定义: 两平面 1,  2 的法方向n1, n2的夹角称为平面1和 2 的夹角 (通常指锐角).  1: A1x+B1y+C1z+D1=0,  2: A2x+B2y+C2z+D2=0. 如何求其间夹角？ 由平面方程，知n1=(A1, B1, C1)、 n2=(A2, B2, C2) 分别为 1 ，  2 的法向， 故

两平面垂直 n1n2=0 A1A2+B1B2+C1C2=0; 两平面平行 n1n2=0  A1:A2=B1 : B2=C1 : C2 . = = = = = 即 A1:A2=B1:B2=C1:C2.

特殊情形： 平行不重合 A1:A2=B1:B2=C1:C2 D1:D2; 重合 A1:A2=B1:B2=C1:C2= D1:D2 .

例5. 设平面  过点M1(1, 0, 0), M2(1, 1, 1)且与 平面1：x+y+z=0垂直， 求平面 . 解： 设1法向n1=(1, 1, 1).  n1  M1 M2 则 平面  // n1 . 而  过点M1, M2. 故 平面  // M1M2 . 因此，平面 n1M1M2 . 即 的法向 n =n1M1M2 .

n 故得平面方程为 即

例6 研究以下各组里两平面的位置关系： 解 两平面相交，且夹角 解 两平面平行。 两平面不重合．

二、空间直线及其方程 1.由直线上一点与直线 l 的方向决定的直线方程 如果一个非零向量平行于直线L，就称这个向量为直线 的一个方向向量．

点 在 直线 l 上的充要条件是 （1）式叫做直线 l 的向量式参数方程

——直线的(坐标式)参数方程

将直线的参数方程中的参数 t 消去，则可得到 ——直线L的标准方程或对称式方程。 直线L的一组方向数。 方向向量的方向余弦称为该直线的方向余弦

解 所以交点为 取 所求直线方程 注： ——两点式方程。

2.直线的一般方程 若空间直线L为两平面 的交线， 则 ——空间直线的一般方程。 (不唯一)

在直角坐标系下， 两平面的法向量分别为 所以直线 l 的方向向量可取为

例 8 将直线L 化成对称式方程 解：平面 的法向量 平面 的法向量

求直线L上一点M0(x0,y0,z0) 令x0=1 则 得 Y0=4,z0=4 所求直线L方程为

解 先作过点M且与已知直线 L 垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N, 代入平面方程，得 交点 取方向向量 所求直线方程为 L N M  再求已知直线与该平面的交点N, 交点 代入平面方程，得 取方向向量 所求直线方程为

另解 L ' 再求过M与L的： M L 

3. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 设直线 的方向向量分别为 则两直线夹角  满足

特别有:

例10 求以下两直线的夹角 解: 直线 的方向向量为 直线 的方向向量为 二直线夹角 的余弦为 从而

︿ 4. 直线到平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角 当直线与平面垂直时,规定其夹角  设直线 L 的方向向量为 平面  的法向量为 则直线与平面夹角  满足 ︿

直线与平面的位置关系： // 解: 为所求夹角．

小结 x=x0+mt, y=y0+nt , z=z0+pt ; 一般形式 (三元一次方程) Ax+By+Cz+D=0. 空间平面 法点式 截距式 空间直线 交面式 (一般形式)： 三元一次方程组. 对称式: x=x0+mt, 参数形式: y=y0+nt , z=z0+pt ; 两点式:

直线间夹角： s1, s2间夹角 数量积 向量积 平行 平面间夹角： n, n 间夹角 垂直 相交 直线与平面间夹角： 数量积 向量积 平行 平面间夹角： n, n 间夹角 垂直 相交 直线与平面间夹角： 与 s1, n 间夹角互余 直线在平面上的投影： 过直线的平面束中的 关系 一条垂直于已知平面的平面 与已知平面的交线(交面式)  d M l s M0 点到直线的距离 M0  M1 n   点到平面的距离 Ax+By+Cz+D=0 n=(A, B, C)