等 比 数 列

忆一忆 什么是数列？什么是等差数列？ 1, 3, 5, 7, 9…; (1) 3, 0, -3, -6, … ; (2) 1, 3, 5, 7, 9…; (1) 3, 0, -3, -6, … ; (2) 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。

1 2 3 4 5 6 7 8 左图为国际象棋的棋盘，棋盘有8*8=64格 1 2 3 4 5 6 7 8 上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数： 国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到第64个格子放满为止。” 国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？

庄子 曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。 如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：

一种计算机病毒可以查找计算机中的地址本,通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是： … 1， 20， 202 ， 203，

比一比 共同特点: 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。 以上4个数列有什么共同特点？ 9，92，93，94，95，96， 97 …… (1) …… 以上4个数列有什么共同特点？ (2) (3） 9，92，93，94，95，96， 97 （4） 共同特点: 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。

等比数列定义 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q≠0） 其定义式为： 或 go

注意： 1. 公比是等比数列从第2项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。 2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数。 go

思考: (1) 等比数列中有为0的项吗？ (2) 公比为1的数列是什么数列？ (3) 既是等差数列又是等比数列的数列 存在吗？ (4) 常数列都是等比数列吗？

练一练 1、 263 ，…，16，8，4，2，1； 2、 5，-25，125，- 625，…； 3、 1，2，3，6，12，24，48…; 判定下列数列是否可能是等比数列？ 若是，说明公比；若不是，说出理由． 1、 263 ，…，16，8，4，2，1； 2、 5，-25，125，- 625，…； 3、 1，2，3，6，12，24，48…; 4 、 1，0，1，0，1，……； 5、 1，1，1，1，……； 6、 0，0，0，0，0，…….； 7、 a, a, a, a, ……； 练一练 go

想一想 注意： go 思考：等比数列中 (1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？第n项能为0吗？ (2)公比q=1时是什么数列？ (1)公比q≠0，an≠0(n∈N)； (2)既是等差又是等比数列为非零常数列； go

学以致用 做一做 go ① －2，1，4，7，10，13，16，19，… ② 8，16，32，64，128，256，… 给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准. ① －2，1，4，7，10，13，16，19，… ② 8，16，32，64，128，256，… ③ 1，1，1，1，1，1，1，… ④ 243，81，27，9，3，1，，，… ⑤ 31，29，27，25，23，21，19，… go

等比数列通项公式的推导 方法一: 递推法 等比数列 {an }中,有: (q不为0) 由此可知，等比数列的通项公式为 n为正整数

等比数列通项公式的推导 方法二: 累乘法

等比数列的通项公式: 通项公式一: 通项公式二:

等差数列与等比数列对比记忆表 数 列 等 差 数 列 等 比 数 列 定 义 公差（比） 通项公式 一般形式 公差(比) an+1-an=d 数 列 等 差 数 列 等 比 数 列 定 义 公差（比） 通项公式  一般形式 公差(比) an+1-an=d d 叫公差 q叫公比 an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m

例1.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项 解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么 消元 答：这个数列的第1项与第2项分别为 与 8

讲解范例: 例2. 求下列各等比数列的通项公式： (1) a1＝－2, a3＝－8; (2) a1＝5, 且2an＋1＝－3an.

讲解范例: 例3. 某种放射性物质不断变化为其他 物质，每经过一年剩留的这种物质是 原来的84%.这种物质的半衰期为多长 (精确到1年)？

讲解范例: 例4. 已知数列{an}满足 a1＝1，an+1＝2an＋1. (1)求证数列{an+1}是等比数列；

等比数列的通项公式练习1 求下列等比数列的通项公式，并求出其第４，5项： （1） 5，-15，45，… （2）1.2，2.4，4.8，…

练一练: 2.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=5/4, 求a2的值. 3.每次用相同体积的水洗一件衣物,且每次能洗去污垢的3/4,若洗n次后,存留的污垢在1%以下,则n的最小值为多少?

洗1次 剩下污垢为 (1-3/4)=1/4 洗2次 剩下污垢为 (1/4)2 解：设洗之前的污垢为1个单位. 洗1次 剩下污垢为 (1-3/4)=1/4 洗2次 剩下污垢为 (1/4)2 　 则每洗1次剩下是的污垢是前一次的1/4,构成一个等比数列 {an } . an=(1/4)n 当n=4时, a4= (1/4)4=1/256<1% 而 n=3时, a3= (1/4)3=1/64>1% 答: n的最小值为4.

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