应用题的解法

应试策略 应用题的背景丰富，题目灵活多变，但应用题的解答却是一个程序化的过程： 1.审题：解题的前提；应用题往往题干较长，文字表述较多.在审题时，要注意抓住题目中的关键词、关键句，如：至 多、至少、直到两人中有一人取到白球，尤其是题目中出 现的新词，往往这些新词是平常生活中不太熟悉的，要求 把这些新词单独提取出来，如：2005年湖南卷中出现的新 词汇有：鱼群的总量、鱼群的繁殖量、被捕捞量、死亡 量；当这些词汇被提取出来后，要理顺各种数量之间的关 系，解题就可以进入第二步.

应试策略 2.建模：即用数学语言翻译文字描述，并建立数学模型，这是 解题的关键；数学模型的建立主要有两种途径，一是利用所学的数学知识如函数、数列、不等式、圆锥曲线、概率等，与题目所给信息相结合，建立数学模型；二是利用题目所给 的已知量、未知量、常量、变量等建立数学关系，题目中所给的条件就是题目中所出现的新词汇，如湖南卷中出现的新词汇就可以组成等量关系：鱼群第n+1年的总量=鱼群第n年 的总量+鱼群的繁殖量—被捕捞量—死亡量.

应试策略 3.运算：基本等同于常规理论题的解答，这是正确解答必不可少的环节，应用题的运算包括字母运算和数字运算，无论哪种运算，都要求考虑实际的意义、题目的要求精度保留几位小数等）、运算方法的优化问题等. 综上分析，应用题是用文字表述，具有一定的事理， 它 和一般解答题有明显的不同.一般解答题有现成的式子， 计算方法和次序都是明确的，逻辑推理能力要求高，而应用题同时还考 查了学生的“用所学基础知识分析和解决问题的能力”.

应试策略 应用题在考查知识上主要有： Ⅰ.函数、不等式的应用题，大多是以函数知识为背景设计，所涉及的函数主要是一次函数，反比例函数，二次函数、分段函数，以及形如y=ax+ 的函数等.解答此类应用题一般都是从建立函数表达式入手，将实际问题数学化，即将文字语言向数学的 符号语言或图形语言转化，最终构建函数、不等式的数学模型，在题目给出的实际定义域内求解.此类题目在求解时，要注意仔细分析，捕捉题目中的新词汇及数量关系，对于较复杂的数量关系可以根据事物的类别、时间的先后、问题的项目对题目中给出的已知量、未知量、常量的归类，或画出图表，建立等式、不等式，将复杂的数量关系清晰化，从而建立数 学模型，进行求解，最后还要注意检验所求是否符合实际意义.

应试策略 Ⅱ.数列、不等式应用题，大多以数列知识知识为背景， 所涉及的知识有数列的首项、通项公式、项数、递推公式、前 n项和公式及an与Sn的关系等等；常见的命题点有：平均增 长率、利率（复利）、分期付款、等值增减或等量增减的问 题.常用的数学模型有：⑴构造等差、等比数列的模型，然后 应用数列求和或特殊数列求和求解；⑵利用无穷等比数列的求 和公式求解，往往与极限结合出题；⑶构造数列通项的递推 公式或Sn的递推公式，利用待定系数法或an与Sn的关系求 解，注意n的范围问题；⑷通过类比归纳得出结论，用数学 归纳法或数列的知识求解.

应试策略 Ⅲ.三角、向量应用题，引入角作为参变量，构造三角形，借助正弦定理、余弦定理、三角函数公式、三角函数的最值、反三角函数、向量、不等式、图象的对称及平移等知识，求解实际问题，对于参变量的角要注意角的范围. Ⅳ.解析几何应用题，在新教材引入“线性规划”后，使此类题目的命题点从原来的椭圆应用题、双曲线应用题、抛物线应 用题又增加了线性规划应用题，解此类应用题往往在理解题意的基础上，利用线性规划求最优解、直线的夹角定比分点公式、或利用圆锥曲线的定义或性质、使用导数与切线的关系等求解问题.

应试策略 Ⅴ.排列组合、概率应用题，此类问题无论从内容还是从思 想上都能体现实际应用的意义.排列组合的问题、抽样方法常出现在选择或填空的小应用题，常考查有限定条件的组合与排列问题，从正面或反面入手，当限定条件较多时，正面求解要注意树图列举法的使用或分类讨论思想的应用；当正面突破较困难时要注意反面考虑；抽样方法主要考查概念，在选择填空题里出现较多，属于容易题.概率题目主要出现在解答题，分布列及数学期望是高考的热点，考查分类讨论、化归思想，独立事件、互斥 事件、随机变量的分布列、数学期望及方差、标准差；正态分布都可能成为考查的对象.

应试策略 要做好高考应用题，需注意以下三个方面： 一.文字关：即阅读理解题意，罗列题目的条件，分清题目中 的已知量、未知量、常量、变量、新词汇，分析 题目所求，思考可能采用的方法——审题 二.建模关：建立数学模型主要包括代数建模、几何建模，其中 代数建模主要利用函数、数列、不等式、概率等知 识进行建模，其难度主要在阅读题意，建立等式或 不等式关系上；几何建模主要是利用解析几何知 识，建立直角坐标系，使实际问题几何化，解决实 际问题. 三.运算关：考查学生运算的稳定度，精确度.

考题剖析 1.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售 的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万 元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为 1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R(x)满足 R(x)= . 假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律. （1）要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？ （2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的 售价为多少？

考题剖析 ［解析］依题意，G（x)=x+2,设利润函数为f (x),则 f (x)= (1)要使工厂有赢利，则有f (x)＞0. 当0≤x≤5时，有－0.4x2+3.2x－2.8＞0, 得1＜x＜7,∴1＜x≤5. 当x＞5时，有8.2－x＞0,得x＜8.2,∴5＜x＜8.2. 综上，要使工厂赢利，应满足1＜x＜8.2.即产品应控制在大于 100台小于820台的范围内.

考题剖析 （2）0≤x≤5时，f (x)=－0.4(x－4)2+3.6 故当x=4时，f (x)有最大值3.6. 而当x＞5时，f (x)＜8.2－5=3.2 所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求 x=4时, 每台产品售价为 =2.4（万元/百台）=240 (元/台) ［点评］ 本题以销售关系为背景，考查分段函数求最值，解不等式 等知识.

考题剖析 2.为防止某突发事件发生，有甲、 乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用 甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记 为P）和所需费用如下表： 预防措施 甲 乙 丙 丁 P 0.9 0.8 0.7 0.6 费用（万元） 90 60 30 10

考题剖析 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大. ［解析］ 方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9. 方案2： 联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1－(1－0.9)(1－0.7)=0.97.

考题剖析 方案3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只 能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发 生的概率为 1－(1－0.8)(1－0.7)(1－0.6)=1－0.024=0.976. 综合上述： 三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提 下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件 不发生的概率最大. ［点评］ 本题主要考查相互独立事件的概率计算方法，考查运用 概率知识解决实际问题的能力，在解题时，要注意对三 种方案的讨论.

考题剖析 3.某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时(4≤v≤20)从A港出 发到距50海里的B港去，然后乘汽车以w千米/时( 30≤w≤100)自 B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市. 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时. (1)作图表示满足上述条件x、y的范围； (2)如果已知所需的经费p=100+3(5－x)+2(8－y)(元)， 那么v、w 分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？

考题剖析 ［解析］ (1) 由题意得： v= ,w= , 4≤v≤20,30≤w≤100, ∴3≤x≤10, ≤y≤ ① 由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时 之间， 即9≤x+y≤14 ② 因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分 (包括边界).

考题剖析 (2) 因为p=100+3(5－x)+2(8－y),所以3x+2y=131－p,设131－p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－ 的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元. ［点评］本题考查运用线性规划知识解决实际问题的能力， 将实际问题转化为数学问题的建模能力.

考题剖析 4、甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x），当甲公司投入 x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙 公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风 险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于 g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险. （Ⅰ）试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义； （Ⅱ）设f(x)= x+10, g(x)= +20，甲、乙公司为了避免 恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情 况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投 入多少宣传费？

考题剖析 ［解析］ （Ⅰ）f（0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费； g（0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.

考题剖析 （Ⅱ）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元， 依题意，当且仅当 成立，双方均无失败的风险 由①②得y≥ ( +20)+10 4y － －60≥0 ∴( －4)(4 +15)≥0 ∵4 +15＞0

考题剖析 ∴ ≥4 y≥16, x≥ +20≥4+20=24 ∴xmin=24，ymin=16 ［点评］ 考查把实际问题抽象为数学问题，应用函数、不等式等基础知识，建立函数、不等式的数学模型，考查学生应用基础知识和方法解决实际问题的能力.

考题剖析 5.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正 西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到 的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都 是1020 m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速 度为340 m/s:相关各点均在同一平面上)

考题剖析 ［解析］如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x 轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、 东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0）， C （0，1020） 设P（x,y）为巨响发生点，由A、C同时听到巨响声，得 |PA|=|PC|， 故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比 A点晚4s听到爆炸声， 故|PB|－ |PA|=340×4=1360

考题剖析 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线 上，依题意得a=680, c=1020， ∴b2=c2－a2=10202－6802=5×3402 故双曲线方程为 用y=－x代入上式，得x=±680 ， ∵|PB|＞|PA|, ∴x=－680 , y=680 , 即P(－680 ,680 ), 故PO=680 答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680 m 处.

考题剖析 ［点评］此题是根据实际情况，把实际问题解析几何化，建立适当的坐标系，选用适当公式列出函数关系，利用代数方法解决问题，考查了学生解决实际问题的能力.