第三章 空间解析几何 与向量代数

【例1】已知两点 和 ,求向量 余弦和方向角。 的模、方向 解： 方向余弦为 , , 方向角为 , ,

【例2】确定 的值，使向量 与向量 相等。并求此时向量的模与方向余弦。 分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。 解： 由已知条件得 易得 即当 时两向量相等。 此时向量为 模为 方向余弦为 。

【例3】已知 都是单位向量，且满足 ， 求 . 分析：向量 的坐标没给出，也没给出之间的夹角， 无法利用数量积定义，只能考虑数量积运算规律。 解： 于是

求 。 【例4】已知向量 两两互相垂直，且 分析：由于向量 没给出坐标，只给出了模，注意 ，并利用条件 ， 便可求出 ；或可不妨置 计算向量的模。 于坐标系中 解法1： 所以

解法2：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设 则 于是 【例5】已知向量 与三向量 的数量积分别为3,5,4， 试求向量 及与其同向的单位向量。

分析：利用 与每个 的数量积，可得出关于 的联立方程组，解之便得结果。 解：依题意有 即 解得 ， 则 与 同向的单位向量为

【例6】已知 和 。求与 同时垂直的单位向量，并且求以 为两邻边的平行四边形面积。 分析：应用向量积构造与两个向量都垂直的向量； 利用向量积模的几何意义得平行四边形的面积。 解： 与 同时垂直的单位向量为： 平行四边形面积

分析： 先设出向量 ，再用两个条件确定其系数。 【例7】 在 坐标平面上求向量 ，它垂直于向量 并与向量 有相等的模。 分析： 先设出向量 ，再用两个条件确定其系数。 解：由已知条件,可设 , 则 由已知条件有 ， 则 于是

【例8】已知向量 ， 轴与三坐标轴正向构成 相等锐角， 求 在 轴上的投影。 分析：先求出 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。 解：设 轴的方向余弦分别为 ， 由已知条件 及 所以 得 即 轴上的正向单位向量为 ， 于是

【例9】设向量 ， ，其中 ， ， 且 。问： （1） 为何值时， 以 与 为邻边的平行四边形面积为6。 （2） 为何值时， 分析：（1）用向量垂直的充分必要条件； （2）用向量积的模的几何意义。 解：（1） 当 时 即 ， 亦即 ， 时 故当 ，时 。

（2） 平行四边形面积 则 ，于是 或 以 与 为邻边的平行四边形面积为6。 当 或 时，

【例10】求平行于 轴且经过两点 的平面方程。 分析：（1）已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知 知两点确定的向量与向量 的向量积求平面的法向量； （2）由平面平行于 轴的特殊条件，可采用平面的一般式， 设出不含 的平面方程，再由已知两点确定平面方程的 待定系数。 解法1: 由已知点 ，确定向量 , 轴上的单位向量 ，可确定所求平面的法向量

平面过点 ，则所求平面的点法式方程为 即 解法2：平面平行于 轴，则平面方程中不含变量 ,于是 可设平面方程为 点 在平面上，满足平面方程，即有

，得 则平面方程为 即 【例11】求经过两点 且与平面 垂直的平面方程。 分析：已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知两点确 定的向量与已知平面法向量的向量积可求出平面的法向量。

解：设所求平面 的法向量为 ，已知平面 过点 ，平面 过向量 ，所以， 。 已知平面 的法向量为 ， 因为 ，所以 ，可取 则所求平面的点法式方程为 即

【例12】过点 且在三坐标轴上截距相等的平面方程。 分析：最简单的方法是利用平面的截距式方程，再用已知 的点确定三个相等的截距。 解：设所求平面的截距式方程为 ， 将已知点的坐标代入方程确定参数 ，有 解得 所求平面的截距式方程为 。 或写为一般式方程 。

【例13】求与平面 平行，且与之距离 为 3 的平面。 分析： 所求平面与已知平面平行，法向量相同，可先设出 平面方程的一般式，再由条件定系数。 解： 所求平面与已知平面平行，两者的法向量相同，故可 设所求平面的方程为 已知平面上有点 ，该点到所求平面的的距离为3，即 可解得 或

代入所设平面方程得所求平面的方程为 或 【例14】 求过点 且与平面 和 平行 的直线方程。 分析：直线过已知一点，由直线的对称式，只需求直线的 方向向量，直线的方向向量分别与两已知平面的法向量垂直， 可用向量积求出直线的方向向量。

解：设所求直线的方向向量为 ，两已知平面 的法向量为 ， 的法向量为 ， 则 ， 。 可取 直线过点 ，则所求直线方程为

【例15】已知直线 在平面 ， 求 的值。 分析：直线在平面上，则直线上的点都在平面上、直线 的方向向量与平面的法向量垂直。 解： 已知直线上点 在所给平面上，该点坐标满足 平面方程； 与平面 的法向量 应相互垂直，即 。则有 关系式 其次，直线的方向向量 解之得 。

求平面的法向量与两者分别垂直，平面的法向量可用向量积求得。 【例16】求过点 且通过直线 的平面方程。 分析： 直线上一点及已知点可确定一向量，直线有方向向量；所 求平面的法向量与两者分别垂直，平面的法向量可用向量积求得。 解：直线上的点 及已知点 在所求平面上， 两点构成向量 ，直线方向向量 ； 所求平面的法向量 ， ，于是可取 所求平面方程为 即

【例17】已知两直线 求过 且平行于 的平面。 分析：所求平面过直线 ，则过直线上点，由平面的点法式， 关键是求出平面的法向量，有两种方法： （1）用向量积得出与两直线的方向向量都垂直的向量； （2）先设出平面的法向量，再由条件定系数。 解法1: 直线 上的点 在所求平面上；又所求平面的 法线向量 与已知二直线 的方向向量 、 都垂直，从而可取

于是所求平面方程为 即 解法2：设所求的法向量为 过直线 上的点 的方程为 已知二直线 的方向向量为 、 ， 因为 平面 过 ，所以 ，又因为 ，所以 ，则有 解得 取 则 。 平面方程为： 即

【例18】求直线 与直线 的夹角。 分析：关键是求出直线 的方向向量，可用向量积求得。 解：直线 的方向向量是 ，而直线 的方向 向量 分别与两向量 ， 垂直,则可取 从而直线 与直线 的夹角 的余弦为 因此

【例19】求过点 ，垂直于直线 且平行于 平面 的直线方程。 可用向量积求 。 分析：由本题的条件知，求直线的方向向量 垂直于已知 直线的方向向量 ，也垂直于已知平面 的法向量 解：设所求直线 的方向向量为 ，已知直线 的方向 向量 ,已知平面 的法向量为 ， ， ，所以， ，故可取 已知

从而所求直线的方程为 即 【例20】已知直线 及点 ， 求点 到直线 的距离 。 分析：要想求出点到直线的距离，需求过该点与已知直线垂直 相交的直线和已知直线的交点（即垂线足，或称为投影）， 得出交点即可求出。

解：已知直线 的方向向量为 过点 做垂直于已知直线 的平面 ，其法向量 即是 的方向向量 ，则平面方程为 即 再求已知直线 与平面 的交点 ，取已知直线 上点 ，得直线的对称式方程为

化为参数方程为 ，将已知直线的参数方程代入 平面 方程 得 ，则 故有交点 ， 因此所求的距离为 注：求点到直线距离、过一点作与已知直线垂直相交的直线、点在 直线上的投影等几种问题均为同一种类型题，解题过程基本相同。

【例21】通过二平面 与 的交线及 点 的平面方程。 分析：所求平面过 点，由点法式方程，只需求出平面的 法向量。所给两个平面的交线 （方向向量 ）显然应该在 所求平面上，又交线上的一点 与已知点 所 确定的向量 在所求平面上，两者可确定所求平面的法 向量。也可现设出所求平面的法向量，再由条件定其坐标。 又可利用过交线的平面束。 解法1：设两个平面的交线为 ，方向向量为 ，已知两平面 的法向量为 ， ，因为

可取 点 满足两已知平面方程，故该点在两平面交线 上， 该点与点 所确定的向量 平面上。则所求平面的法向量为 在所求 则所求平面的方程为 即

解法2：同解法1交线 的方向向量为 ， 设求平面的法向量为 ，则 ， ， 于是有 ，得 取 ，则 则所求平面的方程为 即

解法3：过交线 的平面束的方程是 即 点 不在交线上，故平面束中过点 的 平面唯一。将 的坐标代入平面束方程： 可得 于是求平面的方程为 即

【例22】求直线 在平面 上的投影的直线方程。 分析：应考虑过已知直线的平面束中有一个平面与已知 平面垂直，平面束中该平面是直线的投影柱面。 解：过已知直线的平面束方程为 即 其法向量 平面束中有一个平面与已知平面垂直， 与已知平面法向量 垂直 即其法向量

则两者的数量积为零，即 解得 则法向量为 . 于是平面束中以此为法向量的平面方程为 即是直线的投影柱面。 则已知直线在已知平面上的投影为

【例23】一平面通过两平面 的交线，且与平面 成 角,求其方程. 分析：过交线的平面束中有两个平面与已知平面成 用数量积表示 . 解：过交线的平面束方程为 即 其法向量为 与已知平面法向量 成 时有, 当

即 可得 于是所求平面两个: （1） 时, 有 ,即为已知平面。 （2） 时,有 .

【例24】已知曲面 上点 处的切平面平行 于平面 求点 的 坐标. 分析：本题的切平面的法向量已与已知平面的法向量平行； 问题是要求出切点。可由曲面方程求切平面的法向量，再 利用平行条件。 解:令 曲面上任意 处切平面的法向量是 已知平面的法向量为

曲面的切平面平行与已知平面，则有两法向量平行： 即 解之得 代入曲面方程得 故点 的坐标为