第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 §2 标准型 §3 唯一性 §4 正定二次型

§1 二次型的矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程为 （1） §1 二次型的矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程为 （1） 作适当的坐标转轴（反时针方向）， （2） 把方程（1）化成标准型。

二次齐式在其它学科如物理、力学中也经常用到。一般的二次齐式为： 定义 设P是一个数域，一个系数在数域P中的 的二次齐次多项式 （3） 称为属于P上的一个n元二次型，或者简称二次型。

如 定义1 设 ； 是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 （4） 称为由 到 的一个线性替换，或简称为线性替换。

如果系数行列式 那么线性替换（4）就称为非退化的。 将（4）代入（3），得到关于 的二次型。所以线性替换将二次型变成二次型 如（2）中 为非退化的。

二次型的矩阵表示：令 二次型（3）可以写成 （5）

二次型（5）的矩阵： 二次型的矩阵表示式为 二次型的矩阵表示式是唯一的。

令 则线性替换（4）的矩阵表示式为

或者 X=CY 二次型 作非退化线性替换 X=CY 定义 2 数域P上的n×n矩阵A,B称为合同的，如果有数域P上可逆的n×n矩阵C，使 1）反身性；2）对称性；3）传递性。

因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。因此我们将二次型的标准化变为矩阵的标准化问题。 在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换X=CY是非退化的。因为非退化的变换可以将所得的二次型经逆变换 还原为原来的二次型。这样我们可以从所得的二次型的性质可以推知原二次型的性质。 Back

§2 标准型 定义 只含平方项的二次型 （1） 称为二次型的一个标准形。 §2 标准型 定义 只含平方项的二次型 （1） 称为二次型的一个标准形。 定理1 数域P上的任意一个二次型都可以经过非退化的线性变换变成平方和（1）的形式。 证明 我们对变量的个数n作归纳法。

对于n=1,二次型就是 已经是平方和了，现假定对n-1元的二次型，定理的结论成立，再设 分三种情形来讨论：

1） 中至少有一个不为零，例如 。这时

这里 是 的二次型。令

或

这是一个非退化线性替换，它使 由归纳法假定,对 ,有 非退化线性替换 能使它变成平方和

于是非退化线性替换 就使 变成 即变成平方和了，根据归纳法原理，定理得证.

2) 所有 ,但是至少有 一 个 , 不失普遍性,设 令

它是非退化线性替换，且使 这时上式右端是 的二次型, 且 的系数不为零,属于第一种情况,定理成立.

3) 由于对称性，有 这时 是n-1元二次型,根据归纳法假定，它能用非退化线性替换变成平方和. 这样，我们就完成了定理的证明.

不难看出，二次型(1)的矩阵是对角矩阵, 反过来，矩阵为对角形的二次型就只含有平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言，定理1可以叙述为

定理2 在数域P上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理2也就是说，对于任意一个对称 矩阵A都可以找到一个可逆C使 成对 角矩阵. 二次型 经过非退化线性替 换所变成的平方和称为 的一 个标准型. 例 化二次型 为标准型.

作非退化线性替换

则 再令 或

则 最后令

或 则 是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换,

前面所讲的配方法的过程，可以用矩 阵写出来.我们按前面的每一种情况写出相 应的矩阵. 1. 这时的变量替换为

令

则上述变量变换相应于合同变换 为计算 ,可令 于是A和C1可写成分块矩阵

这里 为 的转置,En-1为n-1级单位矩阵. 这样

矩阵 是一个(n-1) ×(n-1)对称矩阵，由归纳法假定,有(n-1) ×(n-1)可逆矩阵G使 为对角形,令

于是 这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是

2. 但有一个 这时,只要把A的第一行与第 i 行互换,再把第一行与 i 列互换,就归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取

i行, i列

显然 矩阵 就是把A的第一行与第i行互换，再把第一 列与第i列互换的结果。因此， 左上 角第一个元素就是 ，这样就归结到第一 种情形。 3. 但有一个 与上一种情形类似， 作合同变换

可以把 搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情况。与那里的变数替换相对应，取

于是 的左上角就是 也就归结到第一种情形。 4. 由对称性， 也全为零。于是

A1是n-1级对称矩阵，由归纳法假定，有(n-1) ×(n-1)可逆矩阵G使 成对角形，取 就成对角形。

例 化二次型 成标准型。 的矩阵为 取

再取

再取

A3已是对角矩阵，因此令

就有 作非退化线性替换 即得 Back

§3 唯一性 我们看到，经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵。由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换之后，二次型矩阵的秩是不变的。标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数。因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，

与所做的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩就称为二次型的秩， 至于标准型中的系数，就不是唯一确定的。譬如上一节的例子，二次型 经过线性替换 得到标准型

而经过线性替换 就得到另一个标准型 这就是说，在一般的数域内，二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关。

下面只就复数域和实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题。先看复数域的情形。 设 是一个复系数的二次型。由本节定理1，经过一适当的非退化线性替换后， 变成标准形。不妨假定它的标准形是 易知r就是 的矩阵的秩。因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换

（1）就变成

(3)称为复二次型 的规范形。显然，规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定，因此有 定理3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，规范形是唯一的。 定理3换个说法就是，任一复数的对称矩阵合同于一个形式为

的对角矩阵，从而有，两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等。

再来看实数域的情形。 设 是一实系数的二次型。由本章定理1，经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使 变成标准形 其中 ；r是 的矩阵的秩。

因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换

(4)就变成 (6)称为实二次型 的规范形。 显然，规范形完全被r,p这两个数所决定。 定理4 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形；且规范形是唯一的。 证明 定理的前一半在上面已经证明，下面就来证唯一性。 设实二次型 经过非退化线性替换

化成规范形 而经过非退化线性替换 也化成规范形 现在来证p=q. 用反证法。设p>q. 由以上假设，我们有

其中 令

于是把(8)明白写出来就是

考虑齐次线性方程组 方程组(10)含有n个未知量，而含有 个方程，

由第三章§1定理1，(10)有非零解: 因此，把它代入(7)的左端，得到的值为 通过(9)把它代入(7)的右端，因为它是(10)的解，固有

所以得到的值为 这是一个矛盾，它说明假设 是不对的， 因此我们证明了 . 同理可证 .从而 .这就证明了规 范形的唯一性。 这个定理通常称为惯性定理。

定义3 在实二次型 的规范形中， 正平方项的个数p称为 的正惯性指数；负平方项的个数r-p称为 的负惯性指数；它们的差p-(r-p)=2p-r称为 的符号差。

应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准型中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的。因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数。 Back

§4 正定二次型 是正定的 在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位。作为本章的结束，我们给出它的定义以及常用的判别条件。 §4 正定二次型 在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位。作为本章的结束，我们给出它的定义以及常用的判别条件。 定义4 实二次型 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 都有 显然，二次型 是正定的

实二次型 是正定的当且仅当 设实二次型 (1) 是正定的，经过非退化线性替换 (2) 变成正定的二次型 (3)

事实上，令 代入(2)的右端，就得 对应的一 组值。譬如说，是 ，这就是说

因为C可逆，就有 所以当 是一组不全为零的实数时， 也是一组不全为零的实数。显然

因为二次型(3)也可以经非退化实线性替换 变到二次型(1)，所以按同样理由， 当(3)正定时(1)也正定。 这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变， 由此可得

定理5 n元实二次型 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n. 证明 设二次型 经过非退化实线性替换变成标准形

定理5说明，正定二次型 的规范形为

正定。 两边取行列式，就有 定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型 所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同，由此得 推论 正定矩阵的行列式大于零。 证明 设A是一正定矩阵，因为A与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵C使 正定。 两边取行列式，就有

有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个二次型是不是正定的，而不希望通过它的规范形。下面就来解决这个问题。为此，引入 定义6 子式 称为矩阵 的顺序主子式。

定理6 实二次型 是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零。 证明 先证必要性，设二次型 是正定的，对于每个 令 我们来证fk是一个k 元的正定二次型。对于

任意一组不全为零的实数 有 因此， 是正定的。由推论， 的矩阵的行列式

再证充分性。对n作数学归纳法。 当n=1时， 由条件 显然有 是正定的。 假设对于n-1元二次型已经成立，现在来证n元的情形。 令

于是矩阵A可以分块写成 既然A的顺序主子式全大于零，当然A1的顺序主子式也全大于零。由归纳法假定，A1是正定矩阵，换句话说，有可逆的n-1级矩阵G使

令 于是

再令 有

令 就有

两边取行列式， 由条件， 因此 显然 这就是说，矩阵A与单位矩阵合同，因之，A是正定矩阵，或者说，二次型是正定的。 根据归纳法原理，充分性得证。

例 判别二次型 是否正定。 的矩阵为

它的顺序主子式 是正定的

定义7 设 是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数 ,如果都有 ,那么 称为负定的；如果都有 ，那么 称为半正定的；如果都有 ,那么 称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么 就称为不定的。

由定理6得出负定二次型的判别条件。 因为当 是负定时， 就是正定的。

至于半正定性，我们有 定理7 对于实二次型 ，其中A是实对称的，下列条件等价， （1） 是半正定的， （2）它的正惯性指数与秩相等， （3）有可逆实矩阵C，使

其中 （4）有实矩阵C使 （5）A的所有主子式皆大于或等于零。 注意，在（5）中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的。 比如 就是一个反例。 Back