5.3 二元一次不等式 与简单的线性规划
含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式. 知识梳理 1.二元一次不等式的结构特征: 含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式. 2.二元一次不等式表示的平面区域: 设直线l:Ax+By+C=0,若B>0,则不等式Ax+By+C>0表示直线l上方的区域,不等式Ax+By+C<0表示直线l下方的区域.
3.线性规划的有关概念: (1)线性约束条件:由几个关于x、y的一次不等式组成的不等式组. (2)线性目标函数:关于变量x、y的二元一次函数. (3)可行解:满足线性约束条件的解(x,y). (4)可行域:由所有可行解组成的集合
(5)最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. (6)线性规划:在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值.
1.设直线l:Ax+By+C=0,若B<0,则不等式Ax+By+C>0表示直线l下方的区域,不等式Ax+By+C<0表示直线l上方的区域. 拓展延伸 1.设直线l:Ax+By+C=0,若B<0,则不等式Ax+By+C>0表示直线l下方的区域,不等式Ax+By+C<0表示直线l上方的区域. 2.可行域就是二元一次不等式组表示的平面区域,它可能是一个多边形区域,也可能是一个无界区域.
3.目标函数可以是二元二次函数或二元分式函数,其几何意义分别为两点间的距离和连线斜率. 4.若围成可行域的直线l1,l2,…,ln的斜率分别为k1<k2<…<kn,线性目标函数的直线的斜率为k,若ki<k<ki+1,则直线li与li+1的交点一般是最优解. 5.当线性目标函数的直线与可行域的某条边界线平行时,其最优解有无数个.
确定边界线虚实→画边界→取特殊点定区域→将公共部分用阴影线表示. 考点分析 考点1画二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1 画出下列不等式(组)表示的平面区域: (1)2x+y-6<0; (2)x<|y|≤2x; (3) . 【解题要点】 确定边界线虚实→画边界→取特殊点定区域→将公共部分用阴影线表示.
考点2与平面区域有关的求值或范围问题 例2 填空题: (1)若点P(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是 . (2)已知集合 , 集合 ,若A∪B=A,则实数a的取值范围是 .
(3)(09·安徽卷)若不等式组 分为面积相等的两部分,则k的值为 . 表示的平面区域被直线 (4)(09·湖南卷)已知D是由不等式组 所确定的平面区域,则 圆x2+y2=4在区域D内的弧长为 .
【解题要点】 画平面区域→数形结合→用方程法求值→用不等式法求范围.
考点3 求目标函数在约束条件下的最值 分别求下列目标函数的最大值和最小值. (1)z=6x+10y; (2)z=2x-y; (3)z=2x-y(x,y是整数); (4)d=x2+y2; (5) . 例3 已知x,y满足约束条件
例4 已知实数x,y满足 , 求目标函数 的最大值和最小值. 例5 已知实数x,y满足 ,如 果目标函数z=x-y的最小值为-1,求实数m的值.
【解题要点】 明确目标函数的几何意义→作可行域→找最优解→求最值.
考点4 线性规划的实际应用 例6 甲、乙两个粮库要向A,B两镇运送大米,已知甲库可调出100吨大米,乙库可调出80吨大米,A镇需70吨大米,B镇需110吨大米,两库到两镇的路程和运费如下表: (1)这两个粮库各运往A,B两镇多少吨大米,才能使总运费最省?最小总运费是多少? (2)最不合理的调运方案是什么?它使国家造成的损失是多少? 8 10 20 25 B镇 12 15 A镇 乙库 甲库 运费(元/km·t) 路程(km)
例7 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌、椅的总数尽可能多,但椅子数不能少于桌子数,且不多于桌子数的1 例7 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌、椅的总数尽可能多,但椅子数不能少于桌子数,且不多于桌子数的1.5倍,问桌子、椅子各买多少才合适?
例8(1)(09·山东卷)某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,则所需租赁费最少为 元.
(2)(09·四川卷)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨 (2)(09·四川卷)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是 万元. 【解题要点】 设相关字母→定约束条件→写目标函数→作可行域→找最优解→求最值→作答.