空间解析几何 主讲 林志恒

第二章 轨迹与方程 主要内容： 1.平面曲线的方程 2.空间曲面的方程 3.空间曲线的方程

第一节 平面曲线的方程 一、曲线与方程 定义：当平面上取定了标架（坐标）之后，如果 一个方程与一条曲线有着关系： 第一节 平面曲线的方程 一、曲线与方程 定义：当平面上取定了标架（坐标）之后，如果 一个方程与一条曲线有着关系： （1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标； （2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程； 则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。 曲线的方程常表示为： F(x,y)=0 或 y=f(x)

建立平面轨迹方程步骤： 1.依题意建立适当的坐标系(若已有坐标系，可省)； 2.在轨迹上任意取一点M(x，y)； 3.根据已知条件，找出包含有此任意点的几何等式 （或直接找出包含此点的代数等式）； 4.将几何等式化为代数式，并化简； 5.对所得结果检验，以确定所得结果为所求。 若化简过程每一步都是同解变形，则不必检验。

x2+y2=R2. 例1 求圆心在原点，半径为R的圆的方程。 解 设M(x,y)是圆上任一点， 依题意，有 |OM|=R， 所以所求圆的普通方程为 x2+y2=R2. 例2 已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件 |MA|-|MB|=4的动点M(x,y)的轨迹。 解 设M(x,y)为轨迹上任意一点， 依题意，可得 |MA|-|MB|=4. 故

xy=2 xy=2 (x+y2). xy=2 (x+y2). 两边平方，可得 y 上式两边平方为同解变形： o x 化简可得 故所求曲线为 xy=2 (x+y2).

二、曲线的向量式方程 1.向量函数 当动点按某种规律运动时，与它对应的向径也随着变数t的不同而改变（模与方向的改变），这样的向径称为变向量，记为 如果变数t(atb)的每一个值对应于变向量 的一个完全的值（模与方向） ，则称r是变数t的向量函数，记为 (atb). 2.向量函数的分量表示 y A P(x(t),y(t)) 设平面上取定的标架为 则向量函数可表示为 j B O i x 其中x(t),y(t)是 的分量，它们分别是变数t的函数。

3.向量式参数方程 若取(atb)的一切可能值，由（1） 表示的向径 的终点 总在一条曲线上； 反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由t的某一值t0(at0b)通过（1）完全确定， 则称表达式（1）为曲线的向量式参数方程，其中t为参数。 4.坐标式参数方程 曲线的参数方程常可以写成下列形式： A y P(x(t),y(t)) B 称为曲线的坐标式参数方程。 x O

θ r 例3 一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点 P的轨迹。 解： 取直角坐标系，设 半径为 a的圆在x轴上沿 y 例3 一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点 P的轨迹。 解： 取直角坐标系，设 半径为 a的圆在x轴上沿 正向滚动，开始时点 P 恰在原点， 经过一段时 间的滚动， 圆与直线的 切点移到 A 点，圆心的 位置移到C点，这时有 y C P θ r a x O A 设θ=(CP,CA), 于是向量CP对x轴所成的有向角为

θ M 则 O N R |OA|=AP=aθ， ︵ 又因为 所以 从而点P的向量式参数方程为 其坐标式参数方程为 这种曲线称为旋轮线或摆线。

例4 已知大圆的半径为a，小圆的半径为大圆半径的 四分之一，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚 动，动圆上某一定点P的轨迹称为四尖星形线，求四尖 星形线的方程。 解（略） 参数方程为

5. 曲线的参数方程与普通方程的互化 例6 把椭圆的普通方程 化为参数方程。 法一 法二 设 y = tx +b,代入原方程得 解得 例6 把椭圆的普通方程 化为参数方程。 法一 法二 设 y = tx +b,代入原方程得 解得 在第二式中取t = 0,得x = 0，所以舍去第一式，取 因此 故参数方程为...

例7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a>0) 为参数方程。 解：设y=tx，代入可得参数方程 注1：有些曲线只能用参数方和表示而不能用普通方程 表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如 注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注意 两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。

第二节 曲面的方程 一、定义 若曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有如下关系: o (1) S上任一点的坐标满足方程F (x, y, z) =0; (2) 不在S上点的坐标都不满足方程F (x, y, z) =0; 那末, 方程F (x, y, z) =0叫做 曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形. 满足方程的点都在曲面上

建立空间轨迹方程步骤： 1.依题意建立适当的坐标系(若已有坐标系，可省)； 2.在轨迹上任意取一点M(x,y,z) ； 3.根据已知条件，找出包含有此任意点的几何等式 (或直接找出包含此点的代数等式) ； 4.将几何等式化为代数式，并化简； 5.对所得结果检验，以确定所得结果为所求。 若化简过程每一步都是同解变形，则不必检验。

例1 求连结两点A(1,2,3),B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程。 解 在垂直平分面上任取一动点M(x,y,z)， 则M(x,y,z)到两定点 A和B的距离相等。故 |AM|=|BM|. 用两点间的距离公式,代入并化简可得垂直平分面的方程为 2x-6y+2z-7=0. 例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。 解 因为所求平分面是与坐标面xOz和yOz等距离的点的轨迹， 设M(x,y,z)为轨迹上任一点， 则 |y|=|x|. 由此可得所求方程为 x+y=0 与 x-y=0.

例3 求坐标平面yoz面的方程。 在yoz面上任取一点M(x,y,z)， 则必有 解： x=0. 反之， 所以， yoz平面的方程为 x=0. 与平面上坐标轴的方程类似 同理： zox平面的方程为 y=0. xoy平面的方程为 z=0.

例4 求球心为M0(x0, y0, z0), 半径为R的球面的方程. 由此得所求方程为 (x x0)2 + (y  y0)2 + (z  z0)2 = R2 (1) 称方程(1)为球面的标准方程. 特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 与平面上圆的方程类似… 球面方程: x2 + y2 + z2 = R2

由 得上、下半球面的方程分别是： 将球面方程展开，讨论，可得以下定理： 表示球面 （实球面、虚球面或点球面）

二、曲面的参数方程 1.双参数向量函数 在两个变数u,v的变动区域内定义的函数 称为双参数向量函数，其中x(u,v), y(u,v), z(u,v)是变向量 的分量，它们都是变数u，v的函数。 当u,v取遍变动区域的一切值时，向径 M o z x y S 的终点M(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) 所画的轨迹一般为一张曲面。

定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2） 表示的向径 的终点M总在一个曲面上；反之 2.曲面的向量式参数方程 定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2） 表示的向径 的终点M总在一个曲面上；反之 在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的 向径，而这向径可由 u,v 的 值 (aub, cvd) 通过（2） 完全决定，则称（2）式为 曲面的向量式参数方程， 其中u,v为参数。 M o z x y S

3.曲面的坐标式参数方程 因为向径 的分量为{x(u,v)，y(u,v)，z(u,v)}, 所以曲面的参数方程也常写成 表达式（3）称为曲面的坐标式参数方程。

例7 求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。 z 解： 设M(x,y,z)是球面上任一点， M在 M xOy坐标面上的射影为P， 而P在x轴上的 θ y O 又设在坐标面上的有向角 Q 射影为Q，  P x 则 又 此即为中心在原点，半径为r的球面的向量式参数方程。

故中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为 （4），（5）中的θ，为参数，其取值范围 分别是0  θ   与 -   ＜。 直角坐标(标准)方程 消去参数可得：

例7 求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。 z 解： 设M(x, y, z)是球面上任一点， M在 M xOy坐标面上的射影为P， 而P在x轴上的 θ y O Q 射影为Q， 又设在坐标面上的有向角  P x 则 又 故中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为

例8 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。 解： 仿例5,有 而 P x y z o M  Q r 此即为圆柱面的向量式参数方程。 其坐标式参数方程为 直角坐标（普通、标准）方程 上式消去参数，可得：

第三节 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 空间曲线的参数方程 (1）向量式参数方程（×） （2）坐标式参数方程

一、空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线: 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程， 满足方程的点都在曲线上， 不在曲线上的点不能同时 满足两个方程. 特点：

例1 写出Oz轴的方程。 解： Oz轴可看成两个平面的交线，如 或 例2 求在xOy 坐标面上，半径为R，圆心为原点的 圆的方程。 解： 可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的。

例3 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32与平面 z = 2 的交线是 一个圆 , 它的一般方程是 x 2 + y 2 + z 2 = 32 z = 2

二、空间曲线的参数方程 将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数. x = x (t) y = y (t) (2) z = z (t) 当给定 t = t0时, 就得到C上一个点(x0, y0, z0), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.

取时间t为参数， 动点从A点出发，经过t时间，运动到M点 解 由此得 螺旋线的参数方程

螺旋线的参数方程还可以写为 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比． 即 若 则上升的高度 螺距

本章学习结束 谢谢大家