学案5 离散型随机变量及其分布列

考 纲 解 读 考点1 考 向 预 测 考点2 填填知学情 考点3 考点4 课内考点突破 规 律 探 究

考 纲 解 读 离散型随机变量及其分布列 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列刻画随机现象的重要性,会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列. 2.了解超几何分布,并能进行简单应用. 返回目录

考 向 预 测 求简单随机变量的分布列,以及由此分布列求随机变量的期望与方差.这部分知识综合性强,涉及排列、组合、二项式定理和概率，仍会以解答题形式出现，以应用题为背景命题是近几年高考的一个热点. 返回目录

1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以 的随机变量，称为离散型随机变量. 一一列出 返回目录

2.离散型随机变量的分布列 一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi（i=1,2,…,n）的概率P(X=xi)=pi，以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： X x1 x2 … xi xn P p1 p2 pi pn 返回目录

的分布列称为两点分布列.如果随机变量X的分布列为两 点分布列，就称X服从两点分布，而称p=P（X=1） 为 . pi≥0,i=1,2,…,n ① ; ② . 3.两点分布 如果随机变量X的分布列是 ，则这样 的分布列称为两点分布列.如果随机变量X的分布列为两 点分布列，就称X服从两点分布，而称p=P（X=1） 为 . X 1 P 1-p p 成功概率 返回目录

X 1 … m P 4.超几何分布 一般地,在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k}发生的概率为 其中m=min{M,n}，且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.称分布列 为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从 . X 1 … m P 超几何分布 返回目录

考点1 随机变量分布 投掷均匀硬币一次,随机变量为（ ） A.掷硬币的次数 B.出现正面的次数 C.出现正面或反面的次数 D.出现正面与反面次数之和 返回目录

【分析】在一次随机试验中,用来描述此随机试验的随机变量的形式多种多样,但不论选其中的哪一种形式,它对应的都是随机试验所有可能出现的结果 【分析】在一次随机试验中,用来描述此随机试验的随机变量的形式多种多样,但不论选其中的哪一种形式,它对应的都是随机试验所有可能出现的结果.同时,随机变量在选定标准之后,它是变化的. 【解析】掷一枚硬币,可能出现的结果是正面向上或反面向上.以一个标准如正面向上次数来描述这一随机试验,那么正面向上的次数就是随机变量ξ,ξ的取值是0,1,故选B.而A项中掷硬币的次数就是1,不是随机变量;C项中标准模糊不清;D项中出现正面和反面次数的和必是1,对应的是必然事件,试验前便知是必然出现的结果,也不是随机变量.故应选B. 返回目录

在一次随机试验中,随机变量的取值实质是随机试验结果对应的数,但这个数是预先知道所有可能的值,而不知道究竟是哪一个值,这便是“随机”的本源 在一次随机试验中,随机变量的取值实质是随机试验结果对应的数,但这个数是预先知道所有可能的值,而不知道究竟是哪一个值,这便是“随机”的本源.本题容易误选C，认为出现正面记为ξ=1，出现反面记为ξ=0，则随机变量ξ是表示出现正面或反面的次数. 返回目录

将一颗骰子掷2次,两次掷出的最大点数为Z,写出Z的所有可能的值. 返回目录

考点2 求离散型随机变量的分布列 某人参加射击，击中目标的概率为 . （1）设ξ为他射击6次击中目标的次数，求随机变量ξ的分布列； （2）若他连续射击6次，设δ为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求δ的分布列； （3）若他只有6颗子弹，若击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数ξ的分布列. 返回目录

ξ 1 2 3 4 5 6 P 【分析】这4个小题中的随机变量的意义都很接近，因此准确定义随机变量的意义是解答的关键. 【解析】（1）随机变量ξ服从二项分布B(6, )，而ξ的取值为0,1,2,3,4,5,6,则 (ξ=k)= (k=0,1,2,3,4,5,6). 故的分布列为： ξ 1 2 3 4 5 6 P 返回目录

（2）设δ=k表示前k次未击中目标，而第k+1次击中目标，δ的取值为0,1,2,3,4,5，当δ=6时表示射击6次均未击中目标，则 P(δ=k)= (k=0,1,2,3,4,5)，则P(δ=6)= . 故δ的分布列为： ξ 1 2 3 4 5 6 P 返回目录

ξ 1 2 3 4 5 6 P （3）设ξ=k表示前k-1次未击中，而第k次击中，k=1,2,3,4,5, 故ξ的分布列为： ξ 1 2 3 4 5 6 P 返回目录

从上面各小题可以看出求随机变量的分布列，必须首先弄清ξ的含义及ξ的取值情况，并准确定义“ξ=k”,问题解答完全后应注意检验分布列是否满足第二条性质.注意射击问题与返回抽样问题是同一类问题. 返回目录

从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同 从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同.在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数ξ的分布列. （1）每次取出的产品都不放回此批产品中； （2）每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批 产品中. 返回目录

（1）ξ的取值为1,2,3,4. 当ξ=1时，即只取一次就取得合格品， 故P（ξ=1）= . 当ξ=2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品， 故P（ξ=2）= × = . 类似地，有P（ξ=3）= × × = , P(ξ=4)= × × × = . 所以，ξ的分布列为： 返回目录

ξ 1 2 3 4 P 返回目录

（3）ξ的取值为1,2,3,4. 当ξ=1时，即第一次就取到合格品，故P(ξ=1)= . 当ξ=2时，即第一次取到次品而第二次取到合格品，注意 第二次再取时，这批产品有11个合格品，2个次品, 故P(ξ=2)= × = ; 类似地，P(ξ=3)= × × = , P(ξ=4)= × × × = . 返回目录

因此，ξ的分布列为： ξ 1 2 3 4 P 返回目录

考点3 分布列的应用 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球.按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X表示取出的3个小球上的最大数字.求: (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量X的概率分布列; (3)计分介于20分到40分之间的概率. 返回目录

【分析】 (1)是古典概型; (2)关键是确定X的所有可能取值; (3)计分介于20分到40分之间的概率等于X=3与X=4的概率之和. 【解析】 (1)解法一:“一次取出的3个小球上的数字 互不相同的事件记为A，则P（A）= 返回目录

解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件， 因为P（B）= . 所以P(A)=1-P(B)=1- = . (2)由题意,X所有可能的取值为2,3,4,5. P(X=2)= ; P(X=3)= ; 返回目录

P(X=4)= ; P(X=5)= . 所以随机变量X的概率分布列为: X 2 3 4 5 P 返回目录

(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则 P(C)=P(X=3或X=4)=P(X=3)+P(X=4) = + = . 把所求事件的概率转化为分布列中的基本事件或由基本事件组成的事件的概率问题是用分布列解决问题的关键. 返回目录

一袋装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球，以ξ表示取出的球的最大号码，求ξ的分布列及P(ξ≥4). 随机变量ξ的取值为3,4,5,6. 从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为 ，事件“ξ=3”包含的基本事件总数为 ，事件“ξ=4”包含的基本事件总数为 ；事件“ξ=5”包含的基本事件总数为 ；事件“ξ=6”包含的基本事件总数为 ,从而有 返回目录

ξ 3 4 5 6 P P(ξ=3)= ，P(ξ=4)= , P(ξ=5)= , P(ξ=6)= . ∴随机变量ξ的分布列为： = + + = 或P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=1- = . ξ 3 4 5 6 P 返回目录

考点4 超几何分布 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张中任抽2张.求： （1）该顾客中奖的概率; （2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布列. 返回目录

【分析】利用超几何分布公式计算，注意分清N， M，n,k的取值分别是多少. 【解析】（1)P=1- . 或P= 即该顾客中奖的概率为 . 返回目录

（2）X的所有可能值为:0,10,20,50,60(元)，且 P(X=0)= ,P(X=10)= ,P( X=20)= ,P(X=50)= ,P(X= 60)= . 故X的分布列为: X 10 20 50 60 P 返回目录

本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算、离散型随机变量分布列的求法及分析和解决实际问题的能力. 返回目录

某校组织一次冬令营活动,有8名同学参加,其中有5名男同学,3名女同学,为了活动的需要,要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务,记其中有X名男同学. (2)求去执行任务的同学中有男有女的概率. 返回目录

X 1 2 3 P (1)X~H(3,5,8),X可取0,1,2,3. P(X=0)= P(X=1)= (X=2)= P(X=3)= (2)去执行任务的同学中有男有女的概率为： P(X=1)+P(X=2)= + = . X 1 2 3 P 返回目录

1.离散型随机变量的概率分布列的两个本质特征： pi≥0(i=1,2,…,n)与 是确定分布列中参数值的 依据. 2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情 况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知 识求出ξ取各个值的概率. 返回目录

祝同学们学习上天天有进步！