概率论与数理统计 2.2 离散型随机变量及其分布

§ 2.2 离散型随机变量及分布律 定义 即 X 或 P 若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量

或 X ~ 分布律的性质 非负性 归一性 用性质可以判断 是否为分布律

离散型随机变量的分布函数 其中xk – 1 < xk. F(x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度 pk 。

例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯，每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过。 令 X 表示 首次停下时已通过的信号灯盏数，求 X 的概 率分布与 p = 0.4 时的分布函数。 解 出发地 甲地

k pk 0 1 2 3 4 代入 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.0256 ] • ] ] • x ] • 1 2 3 4 x

x F( x) 1 • • o • o • o • o o • 1 2 3 4

用分布律或分布函数来计算事件的概率 例2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计 算 解 或 此式表示极限

例3. 设随机变量X的概率函数为： k =0,1,2, …, 试确定常数a . 解: 依据概率函数的性质: P(X = k) ≥ 0, 欲使上述函数为概率函数 应有 a≥0 从中解得 这里用到了常见的 幂级数展开式

四、常见离散型随机变量的分布 超几何分布 1.超几何分布 例 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，现从中任取 n 件，用 X 表示其中的次品数，求其分布律。 超几何公式 超几何分布

2.几何分布 例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中率是 p，求所需射击发数X 的分布律. Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， P(X = 1) = P(A1) = p,

若随机变量X的概率分布如上式，则称X服从几何分布。 不难验证: 由于等比数列又称为几何数列，因此此分布称为几何分布。

X 0 1 Pk 1  p p 0 < p < 1 应用 场合 3. 两点分布（0-1分布） 或 凡试验只有两个结果，常用0-1 应用 场合 分布描述，如产品是否合格、人 口性别统计、系统是否正常、电力消耗 是否超标等等.

4. 二项分布 n 重Bernoulli试验中，X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数，P(A) = p，若 则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 0-1分布是 n = 1的二项分布

二项分布的取值情况 设 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 由图表可见 , 当 时， x P • 1 2 3 4 5 6 7 8 分布取得最大值 0.273• 此时的 称为最可能成功次数

设 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 • x P 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 20 由图表可见 , 当 时， 分布取得最大值 0.22 •

二项分布中最可能出现次数 当(n + 1)p为整数时，在k = (n + 1)p与 ( n + 1)p – 1处的概率取得最大值。 x表示不超过 x 的最大整数

令X表示命中次数，则X ~ B(400, 0.01) 例 独立射击400次，命中率为0.01， 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； 例 独立射击400次，命中率为0.01， 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于3次的概率。 令X表示命中次数，则X ~ B(400, 0.01) 解： (1) k = [( n + 1)p] = [(400 + 1)0.01] = 4

问题 如何计算P(X  300)？ 泊松近似

二项分布的泊松近似 当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，必须寻求近似方法. 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的. 我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面我们将介绍二项分布的正态近似。

, 则对固定的 k 设 Possion定理 若X ~ B( n, p)，则当n 较大、p 较小时，有

泊松定理的证明 记n = npn。则 由于k是固定的，因此

并且， 证毕 因此，

令X 表示命中次数,则 X ~ B(400,0.01) 利用Poisson定理再求前例 (2) 命中次数不少于3次的概率. (2) 命中次数不少于3次的概率. 令X 表示命中次数,则 X ~ B(400,0.01) 泊松近似 查附表3泊松分布表 (1) 同理，

(1) 对该项保险保险公司亏本的概率有多大？ (2) 该项保险的利润不少于10万元的概率有多大？ 例 保险公司里有2500人参加某种事故保险，每人每年付120元保险费，在一年中一个人发生此种事故的概率为0.002，发生事故时家人可向保险公司领得20000元。问： (1) 对该项保险保险公司亏本的概率有多大？ (2) 该项保险的利润不少于10万元的概率有多大？ 解： 令X 表示出事故人数，则 X ~ B(2500, 0.002) (1) 该公司一年的收入为2500×120 = 300000元。 亏本则表明X×20000 > 300000，即X > 15。

泊松近似， = np = 5 几乎不亏本 (2) 利润不小于10万元表明300000 – X×20000 > 100000，即X  10。 可能性极大

设同类型设备100台，每台工作相互独立， 每台设备发生故障的概率都是0.01。一台设 备发生故障可由一个人维修。问至少要配备 多少维修工人，才能保证当设备发生故障时 不能及时维修的概率小于0.01？（习题2-10） 思考 解 设需要配备 N 个维修工人， 设 X 为同时发生故障的设备台数， 则 X ~ B(100, 0.01)

泊松近似 查附表3得 N + 1 = 5 N = 4 至少要配备4名维修工人

5. 泊松分布 若 其中 是常数，则称 X 服从参数为 的泊松(Poisson)分布。记作X ~ ()或P()。

在某个时段内： 应用场合 因此，泊松分布又称为稀疏现象律。 结论 由泊松定理可知，Poisson 分布是二项分布的极限分布。 市级医院急诊病人数； 某地区拨错号的电话呼唤次数； 某地区发生的交通事故的次数. 一本书一页中的印刷错误数. 因此，泊松分布又称为稀疏现象律。 结论 由泊松定理可知，Poisson 分布是二项分布的极限分布。

泊松分布中最可能出现次数    1  k   当λ为整数时，在λ与λ – 1 处的概率取得大值 当λ不是整数时，在 [λ]处的概率取得最大值

例 一家商店由过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数服从参数λ=5 的泊松分布，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进该种商品多少件？ 设该商品每月的销售数为X ，月底应进m件商品 P(X ≤ m)  0.95 P(X > m)  0.05 查泊松分布表得 m + 1 = 10, m = 9件