§3.5 刚体的角动量定理与角动量守恒定律 主要内容： 1. 刚体绕定轴转动的角动量定理 2. 角动量守恒定律 §3.5 刚体的角动量定理与角动量守恒定律 主要内容： 1. 刚体绕定轴转动的角动量定理 2. 角动量守恒定律 3. 角动量守恒定律在工程技术上的应用

3.5.1 刚体绕定轴转动的角动量定理 质点系的角动量定理和角动量守恒定律 1. 质点系的角动量 O 2. 质点系的角动量定理 (所有质点的角动量之和) O 2. 质点系的角动量定理 微分形式 积分形式 质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量 质点系的内力矩不能改变质点系的角动量 说明

3. 质点系动量矩守恒定律 对质点系 投影形式,以 z 轴为例,如 4. 质点系角动量在 z 轴的投影（关于 z 轴角动量）

4. 质点系角动量在 z 轴的投影（关于 z 轴角动量） m A 若质点作平面运动，z 轴垂直运动平面，则 A 显然，结论与O’在 轴上的位置无关. 质点系： （指出各部分的含义） （针对刚体进行讨论）

定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1. 刚体定轴转动的角动量 (所有质元对Z轴的角动量之和) 2. 刚体定轴转动的角动量定理 角动量定理微分形式 （角动量定理积分形式） A 定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量 3. 刚体定轴转动的角动量守恒定律 讨论：质点系角动量守恒

变形体绕某轴转动时，则变形体对该轴的动量矩 演示 角动量守恒时，J变大，则角速度变小；J变小，则角速度变大。

花样滑冰 跳水 芭蕾舞等通过改变身体姿态（转动惯量）来改变转速 动量矩守恒举例 花样滑冰 跳水 芭蕾舞等通过改变身体姿态（转动惯量）来改变转速

在非定轴转动的情况下，只要作用于物体的外力对过质心轴的合外力矩为零，则对该轴的角动量保持不变。 猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？ 在非定轴转动的情况下，只要作用于物体的外力对过质心轴的合外力矩为零，则对该轴的角动量保持不变。

刚体绕定轴转动的动能定理—— 合力矩功的效果 （刚体绕定轴转动动能定理的微分形式） （刚体绕定轴转动的动能定理） 刚体的重力势能 含有刚体的力学系统的机械能 当 A外 + A非保内 = 0 时，有 定轴转动刚体的机械能: 质点系的角动量定理 (微分形式) (积分形式) 质点系动量矩守恒定律 投影形式:

A 刚体定轴转动的角动量（关于 z 轴角动量） 质点系角动量在 z 轴的投影（关于 z 轴角动量） A 刚体定轴转动的角动量（关于 z 轴角动量） (所有质元对Z轴的角动量之和) 刚体定轴转动的角动量定理 角动量定理微分形式 （角动量定理积分形式） 刚体定轴转动的角动量守恒定律

例  A O 关于 O 点？ 关于 A 点？ 关于 Z 轴？

分析人和转盘组成的系统当双臂由r1变为r2后，系统转动惯量、转动角速度和机械能的变化情况。 由角动量守恒，有 得 系统机械能的变化 非保守内力作正功，机械能增加。

演示 3.5.3 角动量守恒定律在工程技术上的应用 陀螺仪与导航 陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。 支架S 外环 陀螺G 内环 陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。 陀螺仪的特点：具有轴对称性和绕对称轴有较大的转动惯量。 演示 陀螺仪的定向特性：由于不受外力矩作用，陀螺角动量的大小和方向都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不能使陀螺仪转轴在空间的取向发生变化。

直升机螺旋桨的设置 演示 尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。 对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持系统的总角动量仍然为零。

刚体绕定轴转动的动能定理—— 合力矩功的效果 （刚体绕定轴转动动能定理的微分形式） （刚体绕定轴转动的动能定理） （绕定轴的转动） 刚体的重力势能 含有刚体的力学系统的机械能 当 A外 + A非保内 = 0 时，有 定轴转动刚体的机械能: 质点系的角动量定理 (积分形式) (微分形式) 质点系动量矩守恒定律 投影形式:

3.5.3 角动量守恒定律在工程技术上的应用 陀螺仪与导航

§3.6 进 动 进动现象 现象: 陀螺仪在外力矩的作用下，在绕其对称轴高速转动的同时，横杆也会在水平面内绕竖直轴缓慢地转动。 §3.6 进 动 进动现象 现象: 陀螺仪在外力矩的作用下，在绕其对称轴高速转动的同时，横杆也会在水平面内绕竖直轴缓慢地转动。 进动: 高速转动物体的自转轴绕另一轴线的旋转运动形式。

进动效应的理论分析 陀螺的角动量近似为 角动量定理 只改变方向，不改变大小(进动) 进动的方向：... ...

 进动角速度Ω 角动量定理 所以 以上只是近似讨论，只适用高速自转，即

进动特性的技术应用 翻转 进动 外力 外力 炮弹飞行姿态的控制：炮筒内壁上刻出了螺旋线（称之为来复线）

例 一质量为m，长度为l的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m0的橡皮泥以速度v0与细杆在其3l/4处发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起。 求 (1) 碰撞后系统的角速度； (2) 碰撞后细杆能上摆的最大角度q0。 解 (1)碰撞过程系统的合外力矩为零，系统的角动量守恒 有

(2) 上摆过程机械能守恒，则有

例 如图，在光滑水平面上放一质量为m、长为l的均质细棒，细 棒可绕中心固定的光滑竖直轴转动，细棒开始静止。若有一 质量为m0 的小球，以垂直于细棒的水平速度v0冲击细棒的一 个顶端，设冲击是完全弹性碰撞。 求 碰撞后小球的反弹速度v和细棒的角速度w。 解 外力对转轴C的合外力矩为零，碰撞时系统角动量守恒，有 由于碰撞是完全弹性碰撞，系统机械能守恒，则

例 如图，一质量为m1，长度为l的均质细棒，可绕过其顶端的光滑水平轴自由转动。质量为m2的子弹以水平速度v0射入静止的细棒下端，穿出后子弹的速度减小为v0/4。 求 子弹穿出后棒所获得的角速度w。 解 设子弹与细棒以初速v0接触相碰时为起始状态，子弹以速度v0/4穿出棒时为末状态（用两种不同的解法）。 (1)应用动量定理和角动量定理求解 设棒对子弹的阻力为F，对子弹应用动量定理 (1) 子弹对细棒的冲击力为F′,对细棒应用角动量定理 (2)

(1) (2) 式(2)变为 (3) 比较式(1)和式(3) 得

(2) 应用系统角动量守恒定律求解 v0/4。 且 由此解得 所以 ？ 讨论 水平方向动量守恒 ？

一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动 例 求 昆虫沿杆爬行的速度。 昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零（忽略重力力矩），角动量守恒 解  O r

O r  角动量定理 使杆以匀角速度转动 其中 代入得

例 如图，一个质量为m1，半径为R 的圆形水平转台可绕通过其中心的光滑竖直轴转动。质量为m2的人站在转台的边缘，开始时，人和转台都相对于地面静止。 求 当人沿转台边缘走完一周时，转台对地面转过的角度。 解 取人和转台作为系统。系统所受合外力矩为零，角动量守恒。 设人和转台对地角速度分别为和Ω，则 当人在转台上走动一周时，人对转台走过2，对地走过

例 如图，一根长为l, 质量为m1的均质细杆,可绕其一端的水平轴O作无摩擦转动。现将另一端悬挂于一劲度系数为k的轻弹簧下端，开始时细杆静止并处于水平状态。有一质量为m2的小球（m2<< m1）从距杆h高处落到杆的中点，并粘于杆上和它一起运动。设杆旋转微小角度后，角速度就减小到零。 求 此时弹簧的伸长量。 解 小球未落下时，细杆处于平衡状态，设此时弹簧的伸长量为x0，则有 (1) 分三个物理过程计算 (1) 小球与杆接触前的一瞬间，有 (2)

(2) 小球和细杆发生完全非弹性碰撞过程，忽略小球重力的力矩，则系统角动量守恒。设系统绕轴转动的角速度为 ，则有 (3) 杆与球碰撞后系统的下降过程机械能守恒，有 总伸长量为

质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较 速度 角速度 加速度 角加速度 质量 转动惯量 力 力矩 运动规律 转动定律 动量 角动量 动量定理 角动量定理

质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续） 动量守恒 角动量守恒 力的功 力矩的功 动能 转动动能 动能定理 重力势能 机械能守恒

本章小结 1.刚体绕定轴转动运动学描述 (1) 角坐标 (2) 角速度 (3) 角加速度 (4) 线量和角量的关系 (5) 匀变速定轴转动

2. 刚体绕定轴转动的转动惯量------刚体转动惯性的量度 (1) 转动惯量 或 (2) 平行轴定理 3. 刚体绕定轴转动的转动定律 4. 刚体绕定轴转动的功和能 (1) 刚体转动动能 (2) 力矩的功 (3) 刚体绕定轴转动的动能定理

(4) 刚体的重力势能 (5) 机械能守恒定律 当 时， 常量 5. 刚体绕定轴转动的角动量 (1) 刚体的角动量 (2) 刚体的角动量定理 (3) 角动量守恒定律 当 时， 常量 (4) 刚体进动的角速度公式

例 求对过圆环中心且垂直于圆环平面的转轴O 的转动惯量 m 3r m r O C 解

例 求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量 z r m 解 切为许多垂直于轴的圆环  R

例 求均匀球体绕直径的转动惯量 z m 解 r R

挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量 从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量为m,两圆盘中心O 和O′相距为d ，且（d + r）< R 例 求 挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量 解 使用补偿法 设小圆盘的质量为m′ 则填满后的总质量为m + m ′ m R O′ O r d

一半圆形均质细杆，其半径为R ，质量为 m ，AA/为过半圆形圆心和端点的轴。 例 A d 求 细杆对轴AA/的转动惯量 dl r 解  R m 另解： A/

求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量 例 求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量 解 dx x

求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量 八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC 例 求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量 · 解二 设 k是一个无量纲的量 · C 立方体绕棱边的转动惯量为 z · 分成八个相同的小立方体 他们绕各自棱边的转动惯量为 · 八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC 即