第三章 动量守恒定律和能量守恒定律

本章目录 3-1　质点和质点系的动量定理 3-2　动量守恒定律 3-4　动能定理 3-5　保守力与非保守力 势能

本章目录 3-6　功能原理 机械能守恒定律 3-7　弹性 3-8　能量守恒定律 3-9　质心 质心运动定律

3-1　质点和质点系的动量定理 一　冲量　质点的动量定理 动量 冲量（矢量）

动量定理 在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量． 3-1　质点和质点系的动量定理 微分形式 积分形式 动量定理　在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量．

3-1　质点和质点系的动量定理 分量表示 某方向受到冲量，该方向上动量就增加． 说明

3-1　质点和质点系的动量定理 二 质点系的动量定理 质点系 对两质点分别应用质点动量定理：

3-1　质点和质点系的动量定理 因内力 ， 故将两式相加后得：

作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量——质点系动量定理 3-1　质点和质点系的动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量——质点系动量定理

内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量. 3-1　质点和质点系的动量定理 注意 区分外力和内力 内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量.

3-1　质点和质点系的动量定理 讨论 F t t1 t2 O （1） F 为恒力 （2） F 为变力 F t1 t2 t O

3-1　质点和质点系的动量定理 动量定理常应用于碰撞问题 注意 在 一定时 越小，则 越大

3-1　质点和质点系的动量定理 例1　一质量为0.05 kg、速率为10 m·s-1的刚球，以与钢板法线呈45º角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来．设碰撞时间为0.05 s．求在此时间内钢板所受到的平均冲力． O

3-1　质点和质点系的动量定理 解　由动量定理得： O 方向与 轴正向相同．

求链条下落速度v与y之间的关系．设各处摩擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开． 3-1　质点和质点系的动量定理 例2 一柔软链条长为l，单位长度的质量为，链条放在有一小孔的桌上，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围．由于某种扰动,链条因自身重量开始下落. m2 O y m1 y 求链条下落速度v与y之间的关系．设各处摩擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开．

解 以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统，建立坐标系 3-1　质点和质点系的动量定理 解 以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统，建立坐标系 m2 O y m1 则 由质点系动量定理得 y 又

3-1　质点和质点系的动量定理 m2 O 两边同乘以 则 y m1 y END

3-2　动量守恒定律 质点系动量定理 若质点系所受的合外力 ——动量守恒定律 则系统的总动量不变

(1) 系统的总动量不变，但系统内任一物体的动量是可变的． 3-2　动量守恒定律 讨论 (1) 系统的总动量不变，但系统内任一物体的动量是可变的． (2) 守恒条件：合外力为零． 当 时，可近似地认为 系统总动量守恒．

(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一． 3-2　动量守恒定律 (3) 若 ，但满足 有 (4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一．

例1 设有一静止的原子核，衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核．已知电子和中微子的运动方向互相垂直，且 3-2　动量守恒定律 　　例1　设有一静止的原子核，衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核．已知电子和中微子的运动方向互相垂直，且   (中微子) (电子) 电子动量为1.210-22 kg·m·s-1，中微子的动量为6.410-23 kg·m·s-1．问新的原子核的动量的值和方向如何？

3-2　动量守恒定律   (中微子) (电子) 解 图中 或

3-2　动量守恒定律 例2　一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为100 kg，后方的火箭容器质量为200 kg，仪器舱相对火箭容器的水平速率为1.0103 m·s-1． 求仪器舱和火箭容器相对惯性系的速度．

3-2　动量守恒定律 已知　 求 　 ,

3-1　动量守恒定律 解

3-2　动量守恒定律 神舟六号待命飞天 注：照片摘自新华网

3-2　动量守恒定律 神舟六号点火升空 注：照片摘自新华网

3-2　动量守恒定律 神舟六号发射成功 END

3-4　动能定理 力的空间累积效应： ，动能定理 对 积累 一　功 1　恒力作用下的功

3-4　动能定理 2　变力的功 B * A

3-4　动能定理 讨论 (1) 功的正、负 (2) 作功的图示

3-4　动能定理 （3）功是一个过程量，与路径有关． （4）合力的功，等于各分力的功的代数和．

3-4　动能定理 功的单位（焦耳） 平均功率 瞬时功率 功率的单位 （瓦特）

3-4　动能定理 例 1　一质量为 m 的小球竖直落入水中， 刚接触水面时其速率为 ．设此球在水中所受的浮力与重力相等，水的阻力为 , b 为一常量. 求阻力对球作的功与时间的函数关系．

3-4　动能定理 解　建立如右图所示的坐标系 又由 2 - 4 节例 5 知

3-4　动能定理 二 质点的动能定理 A B θ 而

合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量 ——质点的动能定理 3-4　动能定理 合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量 ——质点的动能定理 注意 功是过程量，动能是状态量； 功和动能依赖于惯性系的选取， 但对不同惯性系动能定理形式相同．

3-4　动能定理 例 2 一质量为1.0 kg 的小球系在长为1.0 m 细绳下端，绳的上端固定在天花板上．起初把绳子放在与竖直线成 角处，然后放手使小球沿圆弧下落．试求绳与竖直线成 角时小球的速率．

3-4　动能定理 解

3-4　动能定理 由动能定理 得 END

3-5　保守力与非保守力 势能 一 万有引力和弹性力作功的特点 (1) 万有引力作功 对 的万有引力为 移动 时， 作元功为

3-5　保守力与非保守力 势能 m从A到B的过程中 作功：

3-5　保守力与非保守力 势能 (2) 弹性力作功

3-5　保守力与非保守力 势能 x F dx dW x2 x1 O

二 保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式 保守力所作的功与路径无关，仅决定于始、末位置． 引力的功 弹力的功 3-5　保守力与非保守力 势能 二　保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式 保守力所作的功与路径无关，仅决定于始、末位置． 引力的功 弹力的功

质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作的功为零． 3-5　保守力与非保守力 势能 质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作的功为零． 非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）

3-5　保守力与非保守力 势能 三　势能 与质点位置有关的能量． 引力的功 引力势能 弹力的功 弹性势能

3-5　保守力与非保守力 势能 保守力的功 ——保守力作功，势能减少 势能计算 令

讨论 势能是状态的函数 势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关． 势能是属于系统的． 势能差与势能零点选取无关． 3-5　保守力与非保守力 势能 讨论 势能是状态的函数 势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关． 势能是属于系统的． 势能差与势能零点选取无关．

3-5　保守力与非保守力 势能 四　势能曲线 重力势能曲线 弹性势能曲线 引力势能曲线 END

一 质点系的动能定理 对第 个质点，有 对质点系，有 质点系动能定理 注意 内力可以改变质点系的动能 外力功 内力功 3-6　功能原理 机械能守恒定律 一　质点系的动能定理 对第 个质点，有 外力功 内力功 对质点系，有 质点系动能定理 内力可以改变质点系的动能 注意

3-6　功能原理 机械能守恒定律 二　质点系的功能原理 非保守力的功

3-6　功能原理 机械能守恒定律 机械能 ——质点系的功能原理

三 机械能守恒定律 当 时，有 ——只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变． 守恒定律的意义 说明 3-6　功能原理 机械能守恒定律 三　机械能守恒定律 当 时，有 ——只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变． 守恒定律的意义 说明

3-6　功能原理 机械能守恒定律 例 1 雪橇从高50 m的山顶A点沿冰道由静止下滑, 坡道AB长为500 m．滑至点B后，又沿水平冰道继续滑行，滑行若干米后停止在C处. 若μ=0.050．求雪橇沿水平冰道滑行的路程.

3-6　功能原理 机械能守恒定律 已知 求 解　

当球运动到环的底端点B时，球对环没有压力．求弹簧的劲度系数． 3-6　功能原理 机械能守恒定律 例 2 一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点P，另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在环上运动(μ=0)．开始球静止于点 A, 弹簧处于自然状态，其长为环半径R; 当球运动到环的底端点B时，球对环没有压力．求弹簧的劲度系数．

3-6　功能原理 机械能守恒定律 解 以弹簧、小球和地球为一系统 只有保守内力做功 系统 取点B为重力势能零点 即 又 所以

3-6　功能原理 机械能守恒定律 例3　如图，在一弯曲管中， 稳流着不可压缩的密度为  的流体. pa = p1、Sa=A1 , pb =p2 , Sb=A2 ． ， ．求流体的压强 p 和速率 v 之间的关系．

解 取如图所示坐标，在 时间内 、 处流体分别移动 、 ． 3-6　功能原理 机械能守恒定律 解　取如图所示坐标，在 时间内 、 处流体分别移动 、 ．

3-6　功能原理 机械能守恒定律 =常量

3-6　功能原理 机械能守恒定律 伯努利方程 常量 若将流管放在水平面上，即 则有 常量

3-6　功能原理 机械能守恒定律 常量 即 若 则 结论 END

一般情况碰撞 1 完全弹性碰撞 动量和机械能均守恒 2 非弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒 3 完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒 3-7　弹性 一般情况碰撞 1　完全弹性碰撞 动量和机械能均守恒 2　非弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒 3　完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒

3-7　弹性 完全弹性碰撞 （五个小球质量全同）

例1 宇宙中有密度为  的尘埃， 这些尘埃相对惯性参考系静止．有一质量为 的宇宙飞船以初速 穿 3-7　弹性 例1　宇宙中有密度为  的尘埃， 这些尘埃相对惯性参考系静止．有一质量为 的宇宙飞船以初速 穿 过宇宙尘埃，由于尘埃 粘贴到飞船上，使飞船 的速度发生改变．求飞 船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系. (设想飞船的外形是面积为S 的圆柱体）

3-7　弹性 解　尘埃与飞船作完全非弹性碰撞

和 的弹性小球作对心碰撞，两球的速度方向相同．若碰撞是完全弹性的，求碰撞后的速度 和 ． 3-7　弹性 碰前 例 2　设有两个质量分别为 和 ，速度分别为 和 的弹性小球作对心碰撞，两球的速度方向相同．若碰撞是完全弹性的，求碰撞后的速度 和 ． 碰后

3-7　弹性 解 取速度方向为正向, 碰前 由动量守恒定律得 (1) 由机械能守恒定律得 碰后 (2)

3-7　弹性 碰前 由 、 可解得： (1) (2) (3) 由 、 可解得： (3) (1) 碰后

3-7　弹性 碰前 讨论 （1）若 则 （2）若 ,且 碰后 则 （3）若 ,且 则

3-7　弹性 两个质子发生二维的完全弹性碰撞 END

3-8 能量守恒定律 德国物理学家和生理学家．于1874年发表了《论力(现称能量)守恒》的演讲，首先系统地以数学方式阐述了自然界各种运动形式之间都遵守能量守恒这条规律．是能量守恒定律的创立者之一． 亥姆霍兹 (1821—1894)

能量守恒定律：对一个与自然界无任何联系的系统来说, 系统内各种形式的能量可以相互转换，但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭。 3-8 能量守恒定律 能量守恒定律：对一个与自然界无任何联系的系统来说, 系统内各种形式的能量可以相互转换，但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭。 　（1）生产实践和科学实验的经验总结； 　（2）能量是系统状态的函数； 　（3）系统能量不变, 但各种能量形式可以互相转化； 　（4）能量的变化常用功来量度．

END 讨论 下列各物理量中，与参照系有关的物理量是哪些？（不考虑相对论效应．） (1) 质量 (2)动量 (3) 冲量 3-8 能量守恒定律 讨论 下列各物理量中，与参照系有关的物理量是哪些？（不考虑相对论效应．） (1) 质量 (2)动量 (3) 冲量 (4) 动能 (5)势能 (6)功 答　动量、动能、功． END

3-9　质心 质心运动定律 一 质心 c 1　质心的概念 板上C点的运动轨迹是抛物线 其余点的运动=随C点的平动+绕C点的转动

3-9　质心 质心运动定律 m2 2　质心的位置 mi c 由n个质点组成的质点系，其质心的位置： m1

对密度均匀、形状对称的物体，质心在其几何中心． 说明 3-9　质心 质心运动定律 对质量离散分布的物系： 对质量连续分布的物体： 对密度均匀、形状对称的物体，质心在其几何中心． 说明

3-9　质心 质心运动定律 例1 水分子H2O的结构如图．每个氢原子和氧原子之间距离均为d=1.0×10-10 m，氢原子和氧原子两条连线间的夹角为θ=104.6o.求水分子的质心． H 52.3o d C o O d 52.3o H

3-9　质心 质心运动定律 解 yC=0 H 52.3o d C o O d 52.3o H

3-9　质心 质心运动定律 例2　求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. R θ O 解　选如图所示的坐标系． 在半球壳上取一如图圆环

3-9　质心 质心运动定律 圆环的面积 R θ O 圆环的质量 由于球壳关于y 轴对称，故xc= 0

3-9　质心 质心运动定律 R θ O

3-9　质心 质心运动定律 而 R θ O 所以 其质心位矢：

3-9　质心 质心运动定律 二 质心运动定律 m2 mi c m1

3-9　质心 质心运动定律 上式两边对时间 t 求一阶导数，得 再对时间 t 求一阶导数，得

作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以质心的加速度——质心运动定律 3-9　质心 质心运动定律 根据质点系动量定理 （因质点系内 ） 作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以质心的加速度——质心运动定律

例3 设有一质量为2m的弹丸,从地面斜抛出去,它飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片， 3-9　质心 质心运动定律 例3　设有一质量为2m的弹丸,从地面斜抛出去,它飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片， C O m 2m x 其中一个竖直自由下落，另一个水平抛出，它们同时落地．问第二个碎片落地点在何处?

解 选弹丸为一系统，爆炸前、后质心运动轨迹不．建立图示坐标系， 3-9　质心 质心运动定律 　　解 选弹丸为一系统，爆炸前、后质心运动轨迹不．建立图示坐标系， 2m m2 m1 xC x O C x2 xC为弹丸碎片落地时质心离原点的距离

一长为l、密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为 ．将其卷成一堆放在地面． 若手提链条的一端，以匀速v 将其上提．当一端被提离地面高度为 y 3-9　质心 质心运动定律 例4 　用质心运动定律来讨论以下问题． 一长为l、密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为　．将其卷成一堆放在地面． 若手提链条的一端，以匀速v 将其上提．当一端被提离地面高度为 y 时，求手的提力． c yC y o F

3-9　质心 质心运动定律 解 建立图示坐标系 c yC y o F 链条质心的坐标yc是变化的 竖直方向作用于链条的合外力为

3-9　质心 质心运动定律 由质心运动定律有 c yC y o F 而 考虑到 得到 END