第二讲 函数 插值 —— 多项式插值 —— Lagrange 插值

为什么插值 例：已测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 数学工具：插值 大多数实际问题都可用函数来表示某种内在规律的数量关系 但函数表达式无法给出，只有通过实验或观测得到的数据表 如何根据这些数据推测或估计其它点的函数值？ 例：已测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC） 7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500、600、800米…）处的水温。 数学工具：插值

什么是插值 已知函数 y = f(x) 在 [a, b] 上有定义，且已经测得在点 a  x0 < x1 < ··· < xn  b 处的函数值为 y0 = f(x0)，… ，yn = f(xn) 如果存在一个简单易算的函数 p(x)，使得 p(xi) = f(xi)，i = 0, 1, ... , n 则称 p(x) 为 f(x) 的插值函数 [a, b] 为插值区间，xi 为插值节点，p(xi) = f(xi) 为插值条件 插值节点无需递增排列，但必须确保互不相同！ 求插值函数 p(x) 的方法就称为插值法

常用插值方法 常用插值法 P(x) 多项式插值：p(x) 为多项式，多项式最常用的插值函数 分段多项式插值：p(x) 为分段多项式 ……

内容提要 多项式插值 Lagrange 插值 差商与 Newton 插值 Hermite 插值 分段低次插值 三次样条插值

多项式插值 多项式插值 已知函数 y = f(x) 在 [a, b] 上 n + 1 个点 a  x0 < x1 < · · · < xn  b 处的函数值为 y0 = f(x0)，… ，yn = f(xn) 求次数 不超过 n 的多项式 p(x) = c0+c1x + · · · + cnxn， 使得 p(xi) = yi，i = 0, 1, ... , n 注意：p(x) 的次数有可能小于 n

多项式插值 定理（多项式插值的存在唯一性） 满足上述条件的多项式 P(x) 存在且唯一。 证明：见板书（利用Vandermonde 行列式）

线性插值 例：线性插值（板书） p(x0) = y0 p(x1) = y1 点斜式 重新整理 令 则 为什么能写成这个形式？ 进一步观察可知：

抛物线插值 例：抛物线插值（板书） p(x0) = y0 ， p(x1) = y1 ， p(x2) = y2 想法：如果能构造三个二次多项式 l0(x), l1(x), l2(x), 满足 问题：如何构造 l0(x), l1(x), l2(x)？ 待定系数法（板书）

内容提要 多项式插值 Lagrange 插值 差商与 Newton 插值 Hermite 插值 分段低次插值 三次样条插值 基函数法

基函数插值法 基函数插值法 p(x) = a0z0(x) + a1z1(x) + · · · + anzn(x) 基函数插值法 记 Zn(x) = {次数不超过 n 的多项式的全体} n+1 维 设 z0(x), z1(x), ... , zn(x) 构成 Zn(x) 的一组基，则插值多项式可表示为 p(x) = a0z0(x) + a1z1(x) + · · · + anzn(x) 寻找合适的基函数 确定插值多项式在这组基下的线性表示系数 通过基函数来构造插值多项式的方法就称为 基函数插值法

Lagrange插值 Lagrange 基函数 定义：设 lk(x) 是 n 次多项式，在插值节点 x0 , x1 , … , xn 上满足 则称 lk(x) 为节点 x0 , x1 , … , xn 上的 n 次插值基函数 通过构造法，可求得

Lagrange插值 两点说明 l0(x) , l1(x) , … , ln(x) 构成 Zn(x) 的一组基 l0(x) , l1(x) , … , ln(x) 与插值节点有关，但与 f(x) 无关

Lagrange插值 如何用 Lagrange 基函数求 P(x) ai = yi ，i = 0, 1, ... , n 设 p(x) = a0l0(x) + a1l1(x) + · · · + anln(x) 将 p(xi) = yi ，i = 0, 1, ... , n 代入，可得 ai = yi ，i = 0, 1, ... , n p(x) = y0l0(x) + y1l1(x) + · · · + ynln(x) Ln(x) 就称为 f(x) 的 Lagrange 插值多项式

线性与抛物线插值 两种特殊情形 线性插值多项式（一次插值多项式）： n=1 抛物线插值多项式（二次插值多项式）： n=2 注：n 次插值多项式 Ln(x) 通常是 n 次的，但有时也会低于 n 次。如：二次插值中，如果三点共线，则 Ln(x) 为直线

插值举例 例：已知函数 y = lnx 的函数值如下 解： 线性插值：取 x0=0.5, x1=0.6 得 ex21.m x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx -0.9163 -0.6931 -0.5108 -0.3567 -0.2231 试分别用线性插值和抛物线插值计算 ln 0.54 的近似值（板书） 解： 为了减小截断误差，通常选取插值点 x 邻接的插值节点 线性插值：取 x0=0.5, x1=0.6 得 将 x=0.54 代入可得： ln 0.54  L1(0.54) =-0.6202

 ln 0.54 的精确值为：-0.616186··· 插值举例 抛物线插值：取 x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, 可得 ln 0.54  L2(0.54) =-0.6153 在实际计算中，一般不需要给出插值多项式的具体表达式  ln 0.54 的精确值为：-0.616186··· 可见，抛物线插值的精度比线性插值要高 Lagrange 插值简单方便，只要取定节点就可写出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现

误差估计 插值余项 估计误差 定理：设 f(x)  Cn[a, b] ( n 阶连续可微 )，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 内存在，则对 x[a,b]，存在 x(a, b) 使得 其中 证明：板书 注：余项中的 x 与 x 是相关的

插值余项 罗尔 定理 由插值条件可知： Rn(xi)=0, i=0, 1, …, n Rn(x) 在[a,b]上至少有 n+1 个零点 对任意给定的 x[a,b] (x  xi , i =0, 1, ..., n)，构造辅助函数 则 在 [a, b] 中有 n+2 个互不相同的零点：x, x0 , … , xn 罗尔 定理

f(x)  Cn[a, b]，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 内存在 插值余项 f(x)  Cn[a, b]，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 内存在 由Rolle定理可知 在 (a, b) 内至少有 n+1 个不同的零点； 同理可知 在 (a, b) 内至少有 n 个零点； 以此类推，可知 在 (a, b) 内至少有一个零点，设为 x ，即 ，x (a, b)。 又

插值余项 两个特例 线性插值（两点插值，即 n=1） 抛物线插值（三点插值，即 n=2）

插值余项 几点说明 余项公式只有当 f(x) 的高阶导数存在时才能使用 x 与 x 有关，通常无法确定, 实际使用中通常是估计其上界 若 ，则 计算点 x 上的近似值时，应尽量选取与 x 相近插值节点

Lagrange基函数性质 Lagrange 基函数的两个重要性质 当 f(x) 为一个次数  n 的多项式时，有 故 即 n 次插值多项式对于次数  n 的多项式是精确的 若 f(x) = xk，k  n，则有 特别地，当 k = 0 时有

插值误差举例 例：已知函数 y = lnx 的函数值如下 解： 线性插值 x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx -0.9163 -0.6931 -0.5108 -0.3567 -0.2231 试估计线性插值和抛物线插值计算 ln 0.54 的误差 解： 线性插值 x0=0.5, x1=0.6, (0.5, 0.6)

插值误差举例 抛物线插值： x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, (0.4, 0.6) 抛物线插值通常优于线性插值。 但绝对不是次 数越高就越好， 嘿嘿 …

插值误差举例 例：函数 ，插值区间 [-5, 5]，取等距节点， 例：函数 ，插值区间 [-5, 5]，取等距节点， 试画出插值多项式 L 的图像 ex22.m 例：设 li(x) 是关于点 x0, x1, … , x5 的 Lagrange 插值基函数. 证明: （板书）

插值误差举例 例：设 f(x)  C 2[a,b] （二阶连续可导）, 证明: 其中 （板书）

作业 教材第 48 页：3、4 (2)、5、6 提示： 第 3 题： ① 等距节点插值，假定节点上的函数值是已知的； ② 将度数转化为弧度，要考虑插值误差和所给数据的舍入误差 第 6 题：等距节点插值，假定节点上的函数值是已知的，且没有误差