- 2-1 画以下各杆的轴力图，并求指定截面上的内力。 解：求截面内力用截面法，轴载直杆截面上内力为轴力。 F FN1 FN2 2F 1 2 + - FN ： (轴力图) 2-1 画以下各杆的轴力图，并求指定截面上的内力。 解：求截面内力用截面法，轴载直杆截面上内力为轴力。 在指定截面处将杆件截开，取截开后的杆件各部分之一为隔离体(比如取右侧部分)，画出隔离体的受力图，轴力(内力)按其正方向画，由隔离体的平衡条件，有： FN1 = F (受拉) FN2 = F-2F = -F (受压) 轴力图画在与受力图对应的位置，注意标注出特征位置内力大小。可用正负标记表示基线某一侧的内力值的正负。对水平放置的杆件，习惯上将正值轴力画在基线以上。 即: 指定截面上轴力的大小等于该截面任一侧所有轴向力(包括支反力)的代数和。 如图取隔离体，有： FN1 = 2F FN2 = 2F-2F = 0 画内力图时，可用与基线垂直的具有标长的直线段表示该线段所在截面内力值的大小。切记不可画成阴影线(剖面线)。

- 2-1 画以下各杆的轴力图，并求指定截面上的内力。 1 2F FN1 2 F FN2 + FN ： 3F (c) 如图取隔离体，有： FN2 = 2F-F = F 1 F FN1 q=F/a 2F 2 FN2 (d) 如图取隔离体，有： FN1 = F FN2 = F-qa -2F = F-F -2F = -2F 可由受力与轴力图的特点，检查内力图： 2F - F FN ： + 轴力图在集中载荷作用处有突变，突变值与集中力的大小相等； 在分布载荷作用处轴力图斜率的值等于该处分布载荷的分布集度大小，则分布载荷的起点和终点处为轴力图折点。

2-2 图示杆件由两根木杆粘接而成。欲使其在受拉时，粘接面上的正应力为其切应力的2倍，试问粘接面的位置应如何确定？ 解：本题实质上是要考察斜截面上的应力。由斜截面应力公式，有： 由题义，要求： 则有： 即粘接面法向的角度为：

2-4图示实心圆钢杆AB和AC在A点作用有铅垂向下的力F=35kN。已知杆AB和AC的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，钢的弹性模量E=210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。 求各杆变形(伸长)： A F FNAB FNAC x y ( 拉 ) 有 整理得

2-5 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为 f，且 f =k y2，式中，k为常数。试求地桩的缩短量δ。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。 解：地桩所受外载为轴载，且在F和摩擦力共同作用下平衡。 则： 轴力方程为： 求地桩的缩短量δ： 即： y FN ( y )

2-7 简单托架及其受力如图所示，水平杆BC 的长度 l 保持不变，斜杆AB 的长度可随夹角 θ 的变化而改变。两等直杆由同一材料制造，且材料的许用拉应力与许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：（1）两杆的夹角 θ 值；（2）两杆横截面面积的比值 解：求各杆内力及应力 由题义，各杆应力达到许用应力，则： 要求结构的总重量为最小即结构总体积最小，其体积为： (拉) (压) F FNAB FNBC B 令： 得： 则： 即：两杆的夹角θ 值为 两杆横截面面积的比值为

2-9 图示桁架结构，各杆都由两个相同的等边角钢组成。已知材料的许用应力[σ]=170MPa，试选择杆AC和CD的角钢型号。 解：桁架结构各杆均为二力杆(拉压杆) 求杆AC和CD的轴力： 求支反力 FAx FAy FB E FNAC FNAE A FNCE FNCD C 由A点的平衡条件： ( 拉 ) 由C点的平衡条件： 由强度条件： 各杆都由两个相同的等边角钢组成 选两根№8(80×6)等边角钢 选两根№7(70×5)等边角钢 A=687.5mm2 A=939.7 mm2

2-10 已知混凝土的密度ρ=2.25×103kg/m3，许用压应力[σ]=2MPa。试按强度条件确定图示混凝土柱所需的横截面面积 A1 和 A2。若混凝土的弹性模量E=20GPa，试求柱顶 A 的位移。 解：混凝土柱各段轴力分别为： 混凝土柱各段危险截面分别为柱中截面和柱底截面，其轴力分别为： ( 受压 ) 由强度条件： 取A1=0.576m2 x 取A1=0.664m2 柱底固定，则柱顶位移值等于柱的伸缩量，可用叠加原理计算

解：剪切强度计算：外力过截面组中心，每个铆钉受力相同 2-12 图示接头，由两块钢板用四个直径相同的钢铆钉连接而成。已知载荷F=80kN，板宽b=80mm，板厚δ=10mm，铆钉直径 d =16mm，许用切应力[ τ ]=100MPa，许用挤压应力[σbs]=300MPa,许用拉应力[σ]=170MPa 。试校核接头的强度。(提示：设每个铆钉受力相同) 解：剪切强度计算：外力过截面组中心，每个铆钉受力相同 1 2 1 2 挤压强度计算：铆钉与钢板材料相同，挤压面为圆柱面 拉伸强度计算：可能的危险截面为1-1 和2-2 截面 综上，接头满足强度要求

2-13 图示圆截面杆件，承受轴向拉力 F 作用。设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为D，高度为h，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力[σ]=120MPa ，许用切应力[τ]=90MPa ，许用挤压应力[σ bs]=240MPa 。 解：可能发生的破坏为墩头的剪切和挤压破坏、杆件的拉伸破坏，合理的尺寸应使剪切面上的切应力、最大挤压应力和杆件横截面上拉应力之间的比值等于相应的许用应力之间的比值，即： 其中： 则有： 即：

(1) 试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形 ΔlAC， ΔlBD及 A，B 两点的竖直位移ΔA， ΔB 。 2-14 刚性梁用两根钢杆和悬挂着，受铅垂力F=100kN作用。已知钢杆AC 和BD 的直径分别为d1 =25mm 和 d2=18mm ，钢的许用应力[σ]=170MPa，弹性模量E=210GPa。 (1) 试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形 ΔlAC， ΔlBD及 A，B 两点的竖直位移ΔA， ΔB 。 (2) 若荷载F=100kN作用于A点处，试求F点的竖直位移ΔF 。(结果表明， ΔF = ΔA ，事实上这是线性弹性体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。) 解：(1)以AB杆为对象： B` A` 各杆满足强度要求 由变形图，可知：

(1) 试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形 ΔlAC， ΔlBD及 A，B 两点的竖直位移ΔA， ΔB 。 2-14 刚性梁用两根钢杆和悬挂着，受铅垂力F=100kN作用。已知钢杆AC 和BD 的直径分别为d1 =25mm 和 d2=18mm ，钢的许用应力[σ]=170MPa，弹性模量E=210GPa。 (1) 试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形 ΔlAC， ΔlBD及 A，B 两点的竖直位移ΔA， ΔB 。 (2) 若荷载F=100kN作用于A点处，试求F点的竖直位移ΔF 。(结果表明， ΔF = ΔA ，事实上这是线性弹性体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。) 解：(2)以AB杆为对象： F F 由变形图，可知： A`

2-17 图示钢杆,横截面面积A=2500mm2,弹性模量E=210GPa，线膨胀系数 αl=12 2-17 图示钢杆,横截面面积A=2500mm2,弹性模量E=210GPa，线膨胀系数 αl=12.5×10-6 ºC-1 ，轴向载荷F=200kN，温度升高40ºC。试在下列两种情况下确定杆端的支反力和杆的最大应力： | σmax |（1）间隙δ=2.1mm；（2）间隙δ=1.2mm 。 解：当杆在轴载 F 和温升同时作用下的伸长小于间隙 δ 时属于静定问题，否则杆将与B端接触成为超静定问题。 FC FB 由题义，有： (1) 间隙δ=2.1mm： 则有： (左段各截面) (2) 间隙δ=1.2mm： 杆将与B端接触成为超静定问题 则有： 有： 得: (右段各截面)

2-18 图示刚性梁受均布载荷作用，梁在A 端铰支，在B点C和点由两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆BD和CE的横截面面积A2=200mm2和A1=400mm2 ；钢的许用应力[σ]=160MPa ，考虑到压杆的稳定性，许用压应力[σc]=100MPa 。试校核钢杆的强度。 解：一次超静定问题，以AB为对象，有： 即： 则有： ( 压 ) FN2 30kN/m ( 拉 ) A B C FN1 CE杆的强度 BD杆的强度 各杆满足强度要求。

2-19一种制作预应力钢筋混凝土的方式如图所示。首先用千斤顶以拉力F 拉伸钢筋(图a)，然后浇注混凝土(图b)。待混凝土凝固后，卸除拉力F(图c)，这时，混凝土受压，钢筋受拉，形成预应力钢筋混凝土。设拉力使钢筋横截面上产生的初应力σ0=820MPa ，钢筋与混凝土的弹性模量之比为 8:1、横截面面积之比为 1:30，试求钢筋与混凝土横截面上的预应力 解：由题义钢筋原始长度比混凝土短δ ,且有： 混凝土凝固卸除拉力后，钢筋和混凝土所受轴力大小相等，钢筋受拉，混凝土受压，且： 即： 钢筋横截面上预应力(拉)为： 混凝土横截面上预应力(压)为：

- - - 3-1 试作图示各轴的扭矩图(单位: kNm)。 2 1 + + T : T : 2 1 0.5 moa + T : + T :

3-2圆轴的直径d=100mm，承受扭矩T=100kNm，试求距圆心 d/8、d/4及d/2处的切应力，并绘出横截面上切应力的分布图。 解：由扭转切应力公式： d T 横截面上切应力的分布如图

3-11 图示阶梯形圆轴，装有三个皮带轮，轴径d1=40mm、d2=70mm。已知由轮3输入的功率P3=30kW，由轮1和轮2输出的功率分别为P1=13kW 和P2=17kW，轴的转速n=200r/min，材料的许用切应力[τ]=60MPa，切变模量G=80GPa，许用扭转角[θ ]=2º/m，试校核该轴的强度与刚度。 解：计算扭力矩： - 620.7 1432.4 T: (Nm) 作扭矩图，危险截面在 AC 段或 DB 段： 该轴满足强度与刚度要求

3-13 已知钻探机钻杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7 3-13 已知钻探机钻杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度l=40m，材料的G=80GPa，[ τ ]=40MPa。假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）A、B两截面的相对扭转角。 解：求扭力矩 389.9 - （1）设阻力矩分布集度为 m0，由钻杆的平衡条件： x （2）作扭矩图，危险截面为 A 截面： T：(Nm) （3）如图取坐标系，有：

3-16 如图所示，将空心圆杆（管）A套在实心圆杆B的一端。两杆在同一横截面处有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一β角，现在杆B上施加扭力偶使之扭转，将杆A和B的两孔对齐，装上销钉后卸去所施加的扭力偶。试问两杆横截面上的扭矩为多大？已知两杆的极惯性矩分别为 IpA和 IpB，且材料相同，切变模量为G。 解：一次超静定： 由平衡条件： 由变形协调条件：

4-1 求图示各梁指定截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩。这些截面分别是梁上A、B或C点的紧邻截面。 解：求支反力： 由截面法： FAy

- - 4-2 列出图示各梁的剪力和弯矩方程，并绘其剪力图和弯矩图，并确定| FS |max，| M |max 及其所在截面的位置。 解：如图建立坐标系： A x B FBy FAy qa qa/4 - + FS : qa2/2 - M : 最大剪力在 B 支座右侧截面，最大弯矩在 B 截面。

- - 4-3 利用微分关系，快速画出图示各梁的剪力图和弯矩图。 + 5qa/4 3qa/4 qa/4 Fs : 9qa2/ 32 M : + qa Fs : qa2 qa2/2 M : - + 10 5 Fs : ( kN ) 20 40 1.25 M : ( kNm ) 15

- - 4-4 画图示带有中间绞各梁的剪力图和弯矩图。（提示：在中间绞处拆开求其作用力）。 解：求支反力： 作内力图 FB FD qa/2 + - qa qa/2 Fs : + - qa2 / 2 M :

4-7 若已知图示各简支梁的剪力图，且梁上均无集中力偶作用，试画各梁的弯矩图和载荷图。 解： + M : qa2/2 qa2/2 qa2 q

4-8 梁的正方形截面若处于图示二种不同位置时，试求它们的弯矩之比。设两者的最大弯曲正应力相等。 解：求各截面的抗弯截面模量： 由弯曲正应力公式： 由题义： 即 得

- 4-10 图示圆截面梁，外伸部分为空心管，试作其弯矩图，并求其最大弯曲正应力。 解：作弯矩图 A B 由弯矩图，可能的危险截面为5kN 集中力作用处截面和B支座右侧截面： FAy FBy 0.9 1.343 0.029 M : ( kNm ) - +

4-12 图示为铸铁水平梁的横截面，若其许用拉伸应力[ σt ]=20MPa，许用压缩应力[σc]=80MPa ，试求该截面可承受的最大正弯矩之值。 解：如图取坐标系，求形心主轴(中性轴)位置 y y2 z0 求截面对中性轴的惯性矩 y1=yc z 正弯矩作用下截面上边缘有最大压应力，上边缘有最大拉应力：

4-15求图示梁中隔离体（图中阴影部分）各个面上的正应力和切应力的合力。 解：左侧面： 右侧面： 上侧面(中性层)： 下侧面及前后侧面(自由表面)：

4-18图示悬臂梁由三块50mm×100mm的木板胶合而成，在其自由端作用有横力F。若已知木材的[ σ ] =10MPa、 [ τ ] = 1MPa ，胶合缝上的[ τ1 ] = 0.35MPa ，梁长l =1m，试求许可载荷[F]。 解：危险截面为固定端处： 由正应力强度条件： 由切应力强度条件： 由胶合缝上切应力强度条件：

4-20 当横力F直接作用在图示简支梁AB的中点时，梁内最大正应力超标30%，为了安全，在其中部配置图示辅助简支梁CD，试求其最小长度a。 解：横力直接作用梁跨中和配置辅助梁后主梁内最大弯矩分别为: 由题义： 即：

5-2 试用积分求图示各梁的挠度和转角方程，并计算各梁截面A的挠度与转角。已知各梁的EI为常量。 x y 解：取坐标系求弯矩方程(分段函数) 分别作两次积分： 边界条件：

5-2 试用积分求图示各梁的挠度和转角方程，并计算各梁截面A的挠度与转角。已知各梁的EI为常量。 x y 由边界条件： 则有：

5-3 用叠加法求图示各梁指定截面处的挠度与转角，(a)求 yC 、 θ C ；(b)求yC 、 θ A 、 θ B 。 解：(a)将AB段视为刚化，相当于固定端 ql2 (1) 将 BC 段视为刚化，AB 梁相当于受均布载荷和一端集中力偶同时作用的简支梁，分别计算 q (2) ql2 (3)

5-3 用叠加法求图示各梁指定截面处的挠度与转角，(a)求 yC 、 θ C ；(b)求yC 、 θ A 、 θ B 。

5-4 滚轮在图示两种梁上滚动。若要求滚轮在梁上恰好走一条水平路径，试问梁的轴线预先应弯成怎样的曲线？已知梁的EI为常数。 解：由题义，梁轴线上任一点的纵坐标等于滚轮移到此处时该点的挠度大小，由受集中力作用的悬臂梁在集中力作用点的挠度公式，得：

- - 5-8 试求图示梁的约束反力，并画出剪力图和弯矩图。 解：一次超静定梁，解除B 端约束，代之以约束反力，由约束处的位移条件，有 M0 即： FBy 则： Fs ： 9M0 / 8l - 进而可画出内力图 M ： M0 / 8 7M0 / 16 9M0 / 16 - +

5-11 跨长为l、刚度EI为常数的简支梁，挠曲线方程为 ，试确定梁上外载。 解：由梁变形的微分方程 由梁平衡微分方程 弯矩方程为一段连续函数，则梁内无集中力和集中力偶，且有： 则梁受力如图： M0 M0 / 2

5-14 一悬臂梁AB在自由端受横力F作用，因其刚度不足，用一短梁加固如图所示，试计算梁AB的最大挠度的减少量。设二梁的弯曲刚度均为EI。（提示：如将二梁分开，则二梁在C点的挠度相等。） FC 即： AB 梁最大挠度在自由端，加固后最大挠度的减少量就是 FC 单独作用于悬臂梁AB时自由端的挠度。 加固后AB 梁最大挠度的大小为

A-2 试求图示平面图形对x轴和y轴的惯性矩。 解：组合图形，可视为矩形挖去两个半圆