第 7 章 应力状态分析 本章主要研究：  应力状态分析基本理论  应变状态分析基本理论  应力应变关系  应力电测的基本理论

§1 引言 §2 平面应力状态应力分析 §3 极值应力与主应力 §4 复杂应力状态的最大应力 §5 广义胡克定律 §6 应变分析与电测应力

§1 引 言  实例  应力与应变状态  平面与空间应力状态

 实 例 微体A

微体abcd

微体A

 应力与应变状态 应力状态 过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态 应变状态  应力与应变状态 应力状态 过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态 应变状态 构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该点处的应变状态 研究方法 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态 研究目的 研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础

梁取微体(单元体)

轴取微体(单元体)

 平面与空间应力状态 仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面－平面应力状态 平面应力状态的一般形式  平面与空间应力状态 仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面－平面应力状态 平面应力状态的一般形式 微体各侧面均作用有应力－空间应力状态 空间应力状态一般形式

§2 平面应力状态应力分析  应力分析的解析法  应力圆  例题

 应力分析的解析法 问题 斜截面：// z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta 符号规定：  应力分析的解析法 问题 斜截面：// z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta 符号规定：  切应力 t － 以企图使微体沿  旋转者为正  方位角 a － 以 x 轴为始边、 者为正 问题：建立 sa , ta 与 sx , tx , sy , ty 间的关系

斜截面应力公式

上述关系建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题 由于tx 与 ty 数值相等,并利用三角函数的变换关系,得 上述关系建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题

 应力圆 应力圆原理 应力圆 圆心位于s 轴

应力圆的绘制 问题：已知sx , tx , sy , 画相应应力圆 根据： 满足上述二条件确为所求应力圆

图解法求斜截面应力 同理可证：

点、面对应关系  转向相同，转角加倍  互垂截面，对应同一直径两端

应力圆画法,截面与点的关系演示

 例 题 例 2-1 计算截面 m-m 上的应力 解：

例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力 解：

例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力 解： 1. 画应力圆 A点对应截面 x, B点对应截面 y 2. 由应力圆求 由A点（截面 x ）顺时针转60。至D点（截面 y ）

§3 极值应力与主应力  平面应力状态的极值应力  主平面与主应力  纯剪切与扭转破坏  例题

 平面应力状态的极值应力 极值应力数值

极值应力方位  最大正应力方位：  smax与smin所在截面正交  s 极值与t 极值所在截面, 成 夹角

 主平面与主应力 主平面－切应力为零的截面 相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体 － 主平面微体 主应力－主平面上的正应力  主平面与主应力 s1 s2 s3 主平面－切应力为零的截面 相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体 － 主平面微体 主应力－主平面上的正应力 主应力符号与规定－ （按代数值）

应力状态分类  单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态  二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态  三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态 二向与三向应力状态，统称复杂应力状态

 纯剪切与扭转破坏 纯剪切状态的最大应力 s1 s3 主平面微体位于 方位

圆轴扭转破坏分析 滑移与剪断发生在tmax的作用面 断裂发生在smax 作用面

 例 题 例 4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位 解：1. 解析法

2. 图解法 主应力的大小与方位 ？

§4 复杂应力状态的最大应力  三向应力圆  最大应力  例题

 三向应力圆 与任一截面相对应的点，或位于应力圆上，或位于由应力圆所构成的阴影区域内

 最大应力 最大切应力位于与 s1 及 s3 均成45的截面上

 例 题 例 4-1 已知 sx = 80 MPa，tx = 35 MPa，sy = 20 MPa，sz =－40 MPa， 求主应力、最大正应力与最大切应力 sz sz 解： 画三向应力圆

§5 广义胡克定律  广义胡克定律（平面应力状态）  广义胡克定律（三向应力状态）  例题

 广义胡克定律（平面应力状态） 适用范围：各向同性材料，线弹性范围内

 广义胡克定律（三向应力状态） 适用范围：各向同性材料，线弹性范围内

 例 题 例 5-1 已知 E = 70 GPa, m = 0.33, 求 e45。 解：  应力分析  e45。计算

例 5-2 对于各向同性材料，试证明： 证：  根据几何关系求e45。  根据广义胡克定律求 e45。  比较

例 5-3 边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN，m = 0.3，求钢块的主应力 解：

*§6 应变分析与电测应力  任意方位的正应变  应力分析电测方法  应变花

 任意方位的应变 平面应变状态特点 微体内各点的位移均平行于同一平面

平面应变状态任意方位应变 问题：已知应变 ex , ey与 gxy，求 a 方位的正应变 ea 规定：  方位角 a 以 x 轴为始边，为正  使左下直角增大之 g 为正

知 ex , ey gxy 求 ea 分析方法 分析方法要点：叠加法，切线代圆弧

推导：

上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关 结论： 上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关

 应力分析电测方法 构件表层应力一般情况(无表面外力时) 要确定三未知应力，需贴三电阻应变

 应变花 三轴直角应变花 三轴等角应变花

本章结束 !