第五章 最优投资组合理论

投资过程的两个重要任务： 证券分析和市场分析：评估所有可能的投资工具的风险和期望回报率特性

在对证券市场进行分析的基础上，投资者确定最优的证券组合：从可行的投资组合中确定最优的风险-回报机会，然后决定最优的证券组合——最优证券组合理论 选择的目标：使得均值-标准差平面上无差异曲线的效用尽可能的大 选择的对象：均值-标准差平面上的可行集

证券组合理论的三个基本原理： 投资者厌恶风险，投资在风险证券需要风险酬金 不同投资者对待证券组合风险-期望回报率的态度不同，以效用函数来刻画 正确衡量一个证券的方式是看它对整个证券组合波动的贡献。

证券组合选择问题 通过分析资本市场，一个中心的事实是，风险资产的回报平均来说高于无风险资产的回报，而且回报越高，风险越大。

One interesting consequence of having these two conflicting objectives is that the investor should diversify by purchasing not just one security but several.

一期投资模型：投资者在期初投资，在期末获得回报。 一期模型是对现实的一种近似，如对零息债券、欧式期权的投资。虽然许多问题不是一期模型，但作为一种简化，对一期模型的分析是分析多期模型的基础。

1. 一些基本概念 回报率

由于期末的收益是不确定的，所以回报率为随机变量。 价格与回报率之间是一一决定的关系，给定价格，就可算出回报率，反过来，给出了回报率，就可决定价格。 在以下的章节里，通常以回报率为研究对象，并假设，字母（或者字母上加一波浪线）表示随机变量，字母上加一横线表示期望值。

由于违约、通货膨胀、利率风险、再投资风险等不确定因素，证券市场并不存在绝对无风险的证券。 到期日和投资周期相同的国库券视为无风险。 能够进行投资的绝大多数证券是有风险的。

风险 利用回报率的方差或者标准差来度量 期望回报率 利用回报率的期望值来刻画收益率

资产组合的预期回报率 =组合的预期回报率 =组合中投资于证券i的初始投资比例 =证券i的预期回报率 N=组合中的证券种数

例子：表4-1：计算证券组合的期望回报率 A 100 40元 4,000元 4,000/17,000=0.2325 （1）证券和证券组合的值 证券 在证券组合 每股的初始 在证券组合初始 名称 中的股数 市场价格 总投资 市场价值中的份额 A 100 40元 4,000元 4,000/17,000=0.2325 B 200 35元 7,000元 7,000/17,200=0.4070 C 100 62元 6,200元 6,200/17,200=0.3605 证券组合的初始市场价值=17,200元 总的份额=1.0000

在表4-1（1）中，假设投资者投资的期间为一期，投资的初始财富为17200元，投资者选择A、B、C三种股票进行投资。投资者估计它们的期望回报率分别为16.2%，24.6%，22.8%。这等价于，投资者估计三种股票的期末价格分别为46.48元[因为(46.48-40)/40=16.2%]，43.61元[因为43.61-35/35=24.6%]，76.14元[因为76.14-62/62=22.8%]。证券组合期望回报率有几种计算方式，每种方式得到相同的结果。

（2）利用期末价格计算证券组合的期望回报率 证券 在证券组合 每股的期末 名称 中的股数 预期价值 总的期末预期价值 A 100 46.48元 46.48元  100=4,648元 B 200 43.61元 43.61元  200=8,722元 C 100 76.14元 76.14元  100=7,614元 证券组合的期末预期价值=20,984元 证券组合的期望回报率=(20,984元-17,200元)/17,200元=22.00%

在表4-1（2）中，先计算证券组合的期末期望价值，再利用计算回报率的公式计算回报率，即从证券组合的期末期望价值中减去投资的初始财富，然后用去除这个差。尽管这个例子里只有三种证券，但这种方法可以推广到多种证券。

证券组合的期望回报率=22.00% （3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率 证券 在证券组合初 证券的 在证券组合的期望 名称 始价值中份额 期望收益率 回报率所起的作用 A 0.2325 16.2% 0.2325  16.2%=3.77% B 0.4070 24.6% 0.4070  24.6%=10.01% C 0.3605 22.85 0.3605  22.8%=8.22% 证券组合的期望回报率=22.00%

在表4-1（3）中，把证券组合期望回报率表示成各个股票期望回报率的加权和，这里的权数是各种股票在初始证券组合中的相对价值(各种证券初始投资额占投资总额投资额的相对比重)。

既可以用证券组合中各种证券的数量来表示证券组合，也可以用证券组合中各种证券所占证券组合初始价值的份额来表示证券组合。 在上表中，既可用（100，200，100）来表示该证券组合，也可用（0.2325，0.4070，0.3605）来表示。

1.2 证券组合回报率的方差和标准差 方差 标准差

例子：对于前面的A，B，C三种证券 这里 表示证券 和 的收益间的协方差。协方差是测度两个随机变量相互关系的一种方法，同时有： 这里 表示证券 和 的收益间的协方差。协方差是测度两个随机变量相互关系的一种方法，同时有： 其中 为证券i和证券j的回报率之间的相关系数。

假设A，B，C三种证券的方差-协方差矩阵为 则证券组合 的方差为

证券形成组合的回报率标准差不大于单个证券回报率标准差的加权平均。 分散化(Diversification) 只要 ，则两个证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。 直观解释 只要证券相互之间地相关系数小于1，则证券形成的证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。

两个证券组合回报率之间的协方差 证券组合1： 证券组合2： 证券组合1、2之间的协方差为

2.假设 所有风险厌恶者的无差异曲线如图1所示，在均值-标准差平面上，为严格增的凸函数，并且越在西北方向的无差异曲线，其效用越高。

图1：风险回避者的无差异曲线

3. 不具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择 假设在无摩擦市场上存在着 N 种可交易风险证券，所有资产回报率的期望和方差均有限且期望互不相等。这 N 种可交易风险证券的回报率以向量 表示， 表示期望值向量。 而这N 种可交易风险证券回报率的协方差矩阵以 表示

证券组合的期望收益率和方差 给定证券组合 期望回报率 方差 当证券的种类越来越多时，证券组合回报率的方差的大小越来越依赖于证券之间的协方差而不是证券的方差。

3.1 可行集 可行集：没有必要对无穷投资组合中的每一投资组合进行考虑，只需对可行集进行分析。 可行集是指由N 种可交易风险证券所形成的所有组合。 但在有效集定理中,投资者只需考虑可行集的一个子集即可,因为有效集是同时满足以下两个条件的组合： （1）对每一风险水平，提供最大预期回报率； （2）对每一预期回报率，提供最小的风险。 在均值-标准差平面上来刻画可行集。 S H E G

例子：两种证券形成的可行集 假设证券1的期望回报率 ，标准差为 ；证券2的的期望回报率 ，标准差为 。设由证券1、2形成的证券组合 分别有

证券组合的期望回报率

假设证券1、2收益率的相关系数为 ，则证券组合回报率的标准差为 每个证券组合回报率的标准差的上、下界 证券组合D： 上界在 =1时达到，下界在 =-1时达到

证券组合收益率的标准差的上下界

证券组合收益率的标准差的上下界 下界 上界 下界

分散化导致风险缩小。 实际的可行集——一维双曲线例子； =0，-0.1 从而可以得出：一般的有效集是下凹的。 =-1 =1 =-0.1 =0

可行集的方程 假设 =0 ，由1、2两种证券形成的可行集在均值-标准差平面上的表示。 证券组合 的期望回报率 标准差为 因为 所以 假设 =0 ，由1、2两种证券形成的可行集在均值-标准差平面上的表示。 证券组合 的期望回报率 标准差为 因为 所以 通过找出 与 之间的关系

可行集的方程 根据前面相关数据，于是得到： 因此，为一双曲线：

最小方差证券组合MVP(minimum-variance portfolio)

三种以上证券形成的可行集 可行集的两个重要性质 （1）只要N 不小于3，可行集对应 于均值-标方差平面上的区域为二维的。 （2）可行集的左边向左凸。 可行集

三种证券形成可行集的例子 三点形成地区域

3.2 有效集定理 有效集定理 投资者从满足如下条件的证券组合可行集中选择他的最优证券组合： （1）对给定的回报，风险水平最小 （2）对给定的风险水平，回报最大； 满足上面两个条件的证券组合集称为有效集。

下面分两步把有效集定理应用到可行集上，得到投资者最优的可投资集。

3.3 把有效集定理第一条应用到可行集 给定期望回报率，找方差最小的证券组合

证券组合前沿

前沿证券组合的定义：如果一个证券组合在所有具有相同期望回报率的证券组合中具有最小方差。 定义：所有前沿证券组合构成的集合称为证券组合前沿。

证券组合前沿的性质 性质1：整个证券组合前沿可以由任何两个前沿证券组合生成。 性质2：前沿证券组合的任何凸组合仍然在证券组合前沿上。

单个证券与证券组合在均值-标准差平面上的位置

在证券组合前沿上，给定风险，找期望回报率最高的证券组合。 3.4 把有效集定理的第二条应用到证券组合前沿 在证券组合前沿上，给定风险，找期望回报率最高的证券组合。

定义：比最小方差证券组合回报高的前沿证券组合称为有效证券组合，既不是最小方差证券组合又不是有效证券组合的前沿证券组合称为非有效证券组合。 有效集和非有效集 最小方差证券组合 定义：比最小方差证券组合回报高的前沿证券组合称为有效证券组合，既不是最小方差证券组合又不是有效证券组合的前沿证券组合称为非有效证券组合。

问题：先利用第二条，再利用第一条，得到的有效集是否一样？

3.5 只有两种证券时的特例 假设市场上只存在两种证券A和B。 A具有较高的期望回报率和较高的标准差。相关系数

3.5 只有两种证券时的特例 可行集、证券组合前沿和有效集 期望回报率 A MVP B 标准差

不同相关系数时的证券组合前沿

相关系数越小，曲线弯曲越厉害。 极限状况 每对证券只有一个相关系数。 当只有两种证券时，可行集与证券组合前沿一致 问题：如果证券 A 的期望回报率高于证券B 的期望回报率，而标准差小于 B 的标准差，这时的可行集、证券组合前沿和有效集是什么？

3.6 风险厌恶者的最优证券组合 不存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略

不同风险厌恶程度的投资者的最优投资策略

4. 具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择 4. 具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择 　对大多数投资者而言，货币市场基金是最容易获得的无风险资产。 买卖债券只不过是手段，而实质是存在无风险借贷的市场。

假设在无摩擦市场上存在 N 种可交易风险证券和一种无风险证券。以 表示无风险利率。

步骤 首先利用例子分三步讨论： 只允许购买无风险债券 只允许卖出无风险债券 可以自由交易 其次，推广到一般情形

4.1 只允许购买无风险债券 例子：前面的A，B，C三种证券 期望回报率向量为 把无风险债券当作第4种证券，无风险利率为

方差-协方差矩阵为

首先考虑证券A和证券4形成的可行集、证券组合前沿、有效集（注意对权的限制） 5种证券组合

　　证券组合的期望回报率和标准差 期望回报率 标准差 把上式　　　带入下式中，可知两者呈线性关系。

由证券A和证券4构成的5种证券组合的期望回报率和标准差

由证券A和证券4构成的5种证券组合在均值-标准差平面上的图示

考虑一个证券组合5与证券4形成的可行集、证券组合前沿、有效集。 证券组合5由证券A、C构成 证券组合5的期望回报率、标准差为

所以，证券组合5与证券4的投资组合的预期收益率和标准差分别等于： 　　下图由两只风险证券构成的投资组合的有效集为曲线部分，其中５点是组合（0.8,0.2）组合构成的有效点。所以，由无风险资产和风险组合的连接直线代表了它们两个各种投资组合。

证券组合5与证券4形成的可行集、证券组合前沿、有效集

证券组合5从A变到C

证券A、C、4形成的可行集、证券组合前沿、有效集

证券A、B、C、4形成的可行集、证券组合前沿、有效集

投资者最优证券组合选择 部分投资在无风险债券上

全部投资在风险证券上

4.2 只允许出售无风险债券

首先考虑证券A和证券4形成的可行集、证券组合前沿、有效集（注意权的限制） 4种证券组合

由证券A和证券4构成的4种证券组合的期望回报率和标准差

由证券A和证券4构成的9种证券组合在均值-标准差平面上的图示

其次，考虑一个证券组合5与证券4形成的可行集、证券组合前沿、有效集。 证券组合5由证券A、C构成 证券组合5的期望回报率、标准差为

证券组合5与证券4形成的可行集、证券组合前沿、有效集

证券组合5从A变到C

证券A、C、4形成的可行集、证券组合前沿、有效集

证券A、B、C、4形成的可行集、证券组合前沿、有效集

投资者最优证券组合选择 卖出无风险债券

全部投资在风险证券上

4.3 无限制的借贷

4.5 风险厌恶者的最优投资策略 风险厌恶者的无差异曲线

存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略：分离性质

分离性质：无论投资者的风险厌恶如何，他们选择相同的风险证券组合 最优证券组合选择过程可以分成两步： 决定最优风险证券组合 依据风险厌恶的程度在无风险证券和风险证券之间配置资本。

This result makes professional management more efficient and hence less costly. One management firm can serve any number of clients with relatively small incremental administrative costs.

5. Optimal portfolio choice 决定仅由风险证券构成的证券组合前沿 决定由无风险证券和风险证券构成的证券组合前沿 确定最优投资组合

10. 市场模型与风险的分散化 市场模型 这里 =在给定的时间区间，证券 i 的回报率 =在同一时间区间，市场指标 I 的回报率 =截矩项 =斜率项 =随机误差项，

Beta 值 攻击型股票：　　的证券将市场指数更易变 防御型股票：　　的证券将比市场指数弱的易变性。　

风险的分散化 市场风险 唯一风险 分散化导致市场风险的平均化 分散化能够显著地缩减唯一风险。 总风险 市场风险

例题:下面列出的是三种证券的标准差、及相关系数估计： （1）如果一个组合由20%的证券A，80%的证券C组成，则组合的标准差是多少？ （2）如果一个组合由40%的证券A，20%的证券B，及40%的证券C组成，则组合的标准差是多少？ （3）如果你被请求使用证券A和B设计一个投资组合，投资于每种证券的一个什么样的百分比能够产生一个零标准差？

解；（1）因为该组合由20%的证券A和80%的证券C组成，则有 ， 根据 所以该组合的标准差 （2）同理可得。 （3）提示利用 可得