新課程綱要研習 統計與機率篇 高雄市國教輔導團數學領域 郭逸民修正版2006/06/16

新綱統計能力指標 9-d-01 能將原始資料整理成次數分配表，並製作統計圖形，來顯示資料蘊 含的意義。

教師教學須知 統計重點為概念性陳述，不注重計算。 統計概念為離散性資料模擬連續性資料，所以計算結果不唯一。 統計利用直方圖、折線圖與盒狀圖說明資料分佈情形，所以教師必須先認知圖形變化的解讀。 教師教授統計時，可以藉助資訊軟體如EXCEL來驗證圖與數據資料，但教學時可以用圖形來說明相關數據資料即可。 學生學習重點在認知圖形代表意義、繪製圖形與表示資料集中的三個數據，至於四分位數、百分位數到全距、四分位距等數據不唯一者只需講解方法，建議不列入考題（除非保證答案不會出現爭議）。

新綱統計－資料集中趨勢三數據 平均數：代表性易被接受，永遠存在唯一一個，所有數值都使用到， 不像眾數或中位數忽略極端之數字。 中位數：不受極端值影響，恆為資料中間分界，存在且易瞭解。 眾數：易瞭解不受極端值影響，可能好幾個或沒有眾數，甚至不隨資料 變動而改。

新綱統計－資料離散程度兩數據 全距(最大－最小) 四分位距（離度） (第三個四分位數Q3－第一個四分位數Q1) 離值群(P90&P10)非國中教材

新綱統計－概念性陳述 主要增加四分位數、百分位數與盒狀圖 已知原資料－ 可用下述公式求p百分位數： (1) p % × 總次數＝ a (2) 若a 非整數，取其整數部分再加1，以k代表之， 則由小到大之第k個資料為「p百分位數」。 (3) 若a為整數，令k=a，則由小到大之第k個 資料與第(k+1)個資料之平均值為「p 百 分位數」。 (4)Q1=25%，P=25求第一個四分位數 Q2=50%，P=50求第二個四分位數（中位數） Q2=75%，P=75求第三個四分位數

【例1】 由甲書店各類書籍之銷售量數據了解讀者之喜好， 做為行銷之依據。 a. 所有到甲書店買書的讀者所買之書籍是「群體」 ，書籍的種類是「變數」。 b. 書 籍 種 類 1. 文 藝 小 說 2. 各國文學 3. 推 理 科幻 4. 自然文學 5. 武 俠 6. 翻 譯 7. 繪 本 學 8. 影 視 小說 9. 古 典 10. 民 間 11. 歷 史 12. 旅 行 13. 奇 幻 銷 售 數 量 (本) 158 56 211 75 301 142 351 311 125 104 93 187 205

【例2】 由全班數學成績數據了解學生之學習狀況。 a.全班同學是「群體」，數學成績是「變數」。 b. 數學成績表 座號 1 2 3 4 5 6 7 8 成績 65 35 75 45 85 9 10 11 12 13 14 15 16 55 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

名詞解釋 一.次數： 群體中變數等於某一值之計數。 【例1續】讀者所買之書籍(群體)中，書籍種類(變數)為 推理科幻類者有 211 本，則 211 即為購買推 理科幻類書籍之「次數」。 【例2續】全班同學(群體)中，數學成績(變數)考 65 分 的有 5 人，則 5 即為同學數學考65分之「次 數」。

二、相對次數：群體中變數等於某一值之次數除以群體之總個數。 【例1續】該月銷售總數為 2319，則 211/2319 即為 購買推理科幻類書籍之「相對次數」。 【例2續】全班共有 30 人，故 5/30 即為班上數學考 65 分之「相對次數」。

變數類型之影響 一、變數為類別資料（如：書籍種類）時，其(相對)次數分配圖被稱為「長條圖」，又因為類別資料無一定之順序，故所做之圖不唯一。 【例1續】 書籍種類銷售數量之次數分配圖 當各資料具獨立性，製作成長條圖。

二、變數為(有序)數值資料時，其(相對)次數分配圖被稱為「直方圖」。 【例2續】 數學成績之次數及相對次數表 分數 5 15 25 35 45 55 65 75 85 次數 1 0 4 5 3 9 相對次數 1/30 0/30 0/30 4/30 5/30 3/30 9/30 當各資料具可以有序分類或彼此具比較性時，製作成直方圖。

【例2續】整數直方圖：成績(相對)次數分配圖 原始資料次數分配圖易與長條圖混淆，改以下圖方式較佳，但與長方形的面積無關。 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 分數 相對次數 注意：相對次數分配圖符號性表達方式與面積無關。

教學項目壹(9-d-01) 製作直方圖及其折線圖以觀察有序數值資料之三項(中心、型態、變異) 群體特徵： (1)中心位置(center) 0.3500 0.3000 0.2500 0.2000 機率 0.1500 0.1000 0.0500 0.0000 1 2 3 4 5 6 單峰 雙峰

(2)型態(對稱或偏斜及離群值) 對稱 左偏 右偏 0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 1 2 3 4 5 6 機率 對稱 0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 1 2 3 4 5 6 機率 0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 1 2 3 4 5 6 機率 左偏 右偏

(3)變異狀況(variability) 相對集中 相對分散 0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 1 2 3 4 5 6 7 8 機率 相對集中 相對分散

三年一班數學成績之整數直方圖及 Dot Plot 【例3】 三年一班數學成績表 座號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 成績 64 35 78 36 43 44 82 83 48 52 55 58 65 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 68 69 70 74 80 45 47 33 84 85 89 三年一班數學成績之整數直方圖及 Dot Plot 整數直方圖顯現原始資料實際情形，但不易觀察資料群體特徵。

三年一班各組成績次數表及相對次數表 【例3續】 分組(1)：始點為0；組距為20 三年一班各組成績次數分配圖 三年一班各組成績相對次數分配圖 三年一班各組成績次數分配圖 三年一班各組成績相對次數分配圖 相對次數 成績 1.利用分組呈現資料群體特徵，是一種近似方法。 2.本例題以20分為組距，且每組組距為包含上下限的封閉區間。

三年一班各組成績次數分配圖 三年一班各組成績相對次數分配圖 【例3續】 分組(2) ：始點為5；組距為17 三年一班不同分組法的各組成績次數表相對次數表 三年一班各組成績次數分配圖 三年一班各組成績相對次數分配圖 2 4 6 8 10 12 5 21 38 55 72 100 成績 次數 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 相對次數 0.15 0.1 0.05 89 5 21 38 55 72 89 100 成績

三年一班各組成績次數分配圖 三年一班各組成績相對次數分配圖 【例3續】 分組(3)：始點為0；組距為10 三年一班不同分組法的各組成績次數表相對次數表 分組分數 0-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 次數 1 4 5 3 9 相對次數 1/30 0/30 4/30 5/30 3/30 9/30 三年一班各組成績次數分配圖 三年一班各組成績相對次數分配圖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 成績 次數 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 成績 相對次數

【例3續】 三種三年一班成績相對次數分配圖 未分組 分組(1) 分組(2) 分組(3) 成績 0.00 0.05 0.10 0.15 【例3續】 三種三年一班成績相對次數分配圖 未分組 分組(1) 相對次數 成績 分組(2) 分組(3) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 成績 相對次數 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 5 21 38 55 72 100 成績 相對次數 89

經分組資料較易判讀出資料趨勢與群體特徵，不同組距效果有別 。 【例３續】　 三年一班各組成績次數分配圖及折線圖 (分組1) (分組2) 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 5 21 38 55 72 100 成績 相對次數 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 20 40 60 80 成績 相對次數 100 89 (分組3) (未分組) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 成績 相對次數 經分組資料較易判讀出資料趨勢與群體特徵，不同組距效果有別 。

教學項目貳(9-d-02；9-d-03) 將資料排序以了解個體在群體中相對地位之情形。 【例３續】 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成績 33 35 35 36 43 44 45 47 48 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 52 55 58 64 64 65 68 69 70 74 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 78 80 80 80 82 83 84 84 85 89 資料排序目的：1.求百分位數2.製作累計相對次數折線圖（由圖找出百分位數）。

【說明】原始樣本資料之百分位數有明確之定義 [定義1 Galton；1885 ] 百分率(Percentage) P 之「樣本」 百分位數(Percentile) t 符合： 1.至少有 P% 之觀察值(樣本)小於 或等於t 2.至少有 (100-P)% 之觀察值(樣本) 大於或等於t 參考資料：Kendall's Advanced Theory of Statistics，P.50

建議使用的計算百分位數公式 【例3續】 三年一班成績之百分位數計算 (1) 90% × 30＝27 第27個＝84 第28個＝84 (1) 90% × 30＝27 第27個＝84 第28個＝84 90百分位數=(84+84)/2＝84 (2) 75% × 30=22.5 第23個＝80 75百分位數=80 (3) 50% × 30=15 第15個＝64 第16個＝65 50百分位數=(64+65)/2＝64.5 (4) 25% × 30＝7.5 第8個＝45 25百分位數=45 (5) 10% ×30＝3 第3個＝35 第4個＝35 10百分位數=(35+35)/2＝35

圖解使用的求百分位數方式 【例3續】 三年一班成績累計百分率圖 90% 75% 25% 10% 35 45 64 65 84

【例4】原始資料為21，23，23，26，28，33之累積相對次數分配圖 （資料個數少，沒有或不需分組時，直接以原始資料來做統計相關判讀） 次數表 資料 21 23 26 28 33 次數 1 2 1 1 1 相對次數 1/6 2/6 1/6 1/6 1/6 累加相對次數 1/6 3/6 4/6 5/6 6/6 累積相對次數分配圖 1/6 3/6 4/6 5/6 1 21 23 28 33 GSP 26

【例4續】 75百分位數 = 28 5/6 > 0.83 ≧ 0.75 2/6 > 0.33 ≧0.25 1/6 3/6 4/6 5/6 1 21 23 28 33 75% 50% 26 75百分位數 = 28 5/6 > 0.83 ≧ 0.75 2/6 > 0.33 ≧0.25 50百分位數 = 23 3/6 = 0.5 ≧ 0.5 5/6 > 0.83 ≧0.5 50百分位數 = 24.5 3/6 = 0.5 ≧ 0.5 3/6 = 0.5 ≧0.5 50百分位數 = 26 4/6 > 0.66 ≧ 0.5 3/6 = 0.5 ≧0.5

教學項目參(9-d-04 ~ 9-d-08) 用二個量測數據去了解整體 方法一： 用特徵值 如：中心、離度、離群值 方法二： 用簡易圖形綜合上述特徵值 如： 「盒狀圖」

【方法一說明】 對一個(相對)次數分配而言，最重要的特徵值有三項， (1) 代表值：中心 (2) 分散程度：離度 　　對一個(相對)次數分配而言，最重要的特徵值有三項， (1) 代表值：中心 (2) 分散程度：離度 (3) 異常狀況：離群值(非國中教材) 若以百分位數表示法視之，則可以 (1)中位數(50百分位數)表示「中心」。 (2)全距(即：最大值減最小值)及四分位距(即：75百分位數 減25百分位數)表示「離度」。 (3)10百分位及90百分位表示「離群值」。(非國中教材) 若僅看中心與離度，則百分位數可進一步簡化為四分位數。

四分位數的求法： 25百分位數、 50百分位數及75百分位數又分別被稱為第１四 分位數(Q1)，第2四分位數(M) 及第3四分位數(Q3)，但二者 並不完全相同。 (a) 慣用求Q1、 M、 Q3 之方法： (a.1) 若總數 N 為奇數，則取排序後之第 個為中位數(M) (a.2) 若總數 N 為偶數，則取排序後之第 及第 個數 之平均值為中位數(M) (a.3) 不包含中位數，小於中位數之資料的中位數為第1四分 位數(Q1) (a.4) 不包含中位數，大於中位數之資料的中位數為第3四分 位數(Q3)

Q1以中位數(50%)資料前半再求其中位數，因估算兩次與直接25%求法不同。 【例５】 N=5 數據 21 23 28 30 31 　　　　　　 　　　　求值 Q1=22 M=28 Q3=30.5 　　　　　　　　　　　 （1/5 = 0.2 ＜ 0.25）　　　　　　 　N=6 數據 19 21 23 28 30 31 　　　　 求值　　　　 Q1=21 M=25.5 Q3=30 N=7 　數據 19 21 23 28 30 31 32 　　　　 求值 Q1=21 　M=28 Q3=31 N=8　　數據　18 19 21 23 28 30 31 32 Q1=20 M=25.5 　 Q3=30.5

(b)用樣本百分位求25、50、75百分位數( 法) 【例５續】 前述方式圖形化，方便判讀原始資料個數與求四分位數法造成的差異。

(c)二者比較 EXCEL驗證 N 求法 Q1 M Q3 5(4k+1) 四分 22 28 30.5 百分 23 30 6(4k+2) 21 25.5 7(4k+3) 31 8(4k+0) 20 EXCEL驗證

(c)二者比較(續) (N=5) 21、23、28、30、31 Q1 (22) 1/5 = 0.2 < 0.25 4/5 = 0.8 > 0.75 25百分位數(23) 2/5 = 0.4 > 0.25 Q3 (30.5) 4/5 = 0.8 > 0.75 1/5 = 0.2 < 0.25 75百分位數(30) 2/5 = 0.4 > 0.25

建議使用的計算四分位數公式 【例3續】 四分位數之計算 (a.1) N = 30為偶數，N/2 = 15 【例3續】 四分位數之計算 (a.1) N = 30為偶數，N/2 = 15 第 15 個數 = 64，第 16 個數 = 65 M = (64+65)/2 = 64.5 (a.2) 不包含M，小於M之資料有 15 個，為奇數 15/2 = 7.5 ， Q1 =第 8個數 = 45 (a.3) 不包含M，大於M之資料有 15個，為奇數 15+(15+1)/2 = 23 Q3 =第 23 個數 = 80

【例3續】 四分位數之計算(若去掉考 5 分者) (a.1) N = 29為奇數，(29+1)/2 = 15 M = 第 15 個數 = 65 (a.2) 不包含M，小於M之資料有 14 個，為偶數 第 7 個數 = 45 ，第 8 個數 = 47 Q1 =(45+47)/2 = 46 (a.3) 不包含M，大於M之資料有 14 個，為偶數 第(15+7)個數 = 80 ，第(15+8)個數 = 80 Q3 = (80+80)/2 = 80

當資料無極端值時，四分位距較能表現出原資料離散情形，全距反而亦造成錯誤判讀。 全距與四分位距之比較 【例3續】 中位數　：　64.5　　 　 全距 　：　89－5＝84 四分位距 ：　80－45＝35 　　　　若去掉考5分者(剩29人) 中位數　：　65 　　 　 全距 　：　89－33＝56 四分位距 ：　80－46＝34 最小數 Q1 M Q3 最大值 5 45 64.5 80 89 當資料無極端值時，四分位距較能表現出原資料離散情形，全距反而亦造成錯誤判讀。 最小數 Q1 M Q3 最大值 33 ４６ ６５ ８０ ８９

【方法二說明】 五數綜合之「盒狀圖」(Box Plot) 【例3續】 盒狀圖： 五數： 最小數 第1四分位數 中位數 第3四分位數 最大數 符號： min Q1 M Q3 max 數值： 5 45 64.5 80 89

【例3續】另一種「盒狀圖」(Box Plot) (非國中教材) 五數 ： 10百分位 Q1 M Q3 90百分位 數值 ： 35 45 64.5 80 84 盒狀圖：

(1) 中位數是排名中間之值，故不受異常大(或小)值影響， 如：買房子的人可視地區房價之中位數為一典型房屋 售價參考值。 平均數 中位數 眔數 61.8(63.8) 64.5(65) 80(80) 【例3續】 〔註〕括號中為去掉考 5 分者 三個數不同，該用那個代表中心呢？ (1) 中位數是排名中間之值，故不受異常大(或小)值影響， 如：買房子的人可視地區房價之中位數為一典型房屋 　　　　　　　 售價參考值。 (2) 平均值與總和有關，故極受異常大(或小)值影響， 如：房屋銷售員是依銷售總價抽佣金，故應以房價之 平均值計算銷售一屋之典型收入估計值。 (3) 眔數表現的是佔最大比例的數，當眔數之相對次數超 過1/2時，就極具代表性。 如：蓋房子的人要選擇為大多數人接受之房屋造價， 故應以地區房價之眔數值做為典型參考依據。

新綱統計Q&A 問1：九年一貫數學學習領域「機率與統計」國中階段的教學目標為何？ 問2：統計的意義為何？ 問3：如何表現「群體」之資訊？ 問4：九年級學統計的層次為何？ 問5：中山國中三年一班有30人，數學考試的成績只有少數相同，畫出的次數分配圖中大部分次數都是1，根本看不出訊息，要怎麼辦呢？ 問6：如何分組才對？ 問7：何謂折線圖？為何需要折線圖？ 問8：如何知道個體在群體中之相對位置？ 問9：何謂百分位數(Percentile)與百分率(Percentage)？ 問10：何謂累積相對次數分配？ 問11︰如何求百分位數﹖ 問12：何謂百分等級(Percentile Rank)？(非國中教材) 問13：如何求百分等級？ 問14：不是平均數才是中心之量度嗎？

問1：九年一貫數學學習領域「機率與統計」國 中階段的教學目標為何？ 問1：九年一貫數學學習領域「機率與統計」國 中階段的教學目標為何？ 答：1、理解統計的意義， 2、理解機率的意義， 3、認識各種簡易統計方法。 ﹝註﹞國小階段之教育目標則為： 能報讀簡單統計圖形(長條圖、折線圖、 圓形圖)並理解其概念。

問2：統計的意義為何？ 答：經由數據(某一變數之量度值)探索某一 「群體」之資訊。 注意：我們需要的是整個「群體」展 現之 圖像，而數據(Data)則為 個體特徵之量度值。 說明：國中教學中之群體是針對「原 始資料(樣本)」，不涉及「母 體」。

問3：如何表現「群體」之資訊？ 答：群體資訊的重點在相互間之比較， 或群體展現之型態，可用「變數」 的次數分配圖，或相對次數分配圖 表現之。

問4：九年級學統計的層次為何？ 答：類別資料的各種表示法在六年級以前 已討論過，九年級的統計學習是針對 (有序)數值資料，所以現在我們只針 對有關(有序)數值資料的統計方法做 討論。 年級 三 四 五 六 項目 資料 長條圖 折線圖 圓形圖 (有序資料) 工作 整理 分組 報讀 製作

問5：中山國中三年一班有30人，數學考試的成績只有少數相同，畫出的次數分配圖中大部分次數都是1，根本看不出訊息，要怎麼辦呢？ 答：我們可以用分組的方式，來顯現直方圖 的近似型態，由於只是「近似」 ，故表 示法不唯一，當使用不同之分組方式時 ，結果就會不同。

問6：如何分組才對？ 答：這是一個很難的問題，通常要靠經驗 及嘗試錯誤才能決定，亦無所謂之正 確答案，故不宜在國中教授。本教材 只針對已分組好的資料做製圖與解讀 之工作。

問7：何謂折線圖？為何需要折線圖？ 答：折線圖是用來還原有序數值資料分佈圖 (直方圖)原有之連續形式(即：smoothing) 的圖形，由前述之分組方式可看出，例如由 21分到40分之次數都被視為是4，相對次數 均被視為是0.13，但實際上21分到40分之次 數應為連續變化，以直線連接直方圖相鄰兩 區間中點之資料值(如：10分與30分的點)， 即成為折線圖。

問8：如何知道個體在群體中之相對位置？ 答：用百分位數(Percentile)與百分率 (Percentage)或百分等級Percentile Rank；PR) 。基本上就是「排名次」。

問9：何謂百分位數(Percentile)與百分率 (Percentage)？ 答：累積相對次數分配以百分率為縱軸之單位 時，分配圖上某一點橫軸之讀值為百分位 數，縱軸之讀值為百分率，表示有百分之 多少(百分率)的資料比該百分位數小或相同 。 注意：「百分等級(Percentile Rank；PR)」 是「百分率」整數化之結果，如何 做將說明於後。

問10：何謂累積相對次數分配？ 答：「累積相對次數分配圖」又被稱為 「經驗分配圖」，作法為由零開始 由左而右橫畫直線，當橫軸遇到樣 本點時，圖形即向上跳躍其相對次 數之高度。

問11︰如何求百分位數﹖ 答︰百分位數之求法可利用「累積百分率圖」 反求之，即：由緃軸之百分率p的位置作 一水平線與圖中之階梯狀線相交，由交集 做鉛直線取得之橫軸之區間，若反求之值 為唯一解，則為其百分位數。前例中75百 分位數為28；若反求之值不唯一，則取中 點，前例中50百分位數可為〔23,26〕中之 任何值，其取法不唯一，我們取中點24.5 為50百分位數。

答﹕我們亦可用下述公式求p百分位數： (1) p % × 總次數＝ a (2) 若a 非整數，取其整數部分再加1，以k 代表之，則由小到大之第k個資料為「p 百分位數」。 (3) 若a為整數，令k=a，則由小到大之第k個 資料與第(k+1)個資料之平均值為「p 百 分位數」。

問12：何謂百分等級(Percentile Rank)？(非國中教材) 答：(1) 百分等級用於樣本數很大時(如：國中基測之考生人數)。 (2) 百分等級是由樣本值(如：某生之考試成績)出發，去求 該生在全體中之排名(由小(低分)到大(高分))，並以百分 率表示排名(如：1000人中排名倒數56之百分率為5.6，即 ：5.6%) 。 (3) 由於等級(名次)需為整數，所以百分等級是將百分率整數 化之結果。 (4) 百分等級形同將全體分成100組，同一組內之差異被忽視 　　　　(如：1000人中排名倒數第50名到第59名的百分等級都是5)。 (5) 百分率變為整數的方法(如：四捨五入、去掉小數或無條件 進位)是依據能夠保證「成績低於或等於該樣本點的百分率 一定小於或等於(百分等級)%」。

問13：如何求百分等級？ 答：(1)要注意兩個問題 a.總數不能被100整除時之處理。 b.同分者被分到不同之等級之處理。 (2)公式之一 若樣本值(某考生得分)為S，則S相對之百分等級PR算法為 參考資料：International Encyclopedia of Statistics；P.779 [註]由於同分者造成不能完全排序之問題(Partial ordering) ，故PR之算法不唯一，但因為PR原就是一種概算值，所以 問題不大。

問14：不是平均數才是中心之量度嗎？ 答：各種特徵值量度之方式本來就不唯一， 如前述表示「離度」之量度有全距、四 分位距及高中才會學到的標準差；而一 般表示「中心」的量度，則有：平均值 、中位數與眔數，其中平均值是指總和 的平均，而眔數則為出現次數最高之值 。　　　　　　　

EXCEL程式驗證統計相關資料 ~資訊融入教學方式 函數程式部分 圖表部分 COUNTIF()求次數 RANK()求名次 QUARTILE()求四分位數 PERCENTILE()求百分位數 AVERAGE()求平均數 MEDIAN()求中位數 MODE()求眾數 資料分析：求次數分配表與直方圖 直方圖 折線圖 盒狀圖(SPSS) 資訊軟體為輔助教學，僅提供教師教學應用而已。

統計之實例演練篇 已分組資料--- 未分組資料--- 21，23，23，26，28，33 座號 成績 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 成績 64 35 78 36 43 44 82 83 48 52 55 58 65 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 68 69 70 74 80 45 47 33 84 85 89 未分組資料--- 21，23，23，26，28，33

分組資料實例演練(Excel運用) ※原資料---組距20之演練 三年一班數學成績表 座號 成績 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 成績 64 35 78 36 43 44 82 83 48 52 55 58 65 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 68 69 70 74 80 45 47 33 84 85 89

COUNTIF(range範圍，criteria條件準則) Excel COUNTIF(range範圍，criteria條件準則) （範圍記得按F4變為絕對範圍） 相對次數=該次數占總次數的百分比 累積相對次數=將相對次數累加起來 次數分配表（COUNTIF函數） 分組分數 0-20 21-40 41-60 61-80 81-100 總計 次數 1 4 8 11 6 30 相對次數 0.03 0.13 0.27 0.37 0.20 1.00 累積相對次數 0.17 0.43 0.80

直方圖求次數分配與繪圖 Excel Excel中 功能表/工具(T)/增益集(I)/分析工具箱 功能表/工具(T)/資料分析(D) 輸入：成績範圍, 組界：分組分數上限 勾選累積百分率與圖表---同步完成

RANK(Number(數字，ref參照位址，order順序) RANK()排序求百分等級(PR值) Excel RANK(Number(數字，ref參照位址，order順序) ※參照位址需按F4 變成絕對位址範圍 座號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 成績 64 35 78 36 43 44 82 83 48 52 55 58 65 68 69 70 74 80 45 47 33 84 85 89 百分等級

百分等級：工具/資料分析/等級與百分比 Excel 功能表/工具(T)/資料分析(D) 排完再利用遞增排列還原次序

離散程度 Excel 全距(最大－最小) 四分位距（離度） (第三個四分位數Q3－第一個四分位數Q1) 離散值(P90&P10)非國中教材

四分位數與百分位數 Excel QUARTILE(array,quart0~4)四分位差 PERCENTILE(array,percent)百分位數 array：範圍 percent：百分比0%~100% 以QUARTILE()求四分位數 以PERCENTILE()求百分位數 最小(0%) 5 百分比 第一個Q1(25%) 47 10% 35 第二個Q2(50%) 66.5 25% 第三個Q3(75%) 80 30% 48.4 最大(100%) 89 50% 68 75% 全距＝最大-最小＝ 84 90% 四分位距（離度） 100% Q3-Q1= 33

集中趨勢 平均數：代表性易被接受，永遠存在唯一一個，所有數值都使用到， 不像眾數或中位數忽略極端之數字。 中位數：不受極端值影響，恆為資料中間分界，存在且易瞭解。 眾數：易瞭解不受極端值影響，可能好幾個或沒有眾數，甚至不隨資料 變動而改。

已分組資料之集中 Excel 資料已分組集中趨勢 AVERAGE()算術平均 61.17 分組分數 0-20 次數 1 累積次數 相對次數 AVERAGEA()整體含缺席平均 61.17 59.19 分組分數 0-20 21-40 41-60 61-80 81-100 總計 次數 1 4 8 11 6 30 累積次數 5 13 24 相對次數 0.03 0.13 0.27 0.37 0.20 0.51 累積相對次數 0.17 0.43 0.80 1.00 組中點 10 50 70 90 組中點＊次數 120 400 770 540 1840 平均 61.33 中位數M 63.64 眾數M0 89.09

已分組資料之離散 Excel 資料離散程度 以QUARTILE()求四分位數 以PERCENTILE()求百分位數 最小(0%) 5 百分比 47 10% 35 第二個Q2(50%) 66.5 25% 第三個Q3(75%) 80 30% 48.4 最大(100%) 89 50% 68 75% 全距＝最大-最小＝ 84 90% 四分位距（離度） 100% Q3-Q1= 33

未分組資料之集中與離散 集中： 分散： Excel GSP 21，23，23，26，28，33 平均數AVERAGE() 全距 中位數 眾數MODE() 全距 四分位距 集中趨勢 離散程度QUARTILE() 平均 中位數 眾數 四分位數 全距 四分位距 25.7 24.5 23 極小 21 12 4.5 AVERAGE() MEDIAN() MODE() 1 Q1 2 Q2 3 Q3 27.5 4 極大 33

已分組的直方圖與盒狀圖

未分組的直方圖與盒狀圖

新綱機率能力指標 9-d-09    能以具體情境介紹機率的概念。 9-d-10    能進行簡單的實驗以了解抽樣的不確定性、隨機性質等初步 概念。

教學項目肆 (9-d-09) 機率之數學定義與基本計算 機率為事件發生可能性之量度值，若假設 可能發生狀況之機率 均相等(equally likely) ，事件之機率可定義為「頻度比」。　 〔定義〕 (1) 稱所有可能產生之結果所成之集合為「樣本空間」。 (2) 稱欲量測發生率之結果所成之集合為「事件 」 。 (3) 假設樣本空間中每一元素發生之機率均相等(equally likely) ，則定義事件 之機率為

問：三年一班有30位同學(群體)，其中20位 答： 20/30 ＝ 2/3 【說明1】「群體」之個數比 是男生，10位是女生，若由班上「隨機」 抽出一位同學，抽中男生之機率為多少？ 答： 20/30 ＝ 2/3 (1) 抽一位同學之可能結果有30種，這30種結 果構成「樣本空間」。 (2) 「隨機」抽即：「機率相等」假設。 (3) 我們欲量測發生率的結果為男生，故20個 男生所成之集合為「事件 」。

答：3/6 = 1/2 問：擲一公平之骰子（系統），偶數點出現 【說明2】 「系統」之發生率 (1) 擲骰子可能發生之情況有6種，即： 之機率為何？ 答：3/6 = 1/2 (1) 擲骰子可能發生之情況有6種，即： 1﹑2﹑3﹑4﹑5﹑6點， 故樣本空間 =﹛1,2,3,4,5,6﹜。 (2) 「公平」之骰子即「機率相等」假設。 (3) 我們欲量測發生率的是偶數點，故事 件 =﹛2,4,6﹜

問：較複雜之狀況，如何算機率？ 答：用一種工具，叫「樹狀圖」， 及機率之乘法律和加法律。

哪些結果？及各種結果發生之機率為何？ 擲第一枚 可能之結果 擲第二枚 可能之結果 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 【例６】　擲兩枚一面為白色一面為黑色之公平圓幣，問會出現 　哪些結果？及各種結果發生之機率為何？ 最終 可能之結果 機率 結果之另一 種表述法 1/4 二次白色 一次白色 一次黑色 1/2 二次黑色 樣本空間 相等 事件 擲第一枚 可能之結果 擲第二枚 可能之結果 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

教學項目伍 (9-d-10)(選擇教學) 用實驗說明抽樣的不確定性及隨機性概念 【例7】中山國中共有學生3600位，其中1200位為女生， 2400位為男生，男生佔總人數之比例為 = 2/3。 若由中山國中「隨機」抽出360位同學做為樣本， 算出這360位同學中有270位為男生，佔樣本總數 之比例為 = 3/4。我們可以透過 = 3/4，去猜 測(或了解) 值為何嗎？

母體與樣本 【例7續】 (不變的) 母體：中山國中之全部學生(3600人) 。 (變動的) 樣本：由中山國中全體學生(母體)中「隨機」 抽出360位學生。 【例8】 (不變的) 母體：中山國中三年一班之學生 (30人；20位學男生，10位女生)。 (變動的) 樣本：由中山國中三年一班學生中「隨機」抽 出 5 位同學。

Ι.抽樣之不確定性 不同的人抽的結果不同， 同一個人抽兩次結果也不同， 實際上只能抽一組樣本，其結果為何？(不確定) 樣本 1 2 3 4 5 1.張同學抽之結果 男 男 男 女 男 4/5 2.李同學抽之結果 男 男 女 女 男 3/5 3.王同學抽之結果 女 男 男 男 女 4.張同學再抽之結果 男 女 女 女 男 2/5 不同的人抽的結果不同， 同一個人抽兩次結果也不同， 實際上只能抽一組樣本，其結果為何？(不確定)

Π.抽樣之隨機性 如果能控制到母體中每個元素被抽 到之機會均相同(隨機抽樣,equally likely)，則可算出可能結果之機率 分配。

Π.抽樣之隨機性(續) 重複抽樣32次之結果( ) 3/5 4/5 1 2/5 1/5

Π.抽樣之隨機性(續) 問：上列分配圖有何訊息？ 樣本統計量相對次數分配圖(理論) 樣本統計量相對次數分配圖(實驗) 0.00 0.10 樣本統計量相對次數分配圖(理論) 樣本統計量相對次數分配圖(實驗) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0/5 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 機率 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0/5 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 機率 問：上列分配圖有何訊息？

問：機率和統計有何關係？ 答：日後大家會學到統計的另一項重要工 作是「用資料做推論」，即：經由抽 取少數樣本，來推論整個母體之性質 ；為什麼要推論，因為抽樣之不確定 問題。為什麼能推論，因為使用了「 隨機」抽樣之方法，所以可以靠機率 算出統計量的分配，即：靠抽樣之 隨機性。

問：學完這些，我們會至少具有哪些能力呢？ 答：你可以由下列四個能力指標評估自己的能力！ 1. 能報讀百分位數，並認識個體在群體中相對地位 　　　　　　的情形。(D-4-01) 2.能利用統計量，例如：平均數、中位數及眔數等 　　　　　　，來認識資料集中的位置。(D-4-02) 3.能利用統計量，例如：全距、四分位距等，來認 　　　　　　識資料分散的情形。(D-4-03) 4.能在具體情境中認識機率的概念。(D-4-04) 最後，祝您學習愉快 THE END