代数结构 Algebra Structures 虞慧群 yhq@ecust.edu.cn

内容提要 运算及其性质 代数系统 群与子群 阿贝尔群和循环群 环与域 格与布尔代数

1、运算及其性质 概念： 运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元,消去律

运算 对于集合 A，f 是从An到 A 的函数，称 f 为集合A上的一个n元运算。 注：函数f: AnB, 若B  A，称函数f在集合A上是封闭的。

运算实例： (1) 加法和乘法是N上的二元运算，但减法和除法不是． (2) 加法、减法和乘法都是Z上的二元运算，而除法不是． (3) 乘法和除法都是R*上的二元运算，而加法和减法不是． (4) 设Mn(R)表示所有n 阶(n≥2)实矩阵的集合，即 则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算. (5) S为任意集合，则∪、∩、－、 为P(S)上二元运算.

运算的表示 1．算符 可以用◦, ∗, · , , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 2. 运算表：表示有穷集上的一元和二元运算 二元运算的运算表 一元运算的运算表

运算表的实例 例 设 S=P({a,b})，S上的和 ∼运算的运算表如下

运算的性质 交换律 (Commutative) 已知<A，*>，若x，y∈A，有x*y=y*x，称*在A上是可交换的。 例:判断相应的运算是否满足交换律。 (1) （Z，+）、（Z，-） （Z，） (2) 设<R，*>,*定义如下：a*b=a+b-ab

结合律(Associative) 已知<A，*>，若x，y，z∈A，有 x*（y*z）=（x*y）*z， 例:判断相应的运算是否满足结合律。 (1) （Z，+）、（Z，-） （Z，） (2) <A，*>，若a，b∈A，有a*b=b

幂等律(Idempotent) 已知〈A，*〉，若x∈A，x*x=x 则称满足幂等律 。 例：已知集合s,〈 （s）,∪,∩〉,则∪,∩满足幂等律。

分配律(Distributive) 设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: (y△z)*x=(y*x)△(z*x) x*(y△z)=（x*y）△（x*z） ; (y△z)*x=(y*x)△(z*x) 称运算*对△是可分配的。 算*，△定义如左: 问分配律成立否？ 例：设A={，}，二元运 △   *  

即： x△(y*z)=(x△y)*(x△z)成立  ①  运算△ 对*是可分配的。 即： x△(y*z)=(x△y)*(x△z)成立 = 证：当x=： x△(y*z) *   (x△y)*(x△z) = 当x=： x△(y*z) =y*z (x△y)*(x△z) =y*z △   ②、运算*对运算△不可分配 证：∵*（△）=*= （*）△（*）=△=

吸收律(Absorbtive) 设,是定义在集合A上的两个可交换二元运算，若对x,y A,都有: x(x y) = x 则称运算和满足吸收律. 例：幂集P(S)上的运算和满足吸收律。

单位元（幺元）(Identity) 设*是A上二元运算， el, er,eA 若xA，有el*x=x，称el为运算*的左幺元； 若xA，有x*er=x，称er为运算*的右幺元 若e既是左幺元又是右幺元，称e为运算*的幺元 xA，有e*x=x，x*e=x

er = 证明： el* er = el 推论：二元运算的幺元若存在则唯一 证明：反证法：设有二个幺元e，e’ ； 则e=e*e’=e’ 定理: 设*是A上的二元运算，具有左幺元el，右幺元er，则el=er=e er = 证明： el* er = el 推论：二元运算的幺元若存在则唯一 证明：反证法：设有二个幺元e，e’ ； 则e=e*e’=e’

若xA，有x*r=r，称r为运算*的右零元； 零元 (Zero) 设*是A上二元运算， l, r, A 若xA，有l*x=l ，称l为运算*的左零元； 若xA，有x*r=r，称r为运算*的右零元； 若既是左零元又是右零元，称为运算*的零元。 xA，有*x=x*  = 

二、幺元（单位元）和零元 二、幺元（单位元）和零元 例: a）〈Z，x〉， Z为整数集 则幺元为1，零元为0 b）〈（A）,∪,∩〉 对运算∪， 是幺元， A是零元 对运算∩， A是幺元 ，是零元。 c）〈N，+〉 有幺元0，无零元。 例: 　　　则幺元为1，零元为0 a）〈I，x〉， I为整数集 　　　则幺元为1，零元为0 例: a）〈I，x〉， I为整数集 二、幺元（单位元）和零元 二、幺元（单位元）和零元 a）〈I，x〉， I为整数集 　　　则幺元为1，零元为0 　　　则幺元为1，零元为0 例: 例: a）〈I，x〉， I为整数集 b）〈（s）,∪,∩〉 　　对运算∪，是幺元， s是零元， 　　对运算∩，s是幺元 ，是零元。 b）〈（s）,∪,∩〉 　　对运算∪，是幺元， s是零元， 　　对运算∩，s是幺元 ，是零元。 c）〈N，+〉 　　　　　有幺元0，无零元 c）〈N，+〉 　　　　　有幺元0，无零元

例：代数A=〈{a，b，c，d}， * 〉用下表定义： 左幺元 无 右幺元 a 左零元 a, b 右零元 无

定理: 设*是A上的二元运算，具有左零元 l ，右零元r， 则 l=  r=  推论：二元运算的零元若存在则唯一。

§5.2 运算及其性质 §5.2 运算及其性质 逆元 (Inverse) 设*是A上的二元运算，e是运算*的幺元 若x*y=e那对于运算*，x是y的左逆元，y是x的右逆元 若x*y=e，y*x=e，则称x是y的逆元。记为y-1 存在逆元(左逆无，右逆元）的元素称为可逆的（左可逆的，右可逆的） 三、   逆元 1、逆元定义 设*是s上的二元运算，e是运算*的幺元 三、   逆元 设*是s上的二元运算，e是运算*的幺元 1、逆元定义 §5.2 运算及其性质 §5.2 运算及其性质 ①、若x*y=e那对于运算*，x是y的左逆元，y是 x的右逆元 ①、若x*y=e那对于运算*，x是y的左逆元，y是 x的右逆元 ②、若x*y=e，y*x=e，则称x是y的逆元，y的逆 元通常记为y-1，存在逆元(左逆无，右逆元） 的元素称为可逆的（左可逆的，右可逆的） ②、若x*y=e，y*x=e，则称x是y的逆元，y的逆 元通常记为y-1，存在逆元(左逆无，右逆元） 的元素称为可逆的（左可逆的，右可逆的）

例： a)、代数 〈N，+〉 仅有幺元0，有逆元0， b)、A=〈{a，b，c}，*〉由下表定义： b是幺元, * a b c a的右逆元为c，无左逆元， b的逆元为b， C无右逆元，左逆元为a

定理: 对于可结合运算ο ，如果元素x有 左逆元ｌ，右逆元r，则l=r=x－１ 证： ｌ =ｌοｅ ＝ｌο（xοr） =（ｌοx）οｒ ＝ｅοｒ＝ｒ 　 ∴逆元存在为r 推论：逆元若存在，则唯一 若存在X的另一个逆元r1 ; 则: 证： r1 ＝ r1 οｅ = r1 ο(xοr) =ｅοr ＝r =(r1 οx)οr

消去律 (Cancellation Law) 已知<A，*>，若x，y，z∈A，有 (1) 若 x*y = x*z且 x ,则y=z； (2) 若 y*x = z*x且 x ,则y=z； 那么称*满足消去律。 例: (1) 整数集上的加法和乘法都满足消去律； (2) S ={1,2,3}, P(S)的交、并运算不满足消去律。

2、代数系统及同态 概念： 代数系统，子代数，积代数，同态，同构。

代数系统 设A为非空集合，为A上运算的集合,称<A, >为一个代数系统. 当 ={f1,…,fn}是有限时,代数系统常记为<A,f1,…,fn>； 当A有限时,称<A,>是有限代数系统。 例： (1) <N,＋>,<Z,＋,·>,<R,＋,·>是代数系统，+和·分别表示普通加法和乘法。 (2) <P(S),,,~>是代数系统，和为并和交，~为绝对补。

构成代数系统的成分： 集合（也叫载体，规定了参与运算的元素） 运算（这里只讨论有限个二元和一元运算） 代数常数（通常是与运算相关的特异元素：如单位元等） 例如：代数系统<Z,+,0>：集合Z, 运算+, 代数常数0 代数系统<P(S),∪,∩>：集合P(S), 运算∪和∩，无代数常数

如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统. 例： V1=<R, +, ·, 0, 1> V2=<Mn(R), +, ·, , E>, 为 n 阶全0矩阵，E为 n 阶单位矩阵 V3=<P(B), ∪, ∩, , B> V1, V2, V3是同类型的代数系统，它们都含有2个二元运算, 2个代数常数.

设V=<S, f1, f2, …, fk>是代数系统，B是S的非空子集，如果B对f1, f2, …, fk 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称<B, f1, f2, …, fk>是V的子代数系统，简称子代数。 注：有时将子代数系统简记为B. 实例 N是<Z,＋>的子代数，N也是<Z,＋,0>的子代数 N{0}是<Z,＋>的子代数，但不是<Z,＋,0>的子代数

几个术语 (1) 最大的子代数：就是V本身 (2) 最小的子代数：如果令V中所有代数常数构成的集合是 B，且B对V中所有的运算都是封闭的，则B就构成了V的 最小的子代数 (3) 最大和最小的子代数称为V 的平凡的子代数 (4) 若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数. 例 设V=<Z,+,0>,令 nZ={nz | zZ},n为自然数，则nZ是V的子 代数 当n=1和0时，nZ是V的平凡的子代数，其他的都是V的非 平凡的真子代数.

设V1=<A,◦>和V2=<B,>是同类型的代数系统，◦和 为二元运算，在集合AB上如下定义二元运算▪， <a1,b1>,<a2,b2>AB，有 <a1,b1>▪<a2,b2>=<a1◦a2, b1b2> 称V=<AB,▪ >为V1与V2的积代数，记作V1V2. 这时也称V1和V2为V的因子代数. 定理 设V1=<A,◦>和V2=<B,>是同类型的代数系统， V1V2=<AB,▪>是它们的积代数. (1) 如果◦ 和 运算是可交换（可结合、幂等）的，那幺▪运算也是可交换（可结合、幂等）的 (2) 如果 e1 和 e2（1和2）分别为◦ 和 运算的单位元（零元），那幺<e1,e2>（<1,2>）也是▪运算的单位元（零元） (3) 如果 x 和 y 分别为◦和 运算的可逆元素，那幺<x,y>也是▪运算的可逆元素，其逆元就是<x1,y1>

设V1=<A,∘>和V2=<B,>是同类型的代数系统，f:AB， 对x, yA 有 f(x∘y) = f(x)f(y), 则称 f 是V1到V2的同态映射，简称同态 (Homomorphism) 。 特殊的同态 (1) f 如果是单射，则称为单同态(Monomorphism)。 (2) 如果是满射，则称为满同态 ( Epimorphism)，这时称V2是V1的同态像， 记作V1V2。 (3) 如果是双射，则称为同构 (Isomorphism)，也称代数系统V1同构于V2， 记作V1V2 。 (4) 如果V1=V2，则称作自同态(Endomorphism)。

实例 (1) 设V1=<Z,+>, V2=<Zn,>．其中Z为整数集，+为普通加法；Zn={0,1,…,n1}，为模n加. 令 f : Z→Zn，f (x)=(x)mod n 那幺 f 是V1到V2的满同态． (2) 设V1=<R,+>, V2=<R*,·>，其中R和R*分别为实数集与非零实数集，+ 和 · 分别表示普通加法与乘法．令 f : R→R*，f (x)= ex 则 f 是V1到V2的单同态. (3) 设V=<Z,+>，其中Z为整数集，+为普通加法. aZ，令 fa : ZZ，fa(x)=ax， 那幺 fa 是V的自同态；当a=1时，称 fa 为自同构；除此之外其他的 fa 都是单自同态.

3、群与子群 概念： 半群,子半群,元素的幂，独异点，群，群的阶数，子群,平凡子群，陪集，拉格朗日（Lagrange）定理

半群（Semigroup） 设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群。 独异点(Monoid). 设V=<S,∘>是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V 是含幺半群，也叫做独异点。 有时也将独异点V 记作 V=<S,∘,e>.

实例 (1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<R,+>都是半群，+是普通加 法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点 (2) <P(B),>为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算 (3) <R*,◦>为半群，但不是独异点，其中R*为非零实数集合，◦运算定义如下：x, yR*, x◦y=y

群(Group) 设V=<G,∘>是独异点，e G关于∘运算的单位元，若 aG，a1G，则称V是群(Group). 通常将群记作G. 群的另一种定义（基本形式） 设<G, ∘ >是代数系统，∘为二元运算。 (1) ∘ 对G是封闭的； (2) ∘ 是可结合的； (3) 存在幺元 e； (4) 对于每一个元素 x G，都存在它的逆元x-1 G 则称<G, ∘ >是一个群.

实例 设G={ e, a, b, c }，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群。 特征： 1. 满足交换律  特征： 1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结 果都等于剩下的第三个元素 e a b c e a b c a e c b b c e a c b a e  

群的阶数 设<G,>是一个群,如果G是有限集，那么称<G,>为有限群，并且|G| 为该有限群的阶数；如果G是无限集，则称<G,>为无限群。 注：阶数为1（即只含单位元）的群称为平凡群.  例：<Z,+>和<R,+>是无限群； <Zn,>是有限群，也是 n 阶群； Klein四元群是4阶群； <{0},+>是平凡群。 n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.

群的性质 设<G,>是一个群。 （1）非平凡群中不可能有零元. （2）对于a,b G, 必存在唯一的x G,使得a x =b. （3）对于{a,b,c} G若: ab = ac或 ba = ca 则必有b=c (消去律)。 （4）运算表中的每一行或每一列都是一个置换。 （5）除幺元e外,不可能有任何别的幂等元。

元素的幂 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂. 注：群中元素可以定义负整数次幂.  注：群中元素可以定义负整数次幂. 在<Z3, >中有  23 = (21)3 = 13 = 111 = 0 在<Z,+>中有 (2)3 = 23 = 2+2+2 = 6

幂运算性质 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，(a1)1=a (2) a,b∈G，(ab)1=b1a1 (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.

元素的阶 例: (1) 在<Z6,>中，2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶 元，0是1阶元 。 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小正整数k 称为元素a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元。若不存在这样的正 整数 k，则称 a 为无限阶元。 例: (1) 在<Z6,>中，2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶 元，0是1阶元 。 (2) 在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶均为无限。

元素的阶的性质 G为群，a∈G且 |a| = r. 设k是整数，则 (1) ak = e当且仅当r | k (2 )|a1| = |a|

子群（Subgroup） 设G 是群，H 是G 的非空子集， 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G 的子群, 记作H≤G。 若H是G 的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作H<G. 对任何群G都存在子群. G和{e}都是G 的子群，称为G 的平凡子群.  例： nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.

子群判定定理1 设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当 (1) a,b∈H有ab∈H； (2) a∈H有a1∈H。 证 必要性是显然的. 为证明充分性，只需证明e∈H. 因为H非空，存在a∈H. 由条件(2) 知a1∈H，根据条件(1) aa1∈H，即e∈H.

子群判定定理2 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H. 证 必要性显然. 只证充分性. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.

子群判定定理3 设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当 a,b∈H有ab∈H. 证 必要性显然. 为证充分性，只需证明 a∈H有a1∈H. 任取a∈H, 若a = e, 则a1 = e∈H. 若a≠e，令S={a,a2,…}，则SH. 由于H是有穷集，必有ai = aj（i<j）. 根据G中的消去律得 aji = e，由a ≠ e可知 ji>1，由此得 a ji1a = e 和 a a ji1 = e 从而证明了a1 = a ji1∈H.

生成子群 设G为群，a∈G，令H={ak| k∈Z}，则H是G的子群，称为由 a 生成的子群，记作<a>. 例： （1）整数加群，由2生成的子群是 <2>={2k | k∈Z}=2Z （2）<Z6, >中，由2生成的子群<2>={0,2,4} （3）Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有生成子群是： <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.

<G,>是一个群, A,BP(G),且A ,B  , 定义: AB = {ab | a A且 b B} A-1 ={a-1 | a A} 称AB为A,B的积，A-1为A的逆 。   陪集 设<H,>是群<G,>的一个子群,a G则: 左陪集: aH ::= {a}H，由a所确定的H在G中的左陪集. 右陪集: Ha::=H{a} 陪集是左陪集与右陪集的统称. 

例： 设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<a>是G的子群. H所有的右陪集是： He={e,a}=H, Ha={a,e}=H, Hb={b,c}, Hc={c,b} 不同的右陪集只有两个，即H和{b,c}.

陪集性质 设H是群G的子群，则 He = H a∈G 有a∈Ha a,b∈G有：a∈Hb  ab1∈H  Ha=Hb 在G上定义二元关系R： a,b∈G, <a,b>∈R  ab1∈H 则 R是G上的等价关系，且[a]R = Ha. |Ha|=|H|

Lagrange定理 设G是有限群，H是G的子群，则 |G| = |H|·[G:H] 其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在 G 中的指数. 推论： （1） 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且an = e. （2） 对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>.

4、阿贝尔群和循环群 概念： 阿贝尔群(交换群)，循环群,生成元

阿贝尔 (Abel) 群 若群G中的运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔 群。 例：（1）<Z,+>和<R,+>，<Zn,>、Klein四元群均是阿贝尔群。 （2）n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群不是 阿贝尔群。

循环群（Cyclic group） 设G是群，若存在a∈G使得 G={ak| k∈Z} 则称G是循环群，记作G=<a>，称 a 为G 的生成元.  循环群的分类 (1) n 阶循环群: 设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则 G = { a0=e, a1, a2, … , an1 } (2)无限循环群: 若a 是无限阶元，则 G = { a0=e, a±1, a±2, … }

循环群的生成元 设G=<a>是循环群。 (1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a1. (2) 若G是 n 阶循环群，则G含有(n)个生成元. 对于任何小 于n且与 n 互质的数r∈{0,1,…,n-1}, ar是G的生成元.

实例 (1) 设G={e, a, … , a11}是12阶循环群，则(12)=4. 小于12且 a7 和 a11是G的生成元. (2) 设G=<Z9,>是模9的整数加群，则(9)=6. 小于9且与9互 素的数是 1, 2, 4, 5, 7, 8. 根据定理10.13，G的生成元是1, 2, 4, 5, 7和8. (3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那幺G只有 两个生成元：3和3.

循环群的子群 设G=<a>是循环群。 (1) 设G=<a>是循环群，则G的子群仍是循环群； (2) 若G=<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限 循环群； (3) 若G=<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含 有一个d 阶子群。

实例 (1) G=<Z,+>是无限循环群，其生成元为1和1. 对于自然数 m∈N，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ，m∈N. 即 <0> = {0} = 0Z <m> = {mz | z∈Z}= mZ， m>0 (2) G=Z12是12阶循环群. 12正因子是1,2,3,4,6和12，G 的子群: 1阶子群 <12>=<0>={0} 2阶子群 <6>={0,6} 3阶子群 <4>={0,4,8} 4阶子群 <3>={0,3,6,9} 6阶子群 <2>={0,2,4,6,8,10} 12阶子群 <1>=Z12

5、环与域 概念： 环，交换环，含幺环，整环，域

环（Ring） 设<R,+,·>是代数系统，+和·是二元运算. 如果满足以下条件: (1) <R,+>构成交换群； (2) <R,·>构成半群； (3) · 运算关于+运算适合分配律， 则称<R,+,·>是一个环. 通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法. 环中加法单位元记作 0，乘法单位元（如果存在）记作1. 对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作x. 若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.

例： (1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和 乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R 和复数环C. (2) n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构 成环，称为 n 阶实矩阵环. (3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环，称为子集环. (4) 设Zn＝{0,1, ... , n－1}，和分别表示模n的加法和乘 法，则<Zn,,>构成环，称为模 n的整数环.

环的运算性质 设<R,+,·>是环，则 (1) a∈R，a0 = 0a = 0 (2) a,b∈R，(a)b = a(b) = ab (3) a,b,c∈R，a(bc) = abac， (bc)a = baca (4) a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R (n,m≥2)

例：在环中计算(a+b)3, (ab)2 解 ： (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab) = a2baab+b2

特殊的环 设<R,+,·>是环 (1) 若环中乘法 · 适合交换律，则称R是交换环； (3) 若a,b∈R，ab=0  a=0∨b=0，则称R是无零因子环。 例： (1) 整数环Z交换 环，含幺环，无零因子环。 (2) 令2Z={2z | z∈Z}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环， 但不是含幺环。

整环(Integrel Domain) 设<R,+,>是一个代数系统,若满足: (1) <R,+>是阿贝尔群； (2) <R,>是可交换独异点，且无零因子，即对a,bR, a0,b0 则a b0； (3) 运算对+是可分配的， 则称<R,+,>是整环。 注:（1）既是交换环、含幺环、无零因子环 的代数系统是整环。 （2）整环中的无零因子条件等价于乘法消去律，即 对于c0 和c a = c b,有a = b.

域 (Field) 设<R,+,>是一个代数系统,若满足: (1) <R,+>是阿贝尔群； (2) <R-{0},>是阿贝尔群； (3) 运算对+是可分配的， 则称<R,+,>是域。 例: 整数环Z整环，但不是域；实数环R既是是域。 两点结论: (1) 域一定是整环。 (2) 有限整环必是域。

6、格与布尔代数 概念： 格，对偶原理，子格，分配格，有界格，有补格 布尔代数，有限布尔代数的表示定理

格（Lattice） 设<S, ≼>是偏序集，如果x,yS，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格。 注：求{x,y} 最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和∧. 例：设n是正整数，Sn是n的正因子的集合. D为整除关系，则 偏序集<Sn,D>构成格. x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x与y的 最小公倍数. x∧y是gcd(x,y)，即x与y的最大公约数.

实例 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由. (1) <P(B), >，其中P(B)是集合B的幂集. (2) <Z, ≤>，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系. (3) 偏序集的哈斯图分别在下图给出. (1) 幂集格. x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y. (2) 是格. x,y∈Z，x∨y = max(x,y)，x∧y = min(x,y)， (3) 都不是格. 可以找到两个结点缺少最大下界或最小上界 图2

设 f 是含有格中元素以及符号 =,≼ ,≽ ,∨和∧的命题. 令 f*是将 f 中的≼替换成≽,≽替换成≼,∨替换成∧,∧替换成∨ 所得到的命题. 称 f* 为 f 的对偶命题. 例：在格中令 f 是 (a∨b)∧c≼c, f*是 (a∧b)∨c≽c . 格的对偶原理 设 f 是含有格中元素以及符号=,≼,≽,∨和∧等的命题. 若 f 对 一切格为真, 则 f 的对偶命题 f*也对一切格为真.

格的性质 设<L, ≼>是格, 则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律, 即 (1) a,b∈L 有 a∨b = b∨a, a∧b = b∧a (2) a,b,c∈L 有 (a∨b)∨c = a∨(b∨c), (a∧b)∧c = a∧(b∧c) (3) a∈L 有 a∨a = a, a∧a = a (4) a,b∈L 有 a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a

格的性质：序与运算 设L是格, 则a,b∈L有 a ≼ b  a∧b = a  a∨b = b 证 (1) 先证 a ≼ b  a∧b = a 由 a ≼ a 和 a ≼ b 可知 a 是{ a,b }的下界, 故 a ≼ a∧b. 显然有a∧b ≼ a. 由反对称性得 a∧b = a. (2) 再证 a∧b = a  a∨b = b 根据吸收律有 b = b∨(b∧a) 由 a∧b = a 和上面的等式得 b = b∨a, 即 a∨b = b. (3) 最后证 a∨b = b  a≼b 由 a ≼ a∨b 得 a ≼ a∨b = b

格的性质：保序 设L是格, a,b,c,d∈L，若a ≼ b 且 c ≼ d, 则 a∧c ≼ b∧d, a∨c ≼ b∨d 证 a∧c ≼ a ≼ b, a∧c ≼ c ≼ d 因此 a∧c ≼ b∧d. 同理可证 a∨c ≼ b∨d

格的代数系统定义 设<S, ∗, ◦ >是代数系统, ∗和◦是二元运算, 如果∗和◦满足交换律、 结合律和吸收律, 则<S, ∗,◦>构成格. 注：S中的偏序关系 ≼定义为： 对a,b∈S 有 a ≼ b  a◦b =b .

子格（Sub-lattice） 设<L,∧,∨>是格, S是L的非空子集, 若S关于L中的运算∧和∨仍构成格, 则称S是L的子格. 例：设格L如图所示. 令 S1={a, e, f, g}, S2={a, b, e, g} S1不是L的子格, 因为e, fS1 但 e∧f = cS1. S2是L的子格. 注： 对于格<L, ≼ >, S是L的非空子集, <S, ≼ >必定是偏序集，但未必是格；而且即使<S, ≼ >是格，也未必是<L, ≼ >的子格。

分配格（Distributive lattice） 设<L,∧,∨>是格, 若a,b,c∈L,有 a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c) 则称L为分配格. 注意：可以证明以上两个条件是等价的。 例 L1 和 L2 是分配格, L3 和 L4不是分配格. 称 L3为钻石格, L4为五角格.

分配格的判别 定理：设L是格, 则L是分配格当且仅当L不含有与钻石格或五角格同构的子格. 推论 (1) 小于五元的格都是分配格. 推论 (1) 小于五元的格都是分配格. (2) 任何一条链都是分配格.  例： 说明图中的格是否为分配格, 为什幺？ 解 都不是分配格. { a,b,c,d,e }是L1的子格, 同构于钻石格 { a,b,c,e,f }是L2的子格, 同构于五角格； { a,c,b,e,f } 是L3的子格 同构于钻石格.

设L是格, (1) 若存在a∈L使得x∈L有 a ≼ x, 则称a为L的全下界； (2) 若存在b∈L使得x∈L有 x ≼ b, 则称b为L的全上界 。 说明： 格L若存在全下界或全上界, 一定是惟一的. 一般将格L的全下界记为0, 全上界记为1. 有界格 （Bounded lattice） 设L是格，若L存在全下界和全上界, 则称L 为有界格，一般将有界格L记为<L,∧,∨,0,1>.

有界格的性质 定理： 设<L,∧,∨,0,1>是有界格, 则a∈L有 a∧0 = 0, a∨0 = a, a∧1 = a, a∨1 = 1 注意： 有限格L={a1,a2,…,an}是有界格, a1∧a2∧…∧an是L的全下界, a1∨a2∨…∨an是L的全上界. 0是关于∧运算的零元,∨运算的单位元；1是关于∨运算的零元,∧运算的单位元. 对于涉及到有界格的命题, 如果其中含有全下界0或全上界1, 在求该命题的对偶命题时, 必须将0替换成1, 而将1替换成0.

设<L,∧,∨,0,1>是有界格, a∈L, 若存在b∈L 使得 a∧b = 0 和 a∨b = 1 注意：若b是a的补元, 那幺a也是b的补元. a和b互为补元. 例： 考虑下图中的格. 针对不同的元素，求出所有的补元.

解答 (1) L1中 a 与 c 互为补元, 其中 a 为全下界, c为全上界, b 没有 补元. (2) L2中 a 与 d 互为补元, 其中 a 为全下界, d 为全上界, b与 c 也互为补元. (3) L3中a 与 e 互为补元, 其中 a 为全下界, e 为全上界, b 的补 元是 c 和 d ; c 的补元是 b 和 d ; d 的补元是 b 和 c ; b, c, d 每个元素都有两个补元.  (4) L4中 a 与 e 互为补元, 其中 a 为全下界, e 为全上界, b 的补 元是 c 和 d ; c 的补元是 b ; d 的补元是 b .

有界分配格的补元惟一性 定理：设<L,∧,∨,0,1>是有界分配格. 若L中元素 a 存在 补元, 则存在惟一的补元. 注意： 在任何有界格中, 全下界0与全上界1互补. 对于一般元素, 可能存在补元, 也可能不存在补元. 如果存在补元, 可能是惟一的, 也可能是多个补元. 对于有界分配格, 如果元素存在补元, 一定是惟一的.

有补格 (Complemented lattice) 设<L,∧,∨,0,1>是有界格, 若L中所有元素都有补元存在, 则称L为有补格. 例：图中的L2, L3和L4是有补格, L1不是有补格. 图9

布尔格 (Boolean lattice) 如果一个格是有补分配格, 则称它为布尔格或布尔代数. 布尔代数标记为<B,∧,∨,, 0, 1>, 为求补运算. 例： （1）设 S110 = {1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110}是110的正因子集合，gcd表示求最大公约数的运算，lcm表示求最小公倍数的运算，则<S110, gcd, lcm>构成布尔代数。 （2）设B为任意集合, 证明B的幂集格<P(B), ∩,∪, ~,  , B>构成布尔代数。

布尔代数的性质 定理：设<B,∧,∨, , 0, 1>是布尔代数, 则 (1) a∈B, (a) = a . (2) a,b∈B, (a∧b) = a∨b, (a∨b) = a∧b （德摩根律）

布尔代数的代数系统定义 设<B, ∗,◦>是代数系统, ∗和◦是二元运算. 若∗和◦运算满足： (1) 交换律, 即a,b∈B有 a∗b = b∗a, a◦b = b◦a (2) 分配律, 即a,b,c∈B有 a∗(b◦c) = (a∗b)◦(a∗c),  a◦(b∗c) = (a◦b) ∗ (a◦c) (3) 同一律, 即存在0,1∈B, 使得a∈B有a ∗1 = a, a◦0 = a (4) 补元律, 即a∈B, 存在 a∈B 使得 a ∗a = 0, a◦a = 1 则称 <B,∗,◦>是一个布尔代数.

有限布尔代数的结构 设 L 是格, 0∈L, a∈L若b∈L有 0 ≺ b ≼ a  b = a, 则 称 a 是 L 中的原子. 注：原子是盖住全下界0的元素。 有限布尔代数的表示定理 设B是有限布尔代数, A是B的全体原子构成的集合, 则B同构 于A的幂集代数P(A). 推论1 任何有限布尔代数的基数为2n, n∈N. 推论2 任何等势的有限布尔代数都是同构的.

实例 下图给出了 1 元, 2 元, 4 元和 8 元的布尔代数. 图11

总结 运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元 代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。 群与子群：半群,子半群,元素的幂，独异点，群，群的阶数，子群,平凡子群，陪集，拉格朗日（Lagrange）定理 阿贝尔群和循环群：阿贝尔群(交换群)，循环群,生成元 环与域：环，交换环，含幺环，整环，域 格与布尔代数：格，对偶原理，子格，分配格，有界格，有补格，布尔代数，有限布尔代数的表示定理