高等数学教学课件 教材版本：同济七版 课件研制：军械工程学院 张士军 高等教育出版社 高等教育电子音像出版社

绪 论

绪论 一、高等数学课程介绍 二、预备知识

绪论 一、高等数学课程介绍 二、预备知识

一、高等数学课程介绍 （一）研究对象 （二）教学内容 （三）研究方法 （四）教学目的

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函 数

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一元函数微积分 多元函数微积分 切线、图形 、速度… 面积、体积 、作功… 应用 中值定理 元素法 微分学 不定 积分 定 积分 积分学 导数 微分 无穷 级数 分析 引论 极限 连续 函 数 常微分 方程 空间解析几何 多元函数 多元函数微积分 多元函数 积分学 多元函数 微分学 偏导数 全微分 重积分 线面积分 切线、法平面、梯度… 曲面面积、体积、质心… 应用

微 分 学 积 分 学 切线、图形 、速度… 面积、体积 、作功… 应用 中值定理 元素法 微分学 不定 积分 定 积分 积分学 导数 微分 微　分　学 积　分　学 应用 中值定理 元素法 微分学 不定 积分 定 积分 积分学 导数 微分 无穷 级数 分析 引论 极限 连续 函 数 常微分 方程 空间解析几何 多元函数 多元函数 积分学 多元函数 微分学 偏导数 全微分 重积分 线面积分 切线、法平面、梯度… 曲面面积、体积、质心… 应用

微积分 主体 专 题 切线、图形 、速度… 面积、体积 、作功… 应用 中值定理 元素法 微分学 不定 积分 定 积分 积分学 导数 微分 无穷 级数 分析 引论 极限 连续 函 数 常微分 方程 空间解析几何 多元函数 多元函数 积分学 多元函数 微分学 偏导数 全微分 重积分 线面积分 切线、法平面、梯度… 曲面面积、体积、质心… 应用

理论 应 用 切线、图形 、速度… 面积、体积 、作功… 应用 中值定理 元素法 微分学 不定 积分 定 积分 积分学 导数 微分 无穷 级数 分析 引论 极限 连续 函 数 常微分 方程 空间解析几何 多元函数 多元函数 积分学 多元函数 微分学 偏导数 全微分 重积分 线面积分 切线、法平面、梯度… 曲面面积、体积、质心… 应用

切线、图形 、速度… 面积、体积 、作功… 应用 中值定理 元素法 微分学 不定 积分 定 积分 积分学 导数 微分 无穷 级数 分析 引论 极限 连续 函 数 常微分 方程 空间解析几何 多元函数 多元函数 积分学 多元函数 微分学 偏导数 全微分 重积分 线面积分 切线、法平面 、梯度… 曲面面积 体积、质心… 应用

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极限方法

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切线、图形 、速度… 面积、体积 、作功… 应用 中值定理 元素法 微分学 不定 积分 定 积分 积分学 导数 微分 无穷 级数 分析 引论 极限 连续 函 数 常微分 方程 空间解析几何 多元函数 多元函数 积分学 多元函数 微分学 偏导数 全微分 重积分 线面积分 切线、法平面 、梯度… 曲面面积 体积、质心… 应用

切线、图形 、速度… 面积、体积 、作功… 应用 中值定理 元素法 微分学 不定 积分 定 积分 积分学 导数 微分 无穷 级数 分析 引论 极限 连续 函 数 常微分 方程 空间解析几何 多元函数 多元函数 积分学 多元函数 微分学 偏导数 全微分 重积分 线面积分 切线、法平面 、梯度… 曲面面积 体积、质心… 应用

切线、图形 、速度… 面积、体积 、作功… 应用 中值定理 元素法 微分学 不定 积分 定 积分 积分学 导数 微分 无穷 级数 分析 引论 极限 连续 函 数 常微分 方程 空间解析几何 多元函数 多元函数 积分学 多元函数 微分学 偏导数 全微分 重积分 线面积分 切线、法平面 、梯度… 曲面面积 体积、质心… 应用

切线、图形 、速度… 面积、体积 、作功… 应用 中值定理 元素法 微分学 不定 积分 定 积分 积分学 导数 微分 无穷 级数 分析 引论 极限 连续 函 数 常微分 方程 空间解析几何 多元函数 多元函数 积分学 多元函数 微分学 偏导数 全微分 重积分 线面积分 切线、法平面 、梯度… 曲面面积 体积、质心… 应用

切线、图形 、速度… 面积、体积 、作功… 应用 中值定理 元素法 微分学 不定 积分 定 积分 积分学 导数 微分 无穷 级数 分析 引论 极限 连续 函 数 常微分 方程 空间解析几何 多元函数 多元函数 积分学 多元函数 微分学 偏导数 全微分 重积分 线面积分 切线、法平面 、梯度… 曲面面积 体积、质心… 应用

一、高等数学课程介绍 （一）研究对象 （二）教学内容 （三）研究方法 （四）教学目的

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绪论 一、高等数学课程介绍 二、预备知识

绪论 一、高等数学课程介绍 二、预备知识

二、预备知识 逻辑符号 对任意的，对所有的，(Any) 存在一个，（Exist) 充要条件 A是B的充分条件，B是A的必要条件 绝对值不等式 或

第一讲 映射与函数

特例 映射 函数

概念 映射 函数

映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得 对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x) Y f X y x 定义域 值域 原像 像

Y X 注 （1） 映射的三要素： 定义域、值域的范围、对应法则； （2） 映射的像唯一，但原像不一定唯一； （3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称 f Y X 非空集X 数集Y X上的泛函 非空集X 非空集X X上的变换 实数集X 实数集Y X上的函数

概念 集合 映射 函数 构造 逆映射 区间 邻域

逆映射 满射、单射和双射 若f是从集合X到集合Y的映射 X Y f

逆映射 满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射 若 即Y中的任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射 它们的像 则称f为X到Y的单射 f Y X Y=f (X)

逆映射 满射、单射和双射 若f是从集合X到集合Y的映射 若 即Y中的任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射 它们的像 则称f为X到Y的单射 f Y 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X

逆映射 满射、单射和双射 若f是从集合X到集合Y的映射 若 即Y中的任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射 它们的像 则称f为X到Y的单射 f 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X

逆映射 若f 是从X到Y的单射， 可定义一个从 到X的新映射g 对每个 规定 这x满足 这个映射g称为f的逆映射，记作 注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射 的定义域 值域

概念 集合 映射 函数 构造 逆映射 复合映射 区间 邻域

复合映射 设有两个映射 其中 则由映射g和f 可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个 映成 这个对应法则确定了一个从X到Z的 定义 即： 注 (1) 映射g和f 构成复合映射的条件： (2) 映射g和f 的复合是有顺序的

例题 例1 写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题： (1) 映射f 是否单射？是否满射？ (2) 若存在逆映射，求出逆映射 1. 设 对每个 2. 设映射f 将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点 投影到x轴的区间 上 设 对每个 3.

例2 设有映射 对每个 映射 求复合映射

概念 概念 集合 映射 函数 构造 逆映射 复合映射 区间 邻域

函数的概念 定义 设数集 则称映射 为定义在D 上的 函数 , 通常简记为 f ( D ) 注 (1) 注意符号f 和f (x)的区别 定义域 f ( D ) 因变量 自变量 值域 注 (1) 注意符号f 和f (x)的区别 (2) 表示函数的记号可以任意选取 (3) 函数的要素： 定义域 对应法则

函数的要素 1．定义域 (1) 定义域是非空的数集 (2) 定义域的求法： 使表达式有意义的自变量的集合. 例3 求函数 的定义域 2．对应法则 (1) 表示法： 解析法 表格法 图象法 (2) 解析式的理解： 一系列的运算程序 例如： 理解为：

注 只有当两个函数的定义域和对应法则都相同时，这两个函数才是相同的，否则就是不同的. 例4 下列函数是否相同，为什么？ (1) (2)

函数的几种特性 1．函数的有界性 设函数f (x) 的定义域为D，数集 如果存在数 使得 对任一 都成立 那么称函数f (x)在X上有上界 o y 称为函数f (x)在X上的一个上界 类似可以定义函数f (x)在X上有下界

函数的几种特性 1．函数的有界性 设函数f (x) 的定义域为D，数集 如果存在数 使得 对任一 都成立 那么称函数f (x)在X上有上界 y 称为函数f (x)在X上的一个上界 o x 类似可以定义函数f (x)在X上有下界 注 (1) 有界性的概念须明确数集 (2) 若函数f (x)在X上有上(下)界，则上(下)界不唯一 在 内有下界，但没有上界 例： 在 内既有下界，也有上界

函数的几种特性 1．函数的有界性 设函数f (x) 的定义域为D，数集 如果存在正数 使得 对任一 都成立 那么称函数f (x)在X上有界 o y 如果这样的 不存在 即： 使 就称函数f (x)在X上无界 注 函数f (x)在X上有界 函数f (x)在X上既有上界，又有下界 在 内无界 例： 在 内有界，

函数的几种特性 2．函数的单调性 设函数f (x) 的定义域为D，区间 x o y 如果对于区间I上的任意两点x1及x2， x2 x1 当 时， 恒有 那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的

函数的几种特性 2．函数的单调性 设函数f (x) 的定义域为D，区间 x o y 如果对于区间I上的任意两点x1及x2， x1 当 时， 恒有 x2 那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数 例： 在 上单调增加 在 上单调减少 在 上不是单调的

函数的几种特性 3．函数的奇偶性 设函数f (x) 的定义域D关于原点对称 恒成立 如果对于任一 那么称函数f (x)为偶函数 恒成立 注 偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称

函数的几种特性 3．函数的奇偶性 例： 偶函数 称为双曲余弦函数 奇函数 称为双曲正弦函数 称为双曲正切函数

函数的几种特性 4．函数的周期性 设函数f (x) 的定义域为D， 对于任一 如果存在一个正数l， 有 且 使得 恒成立 那么称函数f (x)为周期函数，l称为f (x)的周期. 注 （1） 周期函数在每个周期上有相同的图形 （2） 通常周期函数的周期是指最小正周期 （3） 并非每个周期函数都有最小正周期 例： 常量函数 x o y 1 狄利克雷函数

概念 概念 集合 映射 函数 构造 逆映射 反函数 复合映射 构造 区间 邻域

反函数 概念 设函数 是单射， 则它存在逆映射 称映射 为函数f 的反函数. 一般地， 的反函数记成 注 (1) f 在D上单调增加（减少）， 且 必定存在 在f (D)上也单调增加（减少） (2) 关于直线y=x对称 函数y=f (x)与其反函数 的图形

概念 概念 集合 映射 函数 构造 逆映射 反函数 复合映射 复合函数 构造 区间 邻域

复合函数 概念 设函数y=f (u)的定义域为 且其值域 则由下式确定的函数 称为由函数u=g(x)与函数y=f (u)构成的复合函数. 注 (1) 函数g 与函数f 构成复合函数 的条件： (2) 在一定条件下两个以上函数也可构成复合函数. 例：

概念 概念 集合 映射 函数 构造 逆映射 反函数 复合映射 复合函数 构造 区间 邻域 四则运算

函数的四则运算 设函数 的定义域依次为 则可以定义这两个函数的下列运算： 和（差） 积 商

概念 概念 集合 映射 函数 初等函数 构造 逆映射 反函数 复合映射 复合函数 构造 区间 邻域 四则运算 基本初等函数

基本初等函数与初等函数 基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次 的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数 否则称为非初等函数

概念 概念 集合 映射 函数 初等函数 构造 逆映射 反函数 复合映射 复合函数 构造 区间 邻域 四则运算 基本初等函数

非初等函数举例 分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示 符号函数 取整函数 注 分段函数不一定就是非初等函数！ 例： 可表示为 故为初等函数.

综合题举例 例5 设f(x)的定义域D=[0,1]，求下述函数的定义域 例6 分析下述函数的复合过程 例7 (1) 求 及定义域 上述函数可以复合成 吗 (2)

了 解 内容小结 理解 掌握 熟 悉 映射 函数 概念 概念 初等函数 构造 构造 基本初等函数 逆映射 反函数 复合映射 复合函数 了 解 理解 概念 概念 映射 函数 初等函数 构造 逆映射 反函数 掌握 复合映射 复合函数 构造 四则运算 熟 悉 基本初等函数