第六章 存贮论 【学习目标】 (1) 了解存贮论中存贮问题及其基本概念，进一步掌握存贮问题的费用概念； (1) 了解存贮论中存贮问题及其基本概念，进一步掌握存贮问题的费用概念； (2) 掌握确定性的存贮问题五个基本模型，利用模型中公式计算出最优经济批量； (3) 掌握随机性的存贮问题两个简单模型，利用模型中公式计算出最优经济批量。

第一节 存贮问题及其基本概念 一、存贮问题 问题1 医院血库的存血问题 第一节 存贮问题及其基本概念 一、存贮问题 问题1 医院血库的存血问题 一方面，为抢救病人，血库必须储备一定数量的血液，血库存量越多，不仅抢救病人方便，应急能力越强，而且输血越多，血库经济效益也越好；另—方面，血库存血要用恒温箱等医疗设备，血存的越多，设备数量及为此支付的费用就越多，如果存放时间太长，血液还可能变质，造成更大损失。可见，血存得多，整体效益未必好。

一、存贮问题 问题2 中成药的存放问题 药库存放中成药的品种数量越多，医生看病开药方选择药物的余地就越大，病人取药也越方便。但是存贮量大，所占空间也就大，支付的各种费用也多，特别是中成药受温度，湿度及虫害影响极易变质，可能造成更大经济损失。显然，存贮量大，综合效益也未必好。

一、存贮问题 一方面说明了存贮问题的重要性和普遍性，另方面又说明了存贮问题的复杂性和多样性。近年来，随计算机的普及与推广，存贮论的应用也越来越广泛，已渗透到社会生活的各个领域。在卫生系统，诸如血库管理、药品存贮等都有所应用。

二、存贮模型中的基本概念 1．需求 根据需求的时间特征．可将需求分为连续性需求和间断性需求。在连续性需求中，随着时间的变化，需求连续地发生，因而存贮也连续地减少，在间断性需求中，需求发生的时间极短，可以看作瞬时发生，因而存贮的变化是跳跃式地减少。根据需求的数量特征，可将需求分为确定性需求和随机性需求。在确定性需求中，需求发生的时间和数量是确定的。在随机性需求中，需求发生的时间或数量是不确定的。对于随机性需求，要了解需求发生时间和数量的统计规律性。

二、存贮模型中的基本概念 2．补充 (a) 开始订货到开始补充(开始生产或货物到达)为止的时间。这部分时间如从订货后何时开始补充的角度看，称为拖后时间，如从为了按时补充需要何时订货的角度看，称为提前时间。在同一存贮问题中，拖后时间和提前时间是一致的，只是观察的角度不同而已。在实际存贮问题中，拖后时间可能很短，以致可以忽略．此时可以认为补充能立即开始，拖后时间为零。如拖后时间较长，则它可能是确定性的，也可能是随机性的。

二、存贮模型中的基本概念 2．补充 (b)开始补充到补充完毕为止的时间(即入库或生产时间)。这部分时间和拖后时间一样，可能很短(因此可以忽略)，也可能很长，可能是确定的，也可能是随机的。 对存贮问题进行研究的目的是给出一个存贮策略，用以回答在什么情况下需要对存贮进行补充。什么时间补充，补充多少。一个存贮策略必须满足可行性要求，即它所给出的补充方案是可以实行的，并且能满足需求的必要条件。

二、存贮模型中的基本概念 3．费用 在存贮论研究中，常以费用标准来评价和优选存贮策略。为了正确地评价和优选存贮策略，不同存贮策略的费用计算必须符合可比性要求。最重要的可比性要求是时间可比和计算口径可比。 时间可比是指各存贮策略的费用发生时间范围必须一致。实际计算时，常用—个存贮周期内的总费用或单位时间平均总费用来衡量； 计算口径可比是指存贮策略的费用统计项目必须一致。经常考虑的费用项目有存贮费、订货费、生产费、缺货费等。在实际计算存贮策略的费用时，对于不同存贮策略都是相同的费用可以省略。

二、存贮模型中的基本概念 3．费用 (1) 存贮费：存贮物资资金利息、保险以及使用仓库、保管物资、物资损坏变质等支出的费用，一般和物资存贮数量及时间成比例。 (2) 订货费：向外采购物资的费用。其构成有两类：一类是订购费用，如手续费、差旅费等，它与订货次数有关，而和订货数量无关；另—类是物资进货成本，如贷款、运费等， 它与订货数量有关。

二、存贮模型中的基本概念 3．费用 (3) 生产费：自行生产需存贮物资的费用。其构成有两类：一类是装配费用(准备结束费用)，如组织或调整生产线的有关费用，它同组织生产的次数有关，而和每次生产的数量无关；另一类是与生产的数量有关的费用，如原材料和零配件成本、直接加工费等。 (4) 缺货费：存贮不能满足需求而造成的损失。如失去销售机会的损失，停工待料的损失，延期交货的额外支出，对需方的损失赔偿等。当不允许缺货时，可将缺货费作无穷大处理。

二、存贮模型中的基本概念 4.存贮策略 所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。下面是一些比较常见的存贮策略。 (1) t-循环策略：不论实际的存贮状态如何，总是每隔一个固定的时间t，补充一个固定的存贮量Q。 (2) (t，S)策略：每隔一个固定的时间t补充一次，补充数量以补足一个固定的最大存贮量S为准。因此，每次补充的数量是不固定的，要视实际存贮量而定。当存贮(余额)为I时，补充数量为Q=S-I。

二、存贮模型中的基本概念 4.存贮策略 (3) (s，S)策略：当存贮(余额)为I，若I>s，则不对存贮进行补充；若I≤s，则对存贮进行补充，补充数量Q=S-I。补充后存贮量达到最大存贮量S。s称为订货点(或保险存贮量、安全存贮量、警戒点等)。在很多情况下，实际存贮量需要通过盘点才能得知。若每隔一个固定的时间t盘点一次，得知当时存贮I，然后根据I是否超过订货点s，决定是否订货、订货多少，这样的策略称为(t，s，S)策略。

二、存贮模型中的基本概念 5.存贮模型 所谓存贮模型，指为控制物资的合理存贮数量和选择最佳订货时间或订货点而建立的数学模型。按变量的类型不同，存贮模型可分为两类：一类为确定型存贮模型，适用于需求方式为确定性的存贮问题；另一类为随机性存贮模型，适用于需求方式为随机性的存贮问题。

第二节 确定型存贮模型 一、模型一：不允许缺货，补充时间极短 为了便于描述和分析，对模型作如下假设： 第二节 确定型存贮模型 一、模型一：不允许缺货，补充时间极短 为了便于描述和分析，对模型作如下假设： (1) 需求是连续均匀的，即需求速度(单位时间的需求量) R是常数； (2) 补充可以瞬时实现，即补充时间(拖后时间和生产时间) 近似为零； (3) 单位存贮费(单位时间内单位存贮物的存贮费用)为C1。由于不允许缺货，故单位缺货费(单位 时间内每缺少一单位存贮物的损失) C2为无穷大。 订货费(每订购一次的固定费用)为C3。货物(存贮物)单价为K． 采用t-循环策略。设补充间隔时间为t，补充时存贮已用尽，每次补充量(订货量)为Q，则存贮状态图见图6-1。

模型一：不允许缺货，补充时间极短 一次补充量Q必须满足t时间内的需求，故Q=Rt。因此，订货费为C3+KRt，而t时间内的平均订货费为C3 / t + KR。 由于需求是连续均 图6-1 匀的，故t时间内的平 均存贮量为

模型一：不允许缺货，补充时间极短 t时间内的平均存贮费为1/2C1Rt。 由于不允许缺货，故不需考虑缺货费用。 所以t时间内的平均总费用 C(t)随t的变化而变化， 其图像见图6-2。 当t=t*时，C(t*)＝C* 是C(t)的最小值。 为了求得t*，可解

模型一：不允许缺货，补充时间极短 由于存贮物单价K和补充量Q无关，它是一常数，因此，存贮物总价KQ和存贮策略的选择无关。所以，为了分析和计算的方便，在求费用函数C(t)时，常将这一项费用略去。略去这一项费用后，

模型一：不允许缺货，补充时间极短 例1 某医院每月需要某重要药品400件，每件定价2000元，不可缺货。设每件每月保管费为0.1%，每次定购费为100元，假设该药品的进货可以随时实现。问应怎样组织进货，才能最经济。 解：K=2000元/件，R=400件/月， Cl=2000·0.1％=2元/件·月，C3=100元/次。

模型一：不允许缺货，补充时间极短 所以，应该每隔15天进货一次，每次进货该药品200件，能使总费用(存贮费和订购费之和)为最少400元/月，平均每天约26.67元。若按年计划，则每年大约进货12/0.5=24(次)，每次进货200件。

模型一：不允许缺货，补充时间极短 例2 某大医院每月消耗青霉素针剂160000盒，每盒每月保管费0.2元，不允许缺货，试比较每次订货费为1000元或100元两种情况下的经济订货批量。 解：Cl = 0.2元/盒·月，R=160000盒/月。 （1） （（（

模型一：不允许缺货，补充时间极短 （2）

模型一：不允许缺货，补充时间极短 本例由于订货费不同，我们采用不同策略，当订货费低时，我们采用多次小批量，可使费用达最优；当订货费高时，我们采用少次大批量，可使费用达最优。

模型二：允许缺货，补充时间较长 模型假设条件： (1) 需求是连续均匀的，即需求速度R为常数； (2) 补充需要一定时间。不考虑拖后时间，只考虑生产时间。即一旦需要，生产可立刻开始，但生产需一定周期。设生产是连续均匀的，即生产速度P为常数。同时，设P>R； (3) 单位存贮费为C1，单位缺货费为C2，订购费为C3。不考虑货物价值。

模型二：允许缺货，补充时间较长 存贮状态图见图6-3。 [ 0，t ]为一个存贮周期，t1时刻开始生产，t3时刻结束生产； [ 0，t2 ]时间内存贮为零，t1时达到最大缺货量B； [ t1，t2 ]时间内产量 一方面以速度R满足需 求，另方面以速度(P-R) 弥补[ 0，t1 ]时间内的缺 货。至t2时刻缺货补足；

模型二：允许缺货，补充时间较长 [ t2，t3 ] 时间内产量一方面以速度R满足需求，另方面以速度(P-R)增加存贮。至t3时刻达到最大存贮量A，并停止生产； [ t3，t ] 时间内以存贮满足需求，存贮以速度R减少。至t时刻存贮降为零，进入下一个存贮周期。 下面，根据模型假设条件和存贮状态图，首先导出[ 0，t ] 时间内的平均总费用(即费用函数)，然后确定最优存贮策略。

模型二：允许缺货，补充时间较长 从[ 0，t1 ]看，最大缺货量B=R t1；从[ t1，t2 ]看，最大缺 货量B＝(P-R)( t2- t1)。故有R t1=(P-R)( t2- t1)，从中解得： （6-6） 从[ t2, t3 ]看，最大存贮量A＝(P-R)( t3- t2)：从 [ t3，t ]看， 最大存贮量A＝R(t- t3)。故有(P-R)( t3- t2)＝R(t- t3)，从中解得： （6-7） 在[0，t]时间内， 存贮费为： 缺货费为：

模型二：允许缺货，补充时间较长 故[0，t]时间内平均总费用为： 将(6-6)和(6-7)代入，整理后得：

模型二：允许缺货，补充时间较长 解方程组 容易证明，此时的费用C( t*，t2* )是费用函 数C( t，t2 )的最小值。

模型二：允许缺货，补充时间较长 因此，模型二的最优存贮策略各参数值为： 最优存贮周期 (6-9) 经济生产批量 (6-10) 缺货补足时间 (6-11)

模型二：允许缺货，补充时间较长 开始生产时间 (6-12) 结束生产时间 (6-13) 最大存贮量 (6-14) 最大缺货量 (6-15) 开始生产时间 (6-12) 结束生产时间 (6-13) 最大存贮量 (6-14) 最大缺货量 (6-15) 平均总费用 (6-16)

模型二：允许缺货，补充时间较长 例3 某药厂生产某种药品，正常生产条件下每天可生产100件。根据供货合同，需每天80件供货。存贮费每件每天2元，缺货费每件每天5元，每次生产准备费用(装配费)为800元，求最优存贮策略。 解 依题意，符合模型二的条件且P=100件/d，R=80件/d，Cl=2元/d·件，C2=5元/d·件，C3=800元/次。

模型二：允许缺货，补充时间较长 利用公式(6-9)～(6-16)，可得 最优存贮周期 经济生产批量 缺货补足时间

模型二：允许缺货，补充时间较长 开始生产时间 结束生产时间 最大存贮量 最大缺货量 平均总费用

模型二：允许缺货，补充时间较长 可以把模型一看作模型二的特殊情况。在模型二中，取消允许缺货和补充需要一定时间的条件，即C2→，P→，则模型二就是模型一。事实上，如将C2→和P→代入模型二的最优存贮策略各参数公式，就可得到模型一的最优存贮策略。只是必须注意，按照模型一的假设条件，应有： t1*＝t2*=t3*=0 A*＝Q* B*=0

模型三：不允许缺货，补充时间较长 在模型二的假设条件中，取消允许缺货条件(即设C2→，t2=0)，就成为模型三。因此，模型三的存贮状态图和最优存贮策略可以 从模型二直接导出。 模型三的存贮状态 图见图6-4。

模型三：不允许缺货，补充时间较长 最优存贮周期 经济生产批量 结束生产时间 最大存贮量 平均总费用

模型三：不允许缺货，补充时间较长 例4 某医院2001年每月需用某种针剂10000支，每月购进25000支(在边补充边消耗期间，订购后需6天才开始到货)，单位存贮费为0.05元/支·月，单位订购费1000元，试求最优存贮策略。 解： 本例特点是补充除需要入库时间，还需考虑拖后时间。因此，订购时间应在存贮降为 零之前的第6天。除 此之外，本例和模 型三的假设条件完 全一致。本例的存 贮状态图见图6-5。

模型三：不允许缺货，补充时间较长 从图6-5可见，拖后时间为[0，t0]，存贮量L应恰好满足这段时间的需求，故L=Rt0 由题意知P=25000支/月 R=10000支/月Cl=0.05元/支·月 C3=1000元/次 t0=6天，L=10000 6/30=2000支。代入式(6-17)~ (6-21)可算得： 最优存贮周期

模型三：不允许缺货，补充时间较长 经济生产批量 结束生产时间 最大存贮量 平均总费用

模型四：允许缺货，补充时间极短 在模型二的假设条件中，取消补充需要一定时间的条件(即设P→)，就成为模型四。因此，和模型三一样，模型四的存贮状态图和最优存贮策略也可以从模型二中直接导出。 模型四的存贮状态图见图6-6。 最优存贮策略各参数： 最优存贮周期

模型四：允许缺货，补充时间极短 经济生产批量 生产时间 最大存贮量 最大缺货量 平均总费用

模型四：允许缺货，补充时间极短 例5 假设某医院每年均匀地耗用A种卫生材料24000单位(允许缺货，瞬时补充)。 已知每单位A材料每月存贮费0.1元，每采购一次该材料需采购费350元，单位缺货费为0.2元/单位·月，试求最优存贮策略。 解：由题意知： R=24 000/12=2000单位 Cl=0.1元/单位·月 C2=0.2元/单位·月C3=350元/次 ,可算得： 最优存贮周期 经济生产批量

模型四：允许缺货，补充时间极短 生产时间 最大存贮量 最大缺货量 平均总费用

模型四：允许缺货，补充时间极短 对于确定型存贮问题，上述四个模型是最基本的模型。其中，模型一、三，四又可看作模型二的特殊情况。在每个模型的最优存贮策略的各个参数中，最优存贮周期t*是最基本的参数，其它各个参数和它的关系在各个模型中都是相同的。根据模型假设条件的不同，各个模型的最优存贮周期t*之间也有明显的规律性。 因子 对应了是否允许缺货的假设条件， 因子 对应了补充是否需要时间的假设条件。

一个存贮问题是否允许缺货或补充是否需要时间，完全取决于对实际问题的处理角度，不存在绝对意义上的不允许缺货或绝对意义上的补充不需要时间。如果缺货引起的后果或损失十分严重，则从管理的角度应当提出不允许缺货的建模要求；否则，可视为允许缺货的情况。至于缺货损失的估计，应当力求全面和精确。如果补充需要的时间相对于存贮周期是微不足道的，则可考虑补充不需要时间的假设条件；否则，需要考虑补充时间。在考虑补充时间时，必须分清拖后时间和生产时间，两者在概念上是不同的。

模型五：价格与订货批量有关的存贮模型 为了鼓励大批量订货，供方常对需方实行价格优惠。订货批量越大，货物价格就越便宜。模型五除含有这样的价格刺激机制外，其它假设条件和模型一相同。 一般地，设订货批量为Q，对应的货物单价为K(Q)。当Qi-1≤Q<Qi，时，K(Q)＝Ki(i=1，2,…，n)。其中，Qi为价格折扣的某个分界点，且0≤Q0<Ql<Q2<…<Qn，K1>K2>…>Kn。 由式(6-1)，在一个存贮周期内模型五的平均总费用(费用函数)为： 其中，Q=Rt。当Qi-1≤Q=Rt<Qi时，K(Q)=Ki i=1,2,…,n C(t)为关于t的分段函数。为了了解它的性质，以n＝3为例，画出其图象，见图6-7。

模型五：价格与订货批量有关的存贮模型

模型五：价格与订货批量有关的存贮模型 (1) 计算 。若 ， 则平均总费用： (2) 计算 (3) 若 ，则C*对应的批量为 (1) 计算 。若 ， 则平均总费用： (2) 计算 (3) 若 ，则C*对应的批量为 最小费用订购批量Q*。相应地，和最小费用C*对应的订购周期 t*=Q*/ R。

模型五：价格与订货批量有关的存贮模型 例6 医院每周需打印纸45箱，存贮费每箱每周5元，每次订购费50元，不允许缺货。打印纸进货时若(1)订货量1箱～9箱时，每箱120元；(2)订货量10箱～49箱时，每箱100元；(3)订货量50箱～99箱时，每箱95元；(4)订货量99箱以上时，每箱90元。求最优存贮策略。 解 R=45箱/周，C1=5元/周，C3=50元/次 Q0=0，Ql=1，Q2=10，Q3=50，Q4=100 K1=120，K2=100，K3=95，K4=90

模型五：价格与订货批量有关的存贮模型 因 在10～49之间，故每箱价格为K2 =100 元，平均总费用 又因 min{ 4650，4445，4322.5 } = 4322.5 (元/周) = C(4) 故最优订购批量Q*=100箱，最小费用C*=4322.5元/周，订购周期 t* = Q*/ R = 100/45 ≈ 2.22周 ≈ 16天。