zhixian yu yuanzhuiquxian 直线与圆锥曲线 zhixian yu yuanzhuiquxian

概念： （一）直线 （A、B不同时为0） 当A、B都不为0时，为二元一次方程 当A或B一个为0时，为一元一次方程 （二）圆锥曲线有：圆、椭圆、双曲线、抛物线 圆： 椭圆： 这些都是二元二次方程 双曲线： 抛物线：

（三）圆锥曲线与直线的交点是 方程组 的解 ① ② ②代入①消元并整理得一元方程③ 若③为一次方程，此时只有两种情况： 直 线与抛 物 线 的 对 称 轴 平行 直 线 与 双 曲 线 的 渐 近 线 平行 此时现象是直线与曲线相交于一点

若③为二次方程 直线与曲线相交于两点。见（图1） 直线与曲线相切于一点。见（图2） 直线与曲线没有交点。 见（图3） （图3） （图2） 直线与曲线没有交点。 见（图3） （图3） （图1） （图2）

例1 过双曲线 的左焦点 的直线与双曲线交于A、B。若|AB| = 9，问这样的直线有几条？ 分析： 该问题是直线绕点 旋转，显然考虑弦长情况应分两类进行：① 交单支。② 交两支。 如图： 先研究直线绕点 旋转，弦长|AB|的变化情况。 ① 交单支时： ② 交两支时： 由双曲线的对称性，显然可知这样的直线有四条 归纳：处理这类问题应先理解问题中的定量和动量；切入问题时应先考虑 是一致进行，还是分类进行；考虑“量”的取值范围应注意变化的极 端情况。

例2 已知直线 与曲线 恰有一个公共点，求实数 的值。 例2 已知直线 与曲线 恰有一个公共点，求实数 的值。 分析： 该问题因为参数 在变化，直线与曲线都在变化 特别地：当 时，曲线 蜕化为 显然与直线相交于一点 当 时，直线 化为 此时，直线平行于 轴，直线与该抛物线就一个交点 当 时，直线与抛物线要恰有一个交点， 那么只有相切的情景了。（看右图） 该问题应先用代数方法解决，在几何上验证 较好。

综上所述：当 时，直线与曲线只有一个公共点。 ① 解析： 联立方程组 ② 当 时，此方程组只有一个解 ③ 当 时，①代入②并整理得： 对方程 ③ 当 时，此方程组只有一个解 当 时，令 即： 此时，直线与抛物线相切于一点 综上所述：当 时，直线与曲线只有一个公共点。

例3 已知圆锥曲线C经过定点 ，它的一个焦点 ，对应于这焦点的准线为 ，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦的长度不超过8，且直线AB与椭圆 相交于不同的两点，求AB的倾斜角 的取值范围。 分析： 由圆锥曲线的统一定义求出曲线C的方程（如图） 再和过F的直线 联立， 求出弦长表达式 然后，把直线 和椭圆 联立找到它们有两个交点的条件。 从而确定K的取值范围 最后找到AB的倾斜角的取值范围。

解析： P到直线 的距离 ∴曲线C是以F为焦点，以直线 x= - 1为准线的抛物线 设过F的直线为 代入 得： 设A、B的坐标分别为 则： 由题意得： 解得： ①

联立： 把 代入 消 y 得： ∵直线与椭圆交于不同得两点 解得： ② 由①、②得： 或 ∴直线AB倾斜角的范围是：

例4 P点是抛物线 的任意一点，当P点到直线 的距离最小时，求P到该抛物线的准线的距离。 分析： 显然，该抛物线的准线方程为： ∴只要求出点P的坐标就行 先观察点P的运动与点线距离的变化情况 当我们联想到点线距离公式，就有： 设： 只要求该函数取得最小值时的 x 就行了 当我们线的运动来看该问题时， 就有：直线向抛物线作平移运动至两线相切时的切点P为所求

解法一： 设： 则点P到直线 的距离 当且仅当 时 ∴此时 由于 的准线方程为 ∴此时点P到抛物线的距离为

解法二： 设与直线 平行的直线方程为 ① 联立： ② ②代入①得方程 ③ 对方程③，令 得： 此时方程③有 ∴此时 以下解法同解法一

例5 抛物线 的焦点在直线 上滑动，对称轴做平行移动，试问能否滑到如下位置：使抛物线截直线 所得的弦长与截 y 轴所得弦长相等？若能，求出此抛物线；若不能，说明理由。 分析： 先分析该抛物线在满足题意下的滑动情况。 当我们作图比较准确的话，从运动情况上可以看到：当抛物线与 y 轴相交时，就不会与直线 相交；与直线 相交时，就不会与 y 轴相交。 当抛物线要与 y 轴相交，焦点只有往下移。 再观察直线 抛物线的上半支函数 看图 可知：随着 x 的增大，总有 ， 两线绝不会相交的。 所以这样的抛物线不存在。

解析： 设这样的抛物线存在，其焦点为 ，则其顶点为 ① 抛物线方程为： 令 整理得： 则抛物线截 y 轴所得弦长为 将 代入①得 抛物线截 所得弦长 由 得： 则 无意义，故这样抛物线不存在。

小结： 在比较熟练掌握解有关圆锥曲线方程与直线方程联立方程组的各环节知识的同时，还需要熟练掌握解析几何中的各类公式。比如： 弦长公式： 定比分点公式： 点线距离公式 等。希望同学们在扎实地掌握各种解题方法的同时，还要掌握好各种数学运算和变换的手段和技巧。

谢谢！ 祝同学们2004年高考金榜题名