主讲: 李椋京 丁雪艳 福建信息职业技术学院建筑工程系 土木工程力学 主讲: 李椋京 丁雪艳 福建信息职业技术学院建筑工程系

第十二章 静定结构的内力分析 12.1 多跨静定梁、斜梁 12.2 静定平面刚架 12.3 静定平面桁架 12.4 三铰拱 第十二章 静定结构的内力分析 12.1 多跨静定梁、斜梁 12.2 静定平面刚架 12.3 静定平面桁架 12.4 三铰拱 12.5 组合结构

12.1 多跨静定梁、斜梁 12.1.1 单跨静定梁 单跨静定梁应用很广，是组成各种结构的基本构件之一，其受力分析是各种结构受力分析的基础。这里做简略的回顾和必要的补充。 常见的单跨静定梁有： 简支梁 外伸梁 悬臂梁 ↷ ↙ ↙ ↙ → → → ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 反力只有三个，由静力学平衡方程求出。

1、用截面法求指定截面的内力 在梁的横截面上,一般有三个内力分量:轴力FN、剪力FQ、弯矩M。计算内力的基本方法是截面法。 形心力矩的代数和。（左顺右逆为正）

2、简易法绘制内力图的一般步骤： （1）求支反力。 （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点，如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控制截面。 如：集中力和 集中力偶作用点两侧的截面、均布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力值，按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图的各控制点。 （4）连线：据各梁段的内力图形状，分别用直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。

      + 叠加法作弯矩图 从梁上任取一段AB 其受力如（a）图所示， 则它相当 （b）图所示的简支梁。 ＝ MA MB （a）     A B ＝ L MA MB 因此，梁段AB的弯矩图可以按简支梁并应用叠加法来绘制。  （b）  A B ＝ MB MA + ＝ MB MA

【例12．1】利用叠加法绘制图12．1(a)所示梁的弯矩图。

12.1.2 斜梁

为了计算方便，通常将沿楼梯轴线方向均布的自重荷载q2按等值原理换算成沿水平方向均布的荷载q0即

【例12.2】试绘制图12 .3所示斜梁的内力图。已知q=10kN／m，L=4m，h=3m。

【解】1)计算支座反力。

2)计算任意一截面K上的内力。取如图12．3(b)所示的AK段为隔离体，由平衡条件可以列出内力方程为

3)绘制内力图。如图12．3(c、d、e)所示。

12.1.3 多跨静定梁的组成及其特点 多跨静定梁是由若干单跨梁用铰及链杆联结而成的结构。 多跨静定梁的特点: (1)几何组成方面: 可分为基本部分和附属部分。

基本部分： 附属部分： 层次图： 不依赖其它部分的存在而能独立地维持其几何不变性的部分。 如：AB、CD部分。 附属部分： （a） 必须依靠基 本部分才能维持其几何不变性的部分。如BC部分。 （b） A B C D 层次图： 为了表示梁各部分之间的支撑关系，把基本 部分画在下层，而把附属部分画在上层， 如（b）图所示，称为层次图。

因此，计算多跨静定梁时应该是先附属后基本，这样可简化计算，取每一部分计算时与单跨静定梁无异。 （2）传力关系方面: 作用在基本部分上的力不传递给附属部分,而 作用在附属部分上的力传递给基本部分，如图示 P2 P1 （a） P2 B C P1 VB VC （b） 因此，计算多跨静定梁时应该是先附属后基本，这样可简化计算，取每一部分计算时与单跨静定梁无异。

【例1 2．3】 图1 2．6(a)为多跨静定梁，试计算其反力和内力，并绘制弯矩图和剪力图。

练习：作图示多跨静定梁的内力图，并求出各支座的反力。 1m 4m

12.2 静定平面刚架 由直杆组成的具有刚结点的结构称为刚架。 12.2.1 刚架的类型 （1）悬臂刚架 （2）简支刚架 （3）三铰刚架

静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。 12.2.2 静定平面刚架的内力和内力图 静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。

↶ 说明： （a）M图画在杆件受拉的一侧。 （b）FQ、FN的正负号规定同梁。FQ、FN图可画在杆的 任意一侧，但必须注明正负号。 （c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。 ↶ MAB

【例1 2．4】 作图1 2．10(a)所示悬臂刚架的内力图。

【例12.5】 作图1 2．11(a)所示刚架的内力图。

【例1 2.7】 试作图1 2．1 3(a)所示三铰刚架的内力图。

本例题由于结构对称而且荷载也对称，故计算一半结构的内力值即可。

右半刚架的M图可以对称地绘出，整个刚架弯矩图如下图(b)所示。

由于对称结构在对称荷载作用下，剪力FQ是反对称的内力，故左半刚架的剪力图绘出后，右半刚架的剪力图即可反对称地绘出。整个刚架的剪力图如下图(c)所示。

由本例可见， 对称结构在对称荷载作用下，支座反力是正对称的。弯矩图和轴力图也是正对称的，而剪力图则是反对称的。 掌握这一普遍规律，对以后绘制内力图将有较大的帮助。

练习 计算图示静定刚架的内力，并作内力图。 分析：图示刚架由3个支座链杆按两个刚片的规则与大地相连，这种形式的刚架为简单刚架。由于其与简支梁的支座类似，又可称简支刚架。

解：（１）求支座反力 由整体平衡：∑MA=0 　FDy×4－40×２ 　　　　－20×4×2＝0　FDy＝60kN (↑) ∑MO=0 　FAy×4－40×2 　　　＋20×4×2＝0　　FAy＝-20kN (↓) ∑Fx=0　 　FAx－20×4＝0　 　FAx＝80kN (←) 由 ∑Ｆy= 0　校核，满足。

（２）计算杆端力 取AB杆B截面以下部分，计算该杆Ｂ端杆端力： 　∑Fx=0　 FQBA+20×4－80=0 　 FQBA=0 ∑Fy=0 FNBA-20=0 FNBA=20 kN ∑MB=0 MBA+20×4×2-80×4=0 　　　　　 MBA=160 kNm (右侧受拉)

取BD杆B截面以右部分，计算该杆B端杆端力： ∑Fx=0　 FNBD=0 ∑Fy=0 FQBD－40+60=0 FQBD=－20kN ∑MB=0 MBD+40×2－60×4=0 　 MBD = 160 kNm (下侧受拉) 由结点B校核　∑Fx=0　∑Fy=0 ∑MB=0　满足。

３）绘制内力图 　由已求得各杆端力，分别按各杆件作内力图。 弯矩图可由已知杆端弯矩，按直杆段的区段叠加法作杆件的弯矩图。 说明：在刚架中，各杆件杆端是作为内力的控制截面的。杆端力，即杆端内力。 　刚架的内力正负号规定同梁。 　为了区分汇交于同一结点的不同杆端的杆端力，用内力符号加两个下标（杆件两端结点编号）表示杆端力。如用MBA表示刚架中AB杆在B端的弯矩。

× × × × × × 内力图错误判断 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q P A B C D E （a） ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q P A B C D ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ （e） × A B C （f） × ×

A B C D m A B C D × m （h） m B A C （g） ×

√ √ × × × × × × （4） （ ） ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓ （2） （3） （1） （ ） （ ） （ ） （5） （6） （ ） × √ √

↓ （7） （ ） （8） m ↓ √ （9） （ ） ↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑ （12） （ ） （10） （ ） ↓ （11）（ ） √

（3）荷载与支座反力都作用在结点上,并在桁架平面内。 12.3 静定平面桁架 12.3.1 桁架的特点及分类 平面桁架由若干根直杆按一定方式用铰连接而成的平面杆系结构。 1.桁架计算简图的基本假定 （1）各结点都是无摩擦的理想铰； （2）各杆轴都是直线，并在 同一平面内且通过铰的中心； （3）荷载与支座反力都作用在结点上,并在桁架平面内。 实际结构与计算简图的差别（主应力、次应力）

2 .桁架的各部分名称 上弦杆 竖杆 腹杆 斜杆 桁高H 下弦杆 节间长度d 跨度 L

3. 桁架的类型 (按几何组成方式分) a. 简单桁架：由一个铰结三角形依次增加二元体而组成的桁架； b. 联合桁架：由简单桁架按基本组成规则而联合组成的桁架； c.复杂桁架。

简单桁架

简单桁架

简单桁架

联合桁架

C A B D E 联合桁架

联合桁架

12.3.2 结点法 F  ⌒ F 1. 求桁架内力的基本方法： 结点法和截面法。 2. 结点法： 所取隔离体只包含一个结点，称为结点法。 12.3.2 结点法 1. 求桁架内力的基本方法： 结点法和截面法。 2. 结点法： 所取隔离体只包含一个结点，称为结点法。 在计算中，经常需要把斜杆的内力F分 解为水平分力X和竖向分力Y。 3. 预备知识： F 则由比例关系可知 Y ⌒  X L Ly  ⌒ 在F、 X、Y三者中，任知其一便可求出其余两个，无需使用三角函数。 Lx F

4 .几种特殊结点及零杆 （1）L形结点 （2）T形结点 （3）X形结点 （4）K形结点 当结点上无荷载时: F1=0, F2=0 轴力为零的杆称为零杆。 （2）T形结点 当结点上无荷载时: F3=0 （3）X形结点 当结点上无荷载时: F1=F2 , F3=F4 （4）K形结点 当结点上无荷载时: F1≠F2 , F3=－F4

F1 F1 F2 F2 F3 F1 F1 F3 F3 F2 F4 F4 F2 图b T形结点 图a L形结点   图c X形结点 图d K形结点

5 .零杆的判断

必须指出，零杆的出现与荷载的布置有关。在一定荷载条件下是零杆，在另一荷载条件下可能就不是零杆。 因此，零杆不一定是多余杆，它可因荷载位置的变化需要而设置，或是为满足结构体系的几何不变性而增加的。

6. 几点结论 （1）结点法适用于简单桁架，从最后装上的结点 开始计算。 （2）每次所取结点的未知力不能多于两个。 （3）计算前先判断零杆。

【例12.9】 用结点法计算图1 2．1 9所示桁架的内力。

1.截面法是用一截面将桁架分成两部分，任取一部分为隔离体（含两个以上的结点），用平衡方程计算所截杆件的内力（一般内力不超过三个）。 12.3.3 截面法 1.截面法是用一截面将桁架分成两部分，任取一部分为隔离体（含两个以上的结点），用平衡方程计算所截杆件的内力（一般内力不超过三个）。 2.截面法一般适用于联合桁架、复杂桁架计算。

【例12．10】 用截面法计算图1 2．2 0(a)所示桁架的DE、DF、CF三杆的内力。

【例12.11】 用截面法计算图1 2．2 1(a)所示桁架CE、CF、DF三杆内力。

3.几点结论 (1) 用截面法求内力时，一般截断的杆件一次不能多于三个(特殊情况例外)。 (2) 对于简单桁架，求全部杆件内力时， 应用结点法；若只求个别杆件内力，用截面法。 (3) 对于联合桁架，先用截面法将联合杆件的内力求出，然后再对各简单桁架进行分析(见图)。

Ⅰ C A B D E Ⅰ

12.3.4 结点法和截面法的联合应用 结点法与截面法各有所长，据具体情况选用。有些情况下，结点法和截面法联合使用，更为方便。举例说明。 例12.12 求桁架中a杆和b杆的内力。 解： （1）求a杆的内力 Ⅰ 取K点为隔离体 Ya 并取 左部为隔离体，有四 个未知力尚不能求解。 作Ⅰ－Ⅰ截面， b Fa 有 Fa=－Fc a 或 Ya=－Yc K c 再由Ⅰ－Ⅰ截面 据∑Y=0 有 为此，可取其它隔离 体，求出其一或其中 两个之间的关系。 Fc Yc Ⅰ 3P 3P 3P－ －P－P+Ya－Yc=0 由比例关系得 Fa=－ （压） 即 +2Ya=0 Ya=－ Fa求得后， 再由∑MC=0 即可求得Fb(略）。

各式桁架比较 平行弦桁架

抛物线形桁架

三角形桁架

不同形式的桁架，其内力分布情况及适用场合亦各不同，设计时应根据具体要求选用。为此，下面就常用的三种桁架加以比较。 1.平行弦桁架： 内力分布不均匀，弦杆内力向跨中递增。构造上各类杆长度相同，结点处各杆交角相同， 便于标准化。因制作施工较为方便，铁路桥常采用。 2. 抛物线形桁架： 内力分布均匀，在材料使用上经济。但构造上复杂。大跨度桥梁(100—150m)及大跨度屋架(18-30m)中常采用。 3. 三角形桁架： 内力分布不均匀，弦杆内力两端大，两端结点夹角甚小，构造复杂。因两斜面符合屋顶要求，在屋架中常采用。

12.4 三铰拱 12.4.1 概述 杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下产生水平反力的结构。 1. 拱的概念： 2 .拱常用的形式 12.4 三铰拱 12.4.1 概述 杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下产生水平反力的结构。 1. 拱的概念： 三铰拱 两铰拱 无铰拱 2 .拱常用的形式 在竖向荷载作用下会产生水平反力（推 力），截面上主要承受压力，应力分布均匀。 3. 拱的特点： 拱顶 拱轴线 4. 拱的各部分名称 拱 趾 拱高ƒ 拱 趾 高跨比 起拱线 跨度L

  →   12.4.2 三铰拱的内力计算 1. 支反力的计算 VA= ← ↑ ↑ VB= 支反力计算同三铰刚架。 P1  P2  C 由 ∑MB=0 及 ∑MA=0 f VA= 得 （a） H A B → H ← ↑ L1 L2 ↑ VB= VA （b） VB L  P1  P2 A C B 由 ∑X=0 可得 HA=HB=H ↑ ↑ 取左半拱为隔离体，由∑MC=0 有 VAL1－P1(L1－a1) －Hf=0 可得 H= （c） 以上三式可写成： 式中 为相应简支梁的有关量值。 （4－1）

↙ ↘ → ↑   → 2. 内力的计算 ← ↑ ↑ y 用截面法求任一截面K(x,y)的内力。  取AK段为隔离体, 截面K的弯矩为 C  P2 P1  K  取AK段为隔离体, 截面K的弯矩为 y MK=[VAx－P1(x－a1)] －Hy H A x x B H → ← 即 MK= －Hy （内侧受拉为正） ↑ ↑ VA MK FNK ↙ VB ↘  K ⌒ 截面K上的剪力为 → H FQK FQK=VAcos－P1 cos  －Hsin =(VA－P1) cos  － Hsin = F0QKcos  － Hsin ↑ A VA K 截面K上的轴力(压为正）为 F0QK为相应简支梁的剪力 FNK=F0NKsin + Hcos

→ ← ↑ ↑ 例：拱轴线方程为 o 代入 x1=1.5m 得 y1=1.75m tg1=1 据此可得 1=450 3 4 2 → ← 1 50.25kN 50.25kN H o H x ↑ ↑ VA VB 代入 x1=1.5m 得 75.5kN 58.5kN y1=1.75m tg1=1 据此可得 1=450 sin 1=0.707 cos 1=0.707 于是 FN1=F0Q1sin 1+Hcos1=(75.5－14×1.5) ×0.707+50.25×0.707=74.0kN

12.4.3 合理拱轴线 拱上所有截面的弯矩都等于零，只有轴力时，这时的拱轴线为合理拱轴线。 M=M0－Hy=0 上式表明，三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支梁弯矩图的竖标成正比。当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程式，除以常数H便得到合理拱轴线方程。

解： 例 12.14 求图示对称三铰拱在均布荷载q作用下的合理拱轴线。 相应简支梁的弯矩 方程为 M0= 所以 得 合理拱轴线为抛物线 y x M0= 所以 x 得 合理拱轴线为抛物线

由链杆（受轴向力）和梁式杆（受弯杆件）混合组成的结构。 12.5 组合结构 由链杆（受轴向力）和梁式杆（受弯杆件）混合组成的结构。 组合结构的计算步骤： （1）求支座反力； （2）计算各链杆的轴力； （3）分析受弯杆件的内力。

例: 分析此组合结构的内力。 解： 1. 由整体平衡条件求出支反力。 2. 求各链杆的内 力：作Ⅰ－Ⅰ截面 拆开C铰和截断DE 例: 分析此组合结构的内力。 解： 1. 由整体平衡条件求出支反力。 HA=0 Ⅰ 13·4 6 -6 1  2. 求各链杆的内 力：作Ⅰ－Ⅰ截面 2 12 +12 RB=3kN VA=5kN Ⅰ 拆开C铰和截断DE 杆，取右部为隔离体。 VC 12 HC 由∑MC=0 有 13·4 -6 FDE +12  6 12 3×8－FDE×2=0 FED=12kN(拉） 再考虑结点D、E的平 衡可求出各链杆的内力。

VC=3kN↑ 3. 分析受弯杆件 HC=12kN← 取AC杆为隔离体， 考虑其平衡可求得： 并可作出弯矩图。 C A B A 8kN F 4 M图 （kN·m) 6

结 束