总假定：所论二次曲线非退化. 仅讨论二阶曲线 § 4.5 二次点列上的射影变换 总假定：所论二次曲线非退化. 仅讨论二阶曲线 一、二次点列上的射影对应 1、定义 定义4.12 二阶曲线上全体点的集合称为一个二次点列, 称为这点列的底. 记作(A,B,C,…)或(P)或. 定义4.12' 二级曲线'上全体直线的集合称为一个二次线束, '称为这线束的底. 记作'(a,b,c,…)或'(p)或'. 只讨论二次点列. 注：作为点的集合, 二次点列与一次点列、线束都具有同样多的元素.

§ 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 2、二次点列上四点的交比 § 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 2、二次点列上四点的交比 定义4.13 设A, B, C, D为二次点列上四点. 则其交比定义为 (AB, CD)=S(AB, CD). 其中S为上任意一点. 若上述交比为–1, 则称这四点构成二次点列上一个调和点组. 注：由推论4.3, (AB,CD)与S的选取无关，本定义合理.

§ 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 3、二次点列间的射影对应 § 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 3、二次点列间的射影对应 定义4.14 如图所示点列、线束与二次点列之间的透视对应. 记作：S(P) (P)；x(P1) (P). 注1：线束与二次点列, 束心须在上；点列与二次点列, 对应点连线共点于上. 注2：点列、线束与二次点列之间的透视对应是保交比的双射. 定义4.15 若两个二次点列分别与两个射影线束透视, 则这两个二次点列成射影对应. S(P) (P) S(P) S'(P') (P)  '(P') S'(P') '(P')

§ 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 4、Steiner作图法 § 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 4、Steiner作图法 定理4.17 (1) 已知相异的三对对应点惟一确定两个二次点列间的一个射影对应. (2) 二次点列间的射影对应是一个保交比的双射. 例1. 已知两个二次点列与'的射影对应的三双相异的对应点A, A'; B, B'; C, C'(如图), 求作上任一点P在'上的对应点P'(Steiner作图法). 注1 直线B0C0称为与'的射影对应的透视轴. 由作图, 透视轴存在而不惟一. 注2 透视轴不惟一, 但是P的对应点P'惟一存在.

§ 4.5 二次点列上的射影变换 二、二次点列上的射影变换 定义 同底两个二次点列间的射影对应称为二次点列上的一个射影变换. § 4.5 二次点列上的射影变换 二、二次点列上的射影变换 定义 同底两个二次点列间的射影对应称为二次点列上的一个射影变换. 定理4.18 (Steiner)设 f 为二次点列上的一个非恒同的射影变换. 则存在惟一直线 p0 , 使得对于 f 的任何两对对应点A, A'; B, B', 都有PAB=AB'A'B在直线p0上. 直线 p0称为 f 的射影轴, 简称轴. 证明：(略, 见教材). 注：射影轴即为三双对应点确定的Pascal线. 轴与的交点即为 f 的不变点. f 的射影轴 推论4.11 二次点列上的一个非恒同的射影变换 f 的轴可由已知 f 的相异的三对对应点完全确定. 推论4.12 二次点列上任一个非恒同的射影变换 f 可由已知其轴和一对相异的对应点完全确定.

§ 4.5 二次点列上的射影变换 二、二次点列上的射影变换 定义4.17 二次点列上的双曲型、抛物型、椭圆型射影变换. § 4.5 二次点列上的射影变换 二、二次点列上的射影变换 定义4.17 二次点列上的双曲型、抛物型、椭圆型射影变换. 注：二次点列上的一个射影变换 f 为双曲型、抛物型或椭圆型 f 的轴与相交、相切或不相交(交于一对共轭虚点). 定理4.19 f: (P) (P') 体会：通过透视对应, 一维基本形的射影对应、射影变换的许多性质都可移植到二次点列上来. S(P) (P) x(P1) (P) S(P') (P') x(P'1) (P') fS: S(P) S(P') fx: x(P1) x(P'1) f 与fS , fx为同型射影变换. 定理4.20 对于二次点列上的双曲、椭圆型射影变换, 其两个不变元素与任一对相异的对应元素所成交比为常数, 称为特征不变量.

§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 § 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 定义 二次点列上的一个非恒同的射影变换 f 称为对合, 如果任取上一点S与 f 的对应点连线得到线束S中一个对合 f0. 注：二次点列上的对合由与之透视的线束的对合诱导. 定理 对于二次点列, 下列结论成立： (1) 上的对合可由已知其相异的两对对应点惟一确定； (2) 上的一个非恒同的射影变换 f 为对合 f 有一对对应元素相互对应； (3) 上对合的几何条件：(P1P'1, P2P3)= (P'1P1, P'2P'3)； (4) 上对合 f 的射影轴 p0称为 f 的对合轴. 问题： 上对合 f 的轴能与相切吗 ？ 答案：不可能. 因为不存在抛物型对合.

§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 注：设已知上对合f 的两对对应点A,A'；B,B'. 作出对合轴 p0. § 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 注：设已知上对合f 的两对对应点A,A'；B,B'. 作出对合轴 p0. 分别为点A,A'；B,B'处切线的交点. 共线于对合轴p0. 问题：对合对应点的连线有何规律？ 答案：AA' ,BB',…以及不变点X, Y处的切线必共点.

§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 推论 对于二次点列上的对合 f § 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 推论 对于二次点列上的对合 f (1) f 的对合轴可由其相异的两对对应点惟一确定; (2) f 可由其对合轴惟一确定; (3) 在 f 的任意一对相异的对应点处的切线交于对合轴 p0. 定理 二次点列上任意对合的特征不变量为–1. 即二次点列上对合的任一对相异的对应点被两个不变点调和分离. 利用配极变换又可得： 定理 二次点列上对合 f 的任一对对应点的连线过一定点；以不在上的任一点为束心的线束中每一直线与的交点是上同一对合的对应点. 上述定点称为f 的对合中心, 对合中心是对合轴的极点. 推论 二次点列Γ上的任一对合可由已知其对合中心惟一确定.

§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例1. (P.135, Ex. 2) § 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例1. (P.135, Ex. 2) 证明. 由上题, (AB, XY)= –1. 所以 (PQ, AB)=R(XY, AB)=(XY, AB)= –1. 于是：(PQ, AB)=…= (CT, AB)= –1  对合. 引申1. 当R沿运动, 由RX×AB, RY×AB可得到直线AB上以A, B为不变点的对合的任意多对对应点. 引申2. 综合1, 2题得到简单的作图题： 设过不在已知非退化二阶曲线上一点T所作的两切线的切点为X, Y, l为过T不与相切的直线, l交于A, B. 求作l上以A, B为不变点的对合的任一对对应点(异于图中已知点). 引申3. 设直线 l与非退化二阶曲线交于相异二点A, B. 求作l上以A, B为不变点的对合的任意两对对应点. (多种解法, 03级考题)

§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例2. (P.135, Ex. 4) § 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例2. (P.135, Ex. 4) 证明. 二阶曲线上对合的几何条件与点列上对合的形式完全相同, 照抄P.77, §2.5, 例2.14. 例3. (P.135, Ex. 5) 证明. 如图, 过P0另作的弦P1Q1, 设AP1, AQ1分别交'于P1', Q1'. 由定理4.24, 在上(P, P1, …)(Q, Q1, …)为对合(以P0为对合中心). 于是, 在A为束心的线束中, A(P, P1, …)A(Q, Q1, …)为对合. 从而, 在'上, 对应(P', P1', …)(Q', Q1', …)为对合. 由上述对合可知, 其对应点的连线P'Q', P1'Q1'必定共点于对合中心.

§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 § 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例4(P.135, Ex. 7) 如图, 设A,B为不在非退化二阶曲线上的两个定点, PP', P'P''分别为通过A,B的两条动弦. 求证： (P) ↔ (P')与(P') ↔ (P'')都是上的对合. 问(P) ↔ (P'')是否为上的对合？ 证明 以定点A为对合中心, (P) ↔ (P')为对合. 以定点B为对合中心, (P') ↔ (P'')为对合. (P) ↔ (P'')不一定成为对合. 除非PP''能够经过定点.

§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 § 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例5(P.135, Ex. 8) 如图, 设PP'为过不在非退化二阶曲线上一定点的动弦, 又A,B为上的两个定点, 且Q=AP×BP', R=BP×AP'. 求证：Q,R在另一条二阶曲线上. 证明 由PP'过定点得(P) ↔ (P')为对合. 于是A(P,P'…) ↔B(P',P…)为射影线束. 而Q, R,…为此二射影线束的对应直线的交点, 所以在另外一条二阶曲线上. 注：由此想到： 上两定点与其上同一个动点连线, 得到两个射影线束. 上两定点分别与其上射影变换的对应点连线, 得到两个射影线束.

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