此幻灯片可在如下网址下载： www.appmath.cn www.应用数学.cn 工程数学线性代数第16讲 此幻灯片可在如下网址下载： www.appmath.cn www.应用数学.cn

§4 对称矩阵的对角化

定理5 对称阵的特征值为实数 证 设复数l为对称阵A的特征值, 复向量x为对应的特征向量, 即Ax=lx, x0.

但因x0, 所以 故 这就说明l是实数. 证毕

显然, 当特征值li为实数时, 齐次线性方程组 (A-liE)x=0 是实系数方程组, 由|A-liE|=0知必有实的基础解系, 所以对应的特征向量可以取实向量.

定理6 设l1,l2是对称阵A的两个特征值, p1,p2是对应的特征向量. 若l1l2, 则p1与p2正交 定理6 设l1,l2是对称阵A的两个特征值, p1,p2是对应的特征向量. 若l1l2, 则p1与p2正交. 证 l1p1=Ap1, l2p2=Ap2, l1l2. 因A对称, 故 于是 即 但l1l2,

定理7 设A为n阶对称阵, 则必有正交阵P, 使P-1AP=PTAP=L, 其中L是以A的n个特征值为对角元的对角阵. 这定理不予证明.

推论 设A为n阶对称阵, l是A的特征方程的k重根, 则矩阵A-lE的秩R(A-lE)=n-k, 从而对应的特征值l恰有k个线性无关的特征向量. 证 按定理7知对称阵A与对角阵L=diag(l1,…,ln)相似, 从而A-lE与L-lE=diag(l1-l,…,ln-l)相似. 当l是A的k重特征根时, l1,…,ln这n个特征值中有k个等于l, 有n-k个不等于l, 从而对角阵L-lE的对角元恰有k个等于0, 于是R(L-lE)=n-k. 而R(A-lE)=R(L-lE), 所以R(A-lE)=n-k. 证毕.

依据定理7及其推论, 我们有下述把对称阵A对角化的步骤: (1) 求出A的全部互不相等的特征值l1,…,ls, 它们的重数依次为k1,…,ks(k1+…+ks=n). (2) 对每个ki重特征值li, 求方程(A-liE)x=0的基础解系, 得ki个线性无关的特征向量. 再把它们正交化,单位化, 得ki个两两正交的单位特征向量. 因k1+…+ks=n, 故共可得n个两两正交的单位特征向量.

(3) 把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P, 便有P-1AP=PTAP=L, 注意L中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应.

例12 设 求一个正交阵P, 使P-1AP=L为对角阵. 解 由 求得A的特征值为l1=-2, l2=l3=1.

对于l1=-2, 解方程(A+2E)x=0, 由 得基础解系 单位化得

对应l2=l3=1, 解方程(A-E)x=0, 由 得基础解系

将x2,x3正交化, 取h2=x2, 再将h2,h3单位化,得

将p1,p2,p3构成正交矩阵 有

§5 二次型及其标准型

在解析几何中, 为了便于研究二次曲线 ax2+bxy+cy2=1 (4) 的几何性质, 我们可以选择适当的坐标旋转变换 把方程化为标准形

ax2+bxy+cy2=1 (4) (4)式的左边是一个二次齐次多项式, 从代数学的观点看, 化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项. 这样一个问题, 在许多理论问题或实际问题中常会遇到. 现在我们把这类问题一般化, 讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题.

定义8 含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数 称为二次型. 取aji=aij, 则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi, 于是(5)式可以写成

对于二次型, 要讨论的主要问题是, 寻求可逆的线性变换

使二次型只含平方项, 也就是用(7)代入(5), 能使 这种只含平方项的二次型, 称为二次型的标准形(或法式). 如果标准形的系数k1,k2,…,kn只在1,-1,0三个数中取值, 也就是用(7)代入(5), 能使 则称上式为二次型的规范形.

当aij为复数时, f称为复二次型; 当aij为实数时, f称为实二次型. 这里, 我们仅讨论实二次型, 所求的线性变换(7)也限于实系数范围. 由(6)式, 利用矩阵, 二次型可表示为

记 则二次型可记作 f=xTAx (8) 其中A为对称阵.

例如, 二次型f=x2-3z2-4xy+yz用矩阵记号写出来, 就是

任给一个二次型, 就惟一地确定一个对称阵; 反之, 任给一个对称阵, 也可惟一地确定一个二次型 任给一个二次型, 就惟一地确定一个对称阵; 反之, 任给一个对称阵, 也可惟一地确定一个二次型. 这样, 二次型与对称阵之间就存在一一对应的关系. 因此, 我们把对称阵A叫做二次型f的矩阵, 也把f叫做对称阵A的二次型. 对称阵A的秩就叫做二次型f的秩.

记C=(cij), 把可逆变换(7)记作. x=Cy, 代入(8), 有f=xTAx=(Cy)TACy=yT(CTAC)y 记C=(cij), 把可逆变换(7)记作 x=Cy, 代入(8), 有f=xTAx=(Cy)TACy=yT(CTAC)y. 定义9 设A和B是n阶矩阵, 若有可逆矩阵C, 使B=CTAC, 则称矩阵A与B合同.

B=CTAC, 显然, 若A为对称阵, 则B也是对称阵, 且R(B)=R(A). 事实上 B=CTAC, 显然, 若A为对称阵, 则B也是对称阵, 且R(B)=R(A). 事实上 BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B 即B为对称阵. 又因B=CTAC,, 而C可逆, 从而CT也可逆, 由矩阵秩的性质即知R(B)=R(A). 由此可知, 经可逆变换x=Cy后, 二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵CTAC, 且二次型的秩不变.

要使二次型f经可逆变换x=Cy变成标准形, 这就是要使 也就是要使CTAC成为对角阵. 因此, 我们的主要问题就是: 对于对称阵A, 寻求可逆矩阵C, 使CTAC为对角阵.

由上节定理7知, 任给对称阵A, 总有正交阵P, 使P-1AP=L, 即PTAP=L. 把此结论应用于二次型, 即有

推论 任给n元二次型f(x)=xTAx(AT=A), 总有可逆变换x=Cz, 使f(Cz)为规范型.

§6 用配方法化二次型成标准形 (略)

§7 正定二次型

二次型的标准形显然不是惟一的, 只是标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩) 二次型的标准形显然不是惟一的, 只是标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩). 不仅如此, 在限定变换为实变换时, 标准形中正系数的个数是不变的(从而负系数的个数也不变), 也就是有

定理9 设有二次型f=xTAx, 它的秩为r, 有两个可逆变换 x=Cy 及 x=Pz 使 则k1,…,kr中正数的个数与l1,…,lr中正数的个数相等. 这个定理称为惯性定理, 这里不予证明.

二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数, 负系数的个数称为负惯性指数 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数, 负系数的个数称为负惯性指数. 若二次型f的正惯性指数为p, 秩为r, 则f的规范形便可确定为 科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为n或负惯性指数为n的n元二次型, 我们有下述定义.

定义10 设有二次型f(x)=xTAx, 如果对任何x0, 都有f(x)>0(显然f(0)=0), 则称f为正定二次型， 并称对称阵A是正定的； 如果对任何x0都有f(x)<0, 则称f为负定二次型， 并称对称阵A是负定的。

定理10 二次型f=xTAx为正定的充分必要条件是: 它的标准形的n个系数全为正, 即它的正惯性指数等于n. 证 设可逆变换x=Cy使 先证充分性. 设ki>0(i=1,…,n). 任给x0, 则y=C-1x0, 故

定理10 二次型f=xTAx为正定的充分必要条件是: 它的标准形的n个系数全为正, 即它的正惯性指数等于n. 证 设可逆变换x=Cy使 再证必要性. 用反证法. 假设有ks0, 则当y=es(单位坐标向量)时, f(Ces)=ks0. 显然Ces0, 这与f为正定相矛盾. 这就证明了ki>0(i=1,…,n).

推论 对称阵A为正定的充分必要条件是: A的特征值全为正.

定理11 对称阵A为正定的充分必要条件是: A的各阶主子式都为正, 即

这个定理称为霍尔维茨定理, 这里不予证明.

例17 判定二次型 f=-5x2-6y2-4z2+4xy+4xz的正定性. 解 f的矩阵为

设f(x,y)是二元正定二次型, 则f(x,y)=c(c>0为常数)的图形是以原点为中心的椭圆. 当把c看作任意常数时则是一族椭圆 设f(x,y)是二元正定二次型, 则f(x,y)=c(c>0为常数)的图形是以原点为中心的椭圆. 当把c看作任意常数时则是一族椭圆. 这族椭圆随着c0而收缩到原点. 当f为三元正定二次型时, f(x,y,z)=c(c>0)的图形是一族椭球.

作业 习题五 第139页开始 第25,32题