过程性变式 与 数学课例研究 顾泠沅 杨玉东 上海市教育科学研究院

一、我国数学教育的亮点： 过程性变式

1.中国人数学学习的悖论 西方研究者认为，中国学习者的数学学习环境存在许多缺陷，尤其在教学方式上，属于典型的“被动灌输”和“机械训练” 单一讲授的上课方式，教师灌输，学生被动接受 班机规模大，一般超过40人，多至50人以上 低认知水平的频繁考试和高度竞争，造成教师、学生沉重负担 Ginsberg（1992）发表报告认为，中国的教学特点是“一个受尊敬的长者传输知识给处于服从地位的年少者” 从学生学业评价的角度来看，中国中小学教学具有明显的优势 海外的中国学生一般取得比其实际智商预期更好的成就 IEA（1992）的研究数据表明，中国大陆获得第一 IMO（国际数学奥林匹克竞赛）中，中国队一贯名列前茅 Stevenson（1992）在《学习的差距》中揭示，美国学生的学习成绩明显低于中国甚至东亚学生，从1到11年级，这种差异明显存在

2.有意义学习的判据 有层次推进隐喻：游泳 记忆、理解、探究三种水平 七种变式 课堂教学的脚手架理论 ？？理论 已有知识 新的知识 建立联系 已有知识 新的知识 建立联系 合理 实质 奥苏贝尔： 知识固着点的性质 换一个形式检验 我国教师： 合适“潜在距离”的 严格的“变式训练” 铺垫是成功的奥秘 是有效手段 有层次推进隐喻：游泳 记忆、理解、探究三种水平 七种变式 课堂教学的脚手架理论 ？？理论

3.聚焦变式教学 1 中国学习者悖论 1.1 关于中国学习者的矛盾观点 1.2 悖论的解释 1.3 聚焦变式教学 2 实验研究 2.1 概念性变式：对概念的多角度理解 2.2 过程性变式：数学活动的有层次推进 3 理论解释 3.1 有意义学习 3.2 两种变式的关系 3.3 理论建构 4 启示和讨论 4.1 反思中国数学课堂 4.2 讨论 顾泠沅、黄荣金、Marton，“变式教学：促进有效的数学学习的中国方式”，《华人如何学数学》（英文版）第12章，2004年新加坡Science出版社。

过程性变式的特征 与概念性变式的区别：概念性变式关注的是廓清数学学习对象静态的、整体的、相对稳定的内涵与外延特征；而过程性变式关注的是数学学习对象动态的、内在的、层次性递进的过程。因此，对于数学概念、命题推演和问题解决等每一类数学学习对象，均存在着概念性变式和过程性变式。 数学活动过程的基本特征是层次性。这种层次性既可以表现为一系列的台阶、也可以表现为某种活动策略或经验。过程性变式的主要教学含义是在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验。

二、过程性变式的数学课例研究

1. 数学概念学习 案例：“除法就是分豆子！”

（1）选题背景 小学数学“有余数的除法” 7÷3＝2……1 Freudenthal研究所的达朗其(Jan de Lange, 1996) 在ICME-8的大会报告中介绍了荷兰的一堂课：81名家长出席学校家长会，每张桌子可坐6人，需要布置多少张桌子？第一类学生具体地摆桌子；第二类学生经历了摆桌子到形式计算的抽象；第三类学生套用现成算式去做。实际上，三类学生中只有第二类才真正体验到了“数学化”的含义。

（2）原行为阶段 关注自我的关键性事件： 重点放在程式化训练， 忘记了对小学生 来说“数学就是生活”。 ① 纠缠于区分等分除、包含除等枝节，未突出“有余数”这个要点 ② 习惯于计算准确性的训练：3×( )< 7，括号里最大能填几？ 未关注试商的实际意义 ③ 表面地寻找规律，学生都说“不知道” 16÷5=3……1 17÷5=3……2 18÷5=3……3 19÷5=3……4 余数(1、2、3、4)与除数(5)比较大小， 得出余数小于除数 关注自我的关键性事件： 重点放在程式化训练， 忘记了对小学生 来说“数学就是生活”。

（3）新设计阶段 关注理念的关键性事件： 运用儿童生活经验，“除法就是分豆子”， 让学生真实地体验“数学化”的含义。

困难 教师的创造 （4）新行为阶段 在实物与算式间设置一个中介——放掉豆子和盘子，学生在脑中分豆子，终于越过了形式化的难关。 做除法要“拿豆子来”，只会动手做、不会动脑想。课堂热热闹闹，却陷入了数学教学的浅薄与贫乏。 教师的创造 在实物与算式间设置一个中介——放掉豆子和盘子，学生在脑中分豆子，终于越过了形式化的难关。 关注获得的关键性事件： 学生不会形式化，采用“脑中分豆子”， 才能解决从实物到符号的过渡。

（5）实践创造与理论学习 实物操作 表象操作 符号操作 分豆子 脑中分豆子 算式运算 （具体） （半具体、半抽象） （抽象） 寻找规律 “分豆子”与布鲁纳的认知理论 实物操作 表象操作 符号操作 分豆子 脑中分豆子 算式运算 （具体） （半具体、半抽象） （抽象）   寻找规律 数学是在具体、半具体、半抽象、抽象中间的铺排，是穿梭于实物与算式之间所作的形式化过渡。

（6）课堂理念与行为发生改变 让学生发现“余数比除数小”师生语言互动时间分布表

师生语言互动状况及其理念与行为的改变 课堂静止或不理解的时间⑩、教师指示或命令⑥、批评或辩护权威行为⑦，在改进课中下降为零；教师演讲⑤、学生按老师要求表述⑧，明显减少 教师的提问④、学生主动表达自己的发现的语言⑨，在改进课中明显增加；教师接纳学生感觉的语言①，也有上升

2、数学命题学习 案例：等腰三角形的判定

（1）选题背景 在数学教学中，学生要学习大量的性质定理、判定定理和公式等。以往的数学学习常常是老师“告诉”定理、公式，给出证明，然后通过练习做机械训练。学生感到枯燥乏味。如何激发学生提出和论证命题的兴趣、如何让从简单到复杂的变式练习成为学生解题能力的练兵场，是日常数学教学中值得关注的问题。 “（数学）早已广泛被人们承认为科学、工艺、商业和晋升各种专业的基础工具。这种目标会导致成人热衷于数学；但对于初步接触数学的幼龄学生，却是遥不可及。”（斯根普1971）

（2）模式化的定理教学 复习性质定理、给出判定命题 师生进行思路分析 通过论证得出定理 应用定理做练习 等腰三角形的两个底角相等 有两个角相等的三角形是等腰三角形 A C B 写成已知求证的形式： 已知：在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC

（3）用情境问题引发兴趣 如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？ 学生的三种“补出”方法： 画出的是否为等腰三角形，由此引发判定定理的证明 只剩一个底角和一条底边 学生的三种“补出”方法： ①量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A ②作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A ③“对折” 画出的是否为等腰三角形，由此引发判定定理的证明

（4）多种证法激活创造力 三种常规的办法： 两种创造性的证法： ①作∠A的平分线，利用“角角边” ②过A作BC边的垂线，利用“角角边” ④假定AB>AC,由“大边对大角”得出矛盾 ⑤△ABC≌△ACB，应用“角边角”

（5）用变式练习分步解决问题 不断变换题目的条件： △ABC中，∠ABC＝∠ACB，BO平分∠B，CO平分∠C。能得出什么结论？ 过O作直线EF∥BC。①图中有几个等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间有何关系？(学生编题) 若∠B与∠C不相等。 ①图中有没有等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间还有没有关系？(学生讨论) 直观看到三个，两个红色三角形必须应用判定定理论证；线段关系用到性质定理。 必须综合应用判定定理和性质定理论证两个红色三角形以及线段间的关系 直观看到一个，简单应用判定定理

（6）变式教学效果的试验研究 一位专家曾提出质疑，上述最后一题是“总复习”中的难题，在“等腰三角形的判定”第一节课中作为练习，是否超越了学生的学习能力？事实上，运用变式作铺垫，可以明显提高练习的效率。后来专家们在普通学生的班中做了试验，同样取得很好效果。 我们曾对利用变式图形提高几何教学效果的经验，开展重复试验或轮换试验，结果差别具有显著或极其显著意义。

3、数学问题解决学习 案例：勾股定理能够被学生探究出来吗？

（1）选题背景 a2+b2=c2 勾股定理是数学教改的晴雨表：上一世纪五六十年代数学课程中的严格论证、后来提倡的“量一量、算一算”、之后的“告诉结论”、“做中学”，直到现在的探究式等。数学教学要培养学生的数学计算、数学论证乃至数学决策等三大能力，勾股定理教学正是一个恰当的例子。

（2）回顾原教学行为 欧几里德方法 (等积变形推导) 设置动手情境 特殊情境成了直接暗示,无异于告诉事实 技巧难度太高 提供勾股数组: 欧几里德方法 (等积变形推导) 技巧难度太高 提供勾股数组: 32+42=52 62+82=102 特殊情境成了直接暗示,无异于告诉事实 “量一量、算一算” 得不出a2+b2=c2 设置动手情境 简化为铺地砖: “剪一剪、拼一拼” 学生不会剪拼

（3）在不满中寻找出路 优秀教师不满足于以往的教学行为。查阅第3次国际数学与科学重复录像研究项目提供的12个勾股定理教学录像，没有获得满意的结果。 尝试新的教学设计，要点是： ①目标在于体现“猜想—证明”这种数学思想方法的本原性意义。 ②探究需要“铺垫”（有层次推进的策略）。就像学游泳，不能让所有学生都直接跳到海里，要有一定的背景知识和带关键性的技能、策略作铺垫。铺垫也称“脚手架”，为学生提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下向高认知学习任务的难度攀升。

（4）情境铺垫出猜想 (a+b)2 a2+2ab+b2 ① 问题: 直角三角形两条直角边和斜边之间有什么关系? a、b＜c＜a+b （已有知识） 两边平方怎么样? a2、b2＜c2＜ ② 铺垫: 在方格纸内斜放一个正方形ABCD，每个小方格的边长为单位1，怎样计算正方形ABCD的面积？ (a+b)2 a2+2ab+b2

③ 数据表：用前面的方法分别计算下列四个图形中的a2、b2 、2ab及c2的值，并填表。 代数项 图Ⅰ 图Ⅱ 图Ⅲ 图Ⅳ … a2 1 4 9 16 b2 25 2ab 12 24 40 c2 5 13 41 学生的发现出乎意料：c2=2ab+1 a2+b2=c2 a+b+a2=b2 2ab+c2=(a+b)2等!

(5) 反驳与证明的师生对话 [生1 ] 根据数据表,我得出c2=2ab+1的结论。 [ 师] [很惊讶]怎么会,不可能吧? [ 师] [很惊讶]怎么会,不可能吧? [生2 ] 我做过a=2,b=4的例子,这时2ab=16,c2=20,c2≠2ab+1。 [ 师] 生2用举例来“反驳”,有说服力,c2=2ab+1这一结论不能成立。 [生3 ] 老师,当a与b相差1的时候,这个结论还是成立的。 [ 师] [心中想 c2=(a-b)2+2ab,b-a=1时,c2=2ab+1]这个意见也是对的,这是一个有条件的结论。好,下面我们来看看另外一个结论a2+b2=c2。 [生4] 这个结论对前面已举过的图例来说都是成立的,但是我想,即使100个例子都正确,101个例子不成立了呢?所有例子都成立才是定理,只要有1个例子不成立还是个有条件的结论。 [ 师] a2+b2=c2是否是个定理,举例再多也说明不了,怎么办? [生众] 看来必须证明。

（6）拆除铺垫引导论证 把图中的小方格背景撤去，并且隐去a、b的具体数值，在一般的直角三角形中，a2+b2=c2是否同样成立？学生利用前面计算直角三角形斜边上正方形面积的方法，顺利地证明了这一结论的正确性。 a b c

（7）学生活动做扩充 课后，学生的自我扩充活动分三方面展开 ① 设计数据表出猜想 ② 上网学习勾股定理的史料与多种证明 ③ 收集、编拟勾股定理的应用题 如 如 如 R s v 地球 R=6400km S=0.005km 第一宇宙速度 v2=(R+s)2-R2 ≈2RS =64 v =8km 中国古代文明 c2=2ab+(a-b)2 =a2+b2 格点多边形面积 S=N+ -1 (N为内点数,L为边点数)

(8) 课堂价值取向与行为类型的变化 教师讲授时间减少，学生探索时间明显增加，课堂价值观正向能力取向移动 由于探索时间增加，学生课堂练习时间有所减少，但课外思考的空间扩大了

过程性变式的主要教学含义在于数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生逐步形成概念、推演命题或解决问题，从而形成多层次的活动经验系统。这种教学方式并不是一种“机械训练”，而是促进有意义学习的教学手段。 过程性变式的功能有四个方面：一是用于概念的形成过程；二是用于数学对象和背景的转换过程；三是用于数学命题的形成过程；四是用于数学问题的解决过程。 小结： 中国教师运用过程性变式的基本特征

三、课例为载体的教师专业发展

1.基于课例的教师学习 专家教师 经验教师 职初教师 原理知识（学科的原理、规则，一般教学法知识） 教师专业成长与知识结构变化 案例知识（学科教学的特殊案例、个别经验） 策略知识（运用原理于案例的策略，核心是反思）

新教师走向成熟: 入职教育是关键一步 　　1999—2000，美国密歇根州立大学教育学院彭恩霖等，全球范围开展新教师入职教育的多国案例研究（中国上海、法国、日本、纽西兰、瑞士）。访谈教师，考察学校和课堂，与行政管理人员、教育研究人员和师范大学教师交流讨论，从政策、项目、实践三方面考察。结果表明：内容涉及学科教学、教学管理、职业责任与道德的新教师入职教育对教师成长有关键性的意义。上海案例进一步说明： 　●新教师从导师那里学做人、学处事，受益匪浅，与导师共同工作，使他们加速了经验学习的进程。 　●融入公开性的交流及对教学的审视，让新教师获得公众评论其教学优缺点的机会，使他们从教学的边缘参与到中心活动，是新教师走向成熟的重要途径。 （Edard Britton，Lynn Paine， Darid Pimw and Senta Raizen， Comprehensive Teacher induction， 2003）

经验教师追求卓越:动态过程至关重要 　　2000—2001，时任香港大学课程学系主任的徐碧美教授，在一所学校跟踪四位教师，经一年多课堂录像、访谈研究，完成《追求卓越——教师专业发展案例研究》，英国剑桥大学出版社出版。 她采用对教师工作、生活的人种学案例研究的方法结果发现，别人提出的“卓越”理论，尽管把握了专家教师的静态特征，但并未把握专家与非专家教师的关键差异（动态形成过程）： 　●组织结构良好的基础知识以及思考和反思的知识技能； 　●实践知识理论化、理论知识实践化的知识发展特征； 　●不断探索和实验，质疑看似“没有问题”的问题和积极回应挑战的行为特征。 （Amy B.M.Tsui, Understanding Expertise in Teaching: Case Studies of Second Labguage Teachens, 2003)

2．教师在教育行动中成长 洞察自己的经验与需求是关键 教师成长的捷径（先后120名，8个典型） “在课堂拼搏中学会教学”，有望解决理论向行为转移的问题。 教师案例：“一篇课文，三次备课”的原型经验 第一次备课——摆进自我，不看任何参考书与文献， 全按个人见解准备方案 第二次备课——广泛涉猎，分类处理各种文献的不同见解 （我有他有，我无他有，我有他无）后修改方案 第三次备课——边教边改，在设想与上课的不同细节中， 区别顺利与困难之处，课后再“备课” 　　三个关注（自我、同行、学生）和两个反思支架（理念、行为）的课堂改革经验，无一例外是教师成长的捷径。

课例为载体/教师与研究者的合作平台：理论学习、教学设计、行为反省 　　借鉴国际理念，根据实践经验，提出以课例为载体、在教学行动中开展包括专业理论学习在内的教学研修活动的改革思路，简称“行动教育”。 原行为阶段 关注个人已有经验的教学行为 新设计阶段 关注新理念、新经验的课例设计 新行为阶段 关注学生获得的行为调整 更新理念 反思1：寻找自身与他人的差距 改善行为 反思2：寻找设计与现实的差距 课例为载体/教师与研究者的合作平台：理论学习、教学设计、行为反省

（1）会议概况 3、来自八国“课例研究年会”的启示 2005年12月1－3日，香港教育学院组织了第一届课堂学习研究年会(1st Annual Conference on Learning Study)。来自日本、美国、英国、瑞典、新加坡、伊朗和中国香港和上海等七国八地的学者参加了会议。 2006年11月30－12月2日，香港教育学院组织了第二届课堂学习研究年会(2nd Annual Conference on Learning Study)。除了第一届年会的参与各国，澳大利亚和中国北京的学者首次参加了会议。

第一届年会主报告 第二届年会主报告 顾泠沅：以校为本的教师专业发展范式革新Matoba：日本的“授业研究”与“研究授业” 卢敏玲：香港的优化课堂学习计划 Ference Marton：瑞典的学习研究 李金英：新加坡的课例研究 Jeanne Wolf：来自美国的授业研究观点 第二届年会主报告 王洁，杨玉东：我们在做怎样的课例研究 卢敏玲：从香港的课堂学习研究中能学到什么 Matoba：授业研究中的人种志和参与观察法 李金英，方艳萍：新加坡课程改革背景下的授业研究 Elliott：课堂学习研究能支撑系统广泛的教育革新吗 Catherine Lewis：授业研究：来自美国的案例 Ference Marton：学习中的相同和差异

第二届年会主要议程 议程之一： 圆桌会议，应邀专家介绍各自国家 教学研究情况。 议程之二： 成立“世界课例（授业）研究协会” （World Association of Lesson Study）， 香港教育学院卢敏玲教授首任主席， 顾泠沅教授为中国地区总负责人。 议程之三： 对全港教育界开放的大会报告，美国、瑞典、新加坡、日本、伊朗以及中国香港和上海的一线教师的课例研究分享，有近2000人分散在三个会场参加，会议在香港中小学界影响很大。

全球提高教学质量运动、课程改革、教师发展成为会议焦点 （2）共同关注：课堂教学研究 全球提高教学质量运动、课程改革、教师发展成为会议焦点 ↓瑞典Goteborg大学的 Ference Marton 教授，他的变易理论是香港课堂学习研究的理论依据 ↑由于 Stigler 在《教学差距》中对德、日、美三国的一项比较研究，日本的教研活动受到了关注 ↑英国东英格兰大学的 John Elliott 教授，他倡导在校本教学研究中做“行动研究”

日本的授业研究 三种教学研究模式引起广泛关注 第三次国际数学与科学研究中，Stigler（1999）认为：日本学生的高成就是因为日本教师在教学上的成功,与日本的教学研究活动——授业研究(Lesson Study,即课例研究)相关。 ● 由大学教授与学校教师合作开展，“自愿者”组成的教学研究行动。 ● 向社区开放学校和课堂，公开研究课。它的一个重要目标是改善教师与教师、教师与学生、教师与家长等他人的关系，把教师的专业发展置身于“职场”之中，学校不仅仅是教的场所、也成为教师学的场所。 ● 佐腾学：为提高质量，推进课程改革，必须打开教室的大门，相互评论，连续改进。除此之外，别无他法。任何操之过急的做法，对学生没有好处，对教师更没有好处，也许让他们学会了做秀。 目前，美国和其他一些国家把授业研究视为“改变21世纪教师专业发展的强有力途径”而加以推广。 日本的授业研究

香港的课堂学习研究 瑞典Marton教授变易理论为基础 辨识课题中有意义学习的内容 审辨学习内容的关键特征 厘清学生对学习内容已有看法 ●学习源于变易 ●有比较才能“审辨” ●教学在于学习主体“同时”体验关于对象各方面变易的维度，开拓具有思想性的“学习空间” 审辨学习内容的关键特征 厘清学生对学习内容已有看法 及难点（使用前测题目） 开展教学设计及教学实践 开展教学评估（使用后测题目， 运用三种变易分析教学） “课堂学习研究”中扩展为三种 ●学生对“学习内容”理解之变易 ●教师对“学习内容”的不同处理方法的变易 ●运用适切的变易作为教学工具 撰写课例报告及分享成果 ● 关注学习内容的分析 ● 运用教学分析（前测、后测）分析教学

上海的行动教育 ●“主体悟性”：行动研究侧重于改善行为，但理性思考或对理论支持的力度明显不够。为此“行动教育”引入了科学认识（假说检验）的模式与行为反馈机制同时进入工作流程，注重通过“摆进自我”把行动与理性联结起来。 ●“专业引领”：表现为来自实践层面的有经验教师、理论层面的专业研究人员和“中介”层面的教研员的多边合作的引领，不是单边的专家引领。 ●“行为跟进”：注重把教师在实践和讨论后产生的新经验、新理念连续地跟进在后续的课堂教学实践中，是一个持续改进的循环过程。

（3）几点启示 ①课例研究应当是教师学习的重要载体 第二届大会的亮点之一，是来自六个国家和七个地区的一线教师团队，他们分两个半天分享了各自国家的课例。作为研究学生学习、教师学习的重要载体，课例已经成为开展课堂研究的主要方式和成果表现，“载体学习”观正在形成。 上海老师所展示的“基于关键教学事件的视频案例研修”引起了与会专家的关注。课例研究中如何抓住关键事件、甚至用技术整合相关资源，是课例研究深入开展的一个新方向。

②课例研究要关注学科内容及其实质 ● 瑞典的Marton教授反复强调教学研究中的“形式与内涵”问题，他指出：当谈到“学习什么”的时候，我们关注的是学科内容；当谈到“什么最重要”时，我们就关注到了学习内容的实质……这就是学习研究的秘密。 ● Pong & Morris(2002)归纳了上百项有关教学改革的研究后发现：学习内容是直接影响学生学习质量的近侧因素。授业研究、课堂学习研究和行动教育都采用了课例研究的方法，它们都非常关注教学研究的内容载体。 ● Shulman（1986）提出：当心教学研究和教师培训中的“缺失范式”。

③课例中要注意课堂观察技术和人种志方法的运用 从大会介绍的案例来看，各国在进行课例研究中，非常注重研究方法，在应用课堂观察和分析技术时，尤其是结合使用人种志参与式观察方法。我国的课例分析中往往是经验判断多、演绎思辨多，实证数据和归纳式结论相对较少。加强多种课堂观察方法的综合使用，是课例研究中的值得关注的内容之一。

④ 四级教研机构是课例研究的重要支持力量 课例研究的共同点 具体差异 ● 我国内地的四级教研机构是我们的特色所在； 均由理论工作者和学校教师共同组成 具体差异 授业研究(日本) 大学教授直接和学校教师中的自愿者组成 课堂学习研究(香港) 由教育学院导师、启导教师和一般教师组成 通过教育学院和学校的合作项目推动 行动教育(上海) 除专业研究人员和学校教师外，有教研员参与 多层次教研机构支持课例研究 省(市)教学研究室/教育学院 区县教学研究室/教师进修学校 各 学 校 分 领 域 的 教 研 组 各 领 域 分 年 级 的 备 课 组 ● 我国内地的四级教研机构是我们的特色所在； ● 教研员架构起了教学研究理论与教学实践之间的桥梁，是开展课例 研究的中介。

谢 谢！