带电小球的碰撞 讲解人：唐浩栋 （信科0901） 指导老师：史彭

主要讨论内容 1，介绍两小球碰撞用到的相关知识，对一般碰撞进行介绍，再延伸到多个坐标系中的两体运动情况。 2，AB两带同种电荷小球，使得B球固定，使A球在一定初速度下在电场力作用下与B球的碰撞情况，简单讨论两球间作用力与时间的关系。 主要讨论内容 3，在2的前提下，使得B球也在电场力下作用，探究两球的碰撞情况。 4，在3的前提下，使两带同种电荷小球变为带异种电荷小球，忽略小球碰撞过程中电荷的转移，讨论小球碰后的运动情况。 5，整个讨论中忽略碰撞过程中动能转化为内能，即发生类完全弹性碰撞，两小球不受外力影响，处于理想状态中。

机械能守恒定律： 动能定理（柯尼希定理）： 带电粒子间作用力（库仑力）： 运动粒子的库仑力做功： 在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变，而这样的系统称为保守系统。 外界对物体所做的功等于物体动能的改变量。 动能定理（柯尼希定理）： 对于整个质点系： 称为轨道动能， 为内动能， 代表整个质点系相对某一惯性系的总动能。 带电粒子间作用力（库仑力）： （从无穷远到r0的过程中库仑力做负功） 运动粒子的库仑力做功：

碰 撞 完全弹性碰撞 不完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 不考虑动能损失 碰撞后两物体合在一起，动能损失最大，损失的动能转化为内能的形式。 部分动能转化为内能的形式。 理想状态，碰撞时无动能损失，两物体间发生动能的转移 公式： 完全弹性碰撞： 不考虑动能损失 完全非弹性碰撞：

A B 题设1：若空间中存在两个带异种电荷小球A，B，间距为r0，带电量分别为+q和-q，现在固定其中一个小球B，探究A以初速度V0延AB连线向B运动时，考虑受到B对它的电场力，B的运动情况。 题设：空间 解： 1，假设A带电小球运动过程只受B对它的电场力作用，且在运动过程中A球还没有反向运动，根据动能定理，有： (r>0) (v1>0) …………(1) 化简得：

r1 A B 此时： 2，设A球初速度足够大，且A球能够无线接近B球，但不可能完全贴近，整个过程中没有能量损失，设A球速度变为零时两球间的距离为r1。 ……………..(2) 则： 3，A球速度为零时，它的动能完全转化为电势能，根据能量守恒定律，之后A球定会反向运动且反回初始位置r0时速度为v0，下面来验证： 又动能定理得： ………………(3) 解得：

4，求A球运动过程中，讨论t与改变两r的函数关系式： ………………(4) 根据牛顿第二定理有： 即为： 通过解微分方程得： …………….(5) 又解可得小球最后加速度越来越快，即通过相同距离所需时间越来越多，直到最后停止，反向运动。

结论：当B球固定，初速度V0的带电小球A虽不能完全与B发生碰撞，对于A的系统，如果整个过程忽略能量损失，则两小球无限接近的过程就相当于一次完全弹性碰撞，类似星体研究上的弹弓效应。 思考： 1，当把题设1中条件带同种电荷改为带异种电荷，其他条件不变，则A球在接近B球过程中做加速度增加的加速运动。如果忽略小球碰撞过程中能量损失，根据能量守恒定律，则A球一直会持续与B球发生来回碰撞。 2，如果考虑碰撞过程中，机械能转化为内能，则A球动能会全部转化为内能，最终两小球贴在一块。

题设2，改变题设1条件，不固定B小球，小球A初速度为Va，小球B初速度为Vb，其他条件不变，探究两小球的运动情况。 解：分析，如果直接求俩个小球的运动情况时，参数，变量过多，不妨我们先来看看两体运动的一些知识。

两体运动：如图所示两坐标， 坐标为相对地面静止的惯性系， 质量为m1,m2的两物体，在空间中无外力情况下做任意运动有： ……………..(6) 为质点A受到质点B的作用力， 为质点A的惯性力，又因为无外力作用，最后解得： ………………..(7) 即为约化质量又称折合质量，把（7）带入（6）得： 令 ………………..(8)

因此可以把A，B两球运动看成A球所在的系统相对于B球所在的系统运动，AB两系统看作一个整体在运动。 1，设A球运动方向为正方向，则A，B整体速度为va-vb，约合质量为 根据动能定理： 化简得： 化简得： ……………….(9) ……………….(9) 此时两小球速度相等，方向相同，设速度为V‘，因为不受外力影响，两小球构成的整体动量守恒： ……………………..(10) 解得：

2，之后A球将做加速减小的减速运动，B球做加速度减小的加速运动，直到当Va’减为零时， 有： ……………….(11) 设此时两小球间距为r1则根据能量关系有： 联立7，11解得： 3，同理可计算出AB小球从开始运动到B球速度变为零时两球间距离为r2：

4，A小球速度为零后，由于电场力作用，两小球继续远离，当A，B球间距又回到r0时，设A，B小球速度分别为va’，vb’，由功能转换有： 或 即： （1），当 ，联立动量守恒方程得： 方向向左 ……………..(12) 方向向右 ……………..(13) 比较此时与初始状态的速度： 对于A球速度改变量：

对于B球的速度改变量： （2），当V‘=V时，即为Vb-va=vb’-va’,带入动量守恒方程得： 很明显方向相反，不成立舍去。 结论：带同种电荷小球碰撞，因为当小球间距离达到无穷小时，电场力为无穷大，小球不可能真正碰撞，在贴近之前因为库仑力，两小球以反向运动，如果不考虑内能转换和能量损失，则整个过程遵循弹性碰撞的特性。 最后得到小球实际运动轨迹如下图：

题设3：在题2的基础上，如果其他条件相同，只改变带同种电荷小球为带异种电荷小球，且小球在碰撞过程中，不计转化为内能，碰撞时不发生电荷的转移，试讨论小球运动状况。 解：初步分析小球因为收到电场力作用，做加速度增加的加速运动，然后发生完全弹性碰撞，模型图类似如下：

1，设小球碰撞前的瞬间速度为Va’，Vb’，于是速度V‘差为（Va’-Vb’），根据动能定理： 化简： 假设两小球在碰撞之前有一个微小距离r1，因为小球不受外力，动量守恒，小球先后通过r1这点，近似看成碰撞额临界点，碰后速度分别为Va0，Vb0则有： …………………(14) 得： …………(15)

再次对碰撞前使用动能定理： 得： 又因为： 方向向左 …………….(16) 方向向右 ……………(17) 把（16），（17）代入（14），（15）得到： 方向向左 ..………..(18) 方向向右 ………….(19)

之后小球做A，B小球做加速度减小的减速运动，再做加速度增加的加速运动，当两小球再次相距r1时，设两球速度分别为va1和vb1 沿用动能定理加动量守恒可得： 方向向右 方向向左 即证明了小球在经过碰撞又回到原来位置，速度大小及方向都不发生变化。由此可得出结论，若忽略能量转化及能量损失，小球将一直以相同状态撞击下去。 2，设A,B小球从一开始运动，经过 ， 后与另一小球间距r0，则有:

有因为总能量守恒易得： …………………(20) 综上可得小球碰撞如上图所示：

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