特殊平行四边形

一、教材： 九年制义务教育课程标准实验教科书（北师大版）《数学》九年级上册，第三章，第二节“特殊平行四边形”。

二、教材分析： 特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形……是常见的几何图形。

结合本节课知识特点，制定教学目标如下： 1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理能力。 2、能够利用综合法证明矩形、菱形、正方形的性质定理及其他相关结论。 3、进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。 4、体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。 5、培养学生实事求是的辩证唯物主义思想及积极探究的思想意识。

三、教学指导： 本节课共分为三课时内容，教学过程中可分为三大步完成，即：理论、方法积累、思路梳理——合作交流，互助探索学习——自主探索，拓展延伸，归纳新知。这充分体现了螺旋上升的原则。

对于第一课时的学习，重点以讲授、引导思路为主。 对于第二课时，在第一课时的基础上， 放手让学生合作探索。 对于第三课时则采取探究式的教学方式， 有了前两课时的培训，大可放开手，让 学生自主探索，自己调整思路，透过现 象看本质，寻其根源，归纳总结知识。

四、学法指导： 本章的内容与《证明（二）》的联系是很密切的，因此在学习方法上也很相近。 首先，我们应培养学生很好地掌握已熟悉的逻辑方法，包括证明的思路和证明过程的准确表达。 其次，对不同证明方法的探索可以提高学生的逻辑思维水平。因此，在证明了一个命题以后，同学们还应该思考是否还有其他的证明方法，如辅助线的添加方法唯一吗？还可以从什么角度解决问题……。

五、评价建议： 1、关注学生探索结论、分析思路和方法的过程。 2、关注学生推理论证的能力和水平。

六、教学过程： 特殊平行四边形（一） 为顺利完成教学目标，本节课在教学中设置以下环节。 1、复习提问——理顺知识，作好辅垫。 2、新课引入——导入新课，激发兴趣。 3、新课讲解——积累知识，培养思维。 4、应用训练——熟练知识，加强理解。 5、拓展延伸——开阔知识面，训练思维。 6、小 结——总结收获，畅谈体会。 7、布置作业——加强练习，加深理解。

第一环节——复习提问 第二环节——新课引入 第三环节——新课讲解 第四环节——应用训练 第五环节——拓展延伸 第六环节——感悟与收获 第七环节——布置作业

特殊平行四边形 （一）

回顾与思考 平行四边形定义： 边 平行四边形性质： 角 两组对边分别平行的四边形 对边平行 对边相等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分

平行四边形判别： 两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形 边： 线： 对角线互相平分

证明命题的一般步骤： 1、审（找条件、结论） 2、作（作图，并标明字母、符号） 3、写（把文字语言转化为几何符 号语言，写已知、求证） 4、证（证明结论）

做一做 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状，如图： α α α 经历上述运动及变化过程，回想一下矩形是怎样定义的？它又具有哪些性质？

矩形定义： 边： 矩形性质： 角： 线： 有一个角是直角的平行四边形是矩形 具有平行四边形所有边的性质 四个角都是直角 对角线相等且互相平分 与平行四边形的性质相对比，有什么不同之处？为什么？

试一试 你能证明矩形的特殊性质吗？ 证明：矩形的对角线相等 A B C D 已知：矩形ABCD中， AC、BD相交于点O 求证：AC=BD

证明:∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABD=∠ADC=90° RT△ABD与RT△DCA中 ∵AB=CD，∠ABD=∠ADC=90° AD=AD ∴ △ABD≌ △DCA（SAS） ∴AC=BD A B C D O

下列是小刚的证明过程 ，这样做对吗？为什么？ A B C D O 证明:矩形ABCD中 ∵AB∥CD ∴∠OAB=∠OCD, ∠OBA=∠ODC △ABO与△DCO中 ∵ ∠OAB=∠OCD,AB=CD,∠OBA=∠ODC ∴ △ABO ≌△DCO, ∴AO=OD,BO=CO ∴AO+OC=BO+OD,即:AC=BD

议一议 A B C E D 如图：矩形的对角线相交于点E，你可以找到那些相等的线段？如果擦去△ADC，则剩余的RT△ABC中，BE是怎样的一条特殊的线段？它具有什么特性？为什么？ A B C E D

想一想 经历上述的探讨过程，你能证明以下结论吗？ 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

A D 已知：Rt△ABC中， BE是斜边AC上的中线， E 求证：BE=AC/2 B C 证明： 1、分别过A、C作BC、AB的平行线AD、DC，交点为D，连接BD 证:ABCD为矩形 BD平分AC，即：BD过E BE=AC/2

A D E B C 证明： 2、过A作BC的平行线与BE的延长线交于点D，连接CD 证： ∆BCE ∆DAE（SAS） BC=AD ≌ BC=AD 四边形ABCD为矩形 BE=AC/2 3、延长BE到D，使BE=DE，连接AD、DC。 证：四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分） 四边形ABCD为矩形 BE=AC/2

想一想 回顾刚才的证明过程，证明结论的关键是什么？其中用了哪种思维方式？运用了那些知识？你有什么体会？

试一试 例：如图：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2.5厘米，求矩形对角线的长。 A B C D

练一练 1、直角三角形斜边上的中线长为4厘米，则他的两条直角边的中点的连线长是 2、已知矩形的一条对角线长为8厘米，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的边长为： 。 40厘米 3、用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积为 。 A、200cm² B、300cm² C、600cm² D、240cm²

练一练 4、已知：在矩形ABCD中E、F分别为BC、AD上的点，且AE=CF， 求证：四边形AECF为平行四边形 A B C D E F

矩形都有哪些判别方式？你能设法证明它们吗？ 想一想 矩形都有哪些判别方式？你能设法证明它们吗？ 定义： 角： 对角线：

作业 请你设计一个方案，看怎样利用刻度尺检查一个四边形零件是否是矩形。

板书设计 特殊平行四边形（一） 例： 矩形定义： 矩形性质： 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 A B C D 有一个角是直角的平行四边形是矩形 矩形定义： 具有平行四边形所有边的性质 证明：过程 解答过程 ： 矩形性质： 四个角都是直角 对角线相等且互相平分

特殊平行四边形（二） 在认真学习第一课时的基础上，本节课的教学可按以下环节逐步展开： 1.知识回顾——回想知识，加强记忆、理解。 2.新课引入——动手实践，发现新知。 3.新课讲解——互助合作，探索性质，判别。 4.训练应用——强化训练，加深应用。 5.拓展延伸——类比菱形，探索正方形。 6.小 结——综合思想，归纳思路。 7.作 业——综合知识，强化训练。 下面就每个环节，逐层分析。

第一环节：知识回顾 第二环节：新课引入 第三环节：新课讲解 第四环节：训练应用 第五环节：拓展延伸 第六环节：感悟与收获 第七环节：布置作业

特殊平行四边形 (二)

判别 知识回顾 性质 矩形 平行四边形 边 角 线 平行相等 邻角互补,对角相等 互相平分 1、 2、 3、 4、 全为直角 互相平分且相等 1、 2、 3、 4、 矩形 全为直角 互相平分且相等 1、 2、 3、

想一想 菱形定义： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 试一试：你能用折纸的方式得到一个菱形吗？折纸的过程中你发觉菱形有何特性？总结一下。

以小组为单位讨论、证明菱形的这些性质定理。 边： 对角线： 四条边都相等，对边平行 互相垂直平分，且每条对角线平分每一组对角 菱形的特点： 以小组为单位讨论、证明菱形的这些性质定理。

试一试 证明：菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角 A B C D 1 2 O 已知： 菱形ABCD中，AC、BD相交与点O， 求证： AC⊥BD，且AC、BD分别平分每一组对角。

即：AC ⊥BD， ∠ 1= ∠ 2 同理可得AC、BD平分每一组对角 A B C D 1 2 O 证明： ∵菱形ABCD中， BO=OD，而∆ABD中，AB=AD，BO=OD ， ∴AO ⊥BD， ∠ 1= ∠ 2（三线合一） 即：AC ⊥BD， ∠ 1= ∠ 2 同理可得AC、BD平分每一组对角 A B C D 1 2 O

想一想 证明：菱形的面积等于其对角线乘积的一半。 以上的证明过程中你用到了哪些知识？进一步体验折纸过程，折叠之后的三角形具有什么特点？你有何体会？ 证明：菱形的面积等于其对角线乘积的一半。

练一练 A B C D 例2： 如图，四边形ABCD是边长为13厘米的菱形，其中对角线BD长10厘米，求： （1）对角线AC的长度 O

以小组为单位，回想、探讨菱形的判别方法，并证明其相关结论 试一试 以小组为单位，回想、探讨菱形的判别方法，并证明其相关结论

练一练 1、下面是菱形具有而矩形不具有的性质为： A、对边平行 B、对角相等 C、对角线互相平分 D、对角线互相垂直 2、菱形的两条对角线的长分别为6厘米和8厘米，则其周长为 ，面积为 。 3、菱形的周长为40厘米，它的一条对角线长为10厘米，则它的另一条对角线长为 。

练一练 4、先阅读下列题目及小明给出的证明。再根据要求回答下列问题： 已知:如图：在平行四边形ABCD中， ∠A的平分线与BC交于点E， ∠B的平分线与AD边交于点F，AE与BF相交于O 求证：四边形ABEF是菱形 A B C D E F O 1 2 3 4

2、如果有错误，指出在第 步到第 步推理错误，应在第 步后添加如下证明过程： 。 A B C D E F O 1 2 3 4 证明（1） ∵四边形ABCD是平行四边形 （2）∴AD∥BC （3） ∴ ∠ABE= ∠BAF=180 ° （4） ∵AE、BF分别是∠BAF、 ∠ABE的平分线 （5） ∴ ∠ 1= ∠ 2= ∠ BAF/2 ∠3= ∠ 4= ∠ ABE/2 （6） ∴ ∠ 1+ ∠ 3=180 ° /2=90 ° （7） ∴ ∠AOB=90 ° （8） ∴AE ⊥BF （9） ∴四边形ABEF是菱形 问：1、上述证明是否正确？ 2、如果有错误，指出在第 步到第 步推理错误，应在第 步后添加如下证明过程： 。

议一议 如果想探讨正方形的性质、判别方式，你会从那些方面入手来解决这个问题？ 小组讨论一下，你们会得到那些性质、判别，你们能迅速的思考出证明方法吗？

作业 总结 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判别方式，比较其异同点，加深理解、认识区别。

板书设计 特殊平行四边形（二） A B C D 平行四边形 矩 形 菱 形 性质 定义 判别 边 对角线 例2： 证明： 证明过程

特殊平行四边形（三） 在认真学习“矩形、菱形、正方形基本知识”的基 础上，第三节的教学可按以下步骤逐步展开： 1、课前复习——梳理知识点，对比特点，加深理 解，作好铺垫。 2、探究交流——自我探索，归纳知识，交流成果 3、拓展延伸——开拓思维，强化探索过程 4、综合应用——联系生活，激发兴趣，强化探索 应用 5、小结——体会探索过程，疏理探索思路 6、视野窗——开阔眼界，综合知识，体会《原 本》价值

特殊平行四边形 (三）

四角相等，四边相等，对角线相等、互相垂直平分 回顾与思考 性质 判别 平行四边形 对边平行相等，对角相等，对角线互相平分 1、 2、 3、 4、 矩形 四角都是直角，对角线相等 1、 2、 3、 菱形 四条边相等，对角线互相垂直 1、 2、 3、 正方形 四角相等，四边相等，对角线相等、互相垂直平分 矩形+菱形

想一想` 在学习第一节平行四边形的时候，曾研究过这样一道题目： 任做一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新的四边形的形状有何特征？怎样证明？ （1）猜想一下，如果依次连接矩形各边中点能得到什么图形？ （2）连接菱形各边中点呢？连接正方形各边中点呢？连接平行四边形各边中点呢？ 画图试一试，设法证明你的猜想。

A B C D A B C D A B C D A B C D

经历上述猜想、探索、证明过程，你有何体会？有什么发现？ 依次连接四边形各边中点所得的四边形形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？对所有的四边形都适应吗？你能用文字语言将你的成果表达出来，让大家一起分享吗？

练一练 如图：梯形ABCD中，AB∥CD，E、F、G、H分别是梯形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，当梯形ABCD满足 条件时， A

思考与探索 A B C D E F G H 2、如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形是一个怎样的四边形？ 若四边形E、F、G、H是一个菱形，则四边形ABCD应满足什么条件？

做一做 如图：ABCDXA表示一条环行高速公路，X表示一座水库，B、C表示两个大市镇。已知ABCD是一个正方形，XAD是一个等边三角形。假使政府要铺设两条输水管XB和XC，从水库 向B、C两个市镇供水，那么这两条水管的夹角（即∠BXC）是多少度？ A B C D X

视野窗

欧几里得及其《原理》 在数学上，我们已经了解了很多有关图形方面的知识和结论，“全等”“相似”“三角形内角和”“勾股定理”等等都是我们所熟悉的。另外，我们还接触到了“公理”“定理”“推论”等一系列术语，同时我们也学会了证明—由已知结论经逻辑推理得到新结论。然而，除了这些，你了解我们教科书上的几何内容的背景吗？ 实际上，我们教科书上的许多几何内容都源于欧几里得的《原本》。 欧几里得是古希腊数学家，他生于雅典，当时，由于实际的需要，人们已经积累了大量丰富的几何再系知识，如一些平面图形和立体图形的面积和体积计算方法、物体高度的测量、π的近似值的计算等等。

另一方面，古希腊是逻辑学的发祥地，随着逻辑学的不断发展，促使人们逐渐重视逻辑的方法重新整理大量零散的几何知识，使他们成为一个逻辑体系。许多数学家参与了这一工作，欧几里得是其中最突出的代表。 他选择了一些命题作为公理，这些命题都是无须证明的。因为我们知道，在证明一个命题之前，总要用到排在它前面的已知其正确性的命题，而所用到的这些命题又需要另外一个命题作保证，这样总有一些命题是不能证明的，即“原始命题”，也就是前面所说的公理。因此，公理就像一个水系中的源头一样，从任何一个支流或者支流的支流出发，逆着水流的方向都可以找到他们的源头。同样，殴几里得还给出一系列定义，这些定义原则上是用已有的概念去定义新的概念，因此必然有一些概念是无法定义的，即“原始概念”。

这样，整个欧几里得几何体系就由两个体系组成：由“原始体系”（即公理）推出一系列定理；由“原始概念”定义的一系列概念。《原本》正是呈现这一几何体系的鸿篇巨制。它汇集了大量前人积累的几何知识，采用了前所未有的独特编写方式，在公理、定理的基础上，由简到繁地证明了一系列定理。殴几里得的这一几何系统称为欧几里得几何，简称欧氏几何。欧几里得建立其几何体系的方法称为公理化方法。 翻开我们的教科书，看看《证明（—）》《证明（=）》《证明（≡）》是不是也就是从定理和定义出发，推出一系列定理及推论的？事实上，自从《原本》问世后，它的内容就曾经或仍然是许多国家中学几何课的 重点学习素材。不仅如此，它所体现的公理化方法对数学及其他学科都产生了深远的影响。

四角相等，四边相等，对角线相等、互相垂直平分 板书设计 特殊平行四边形（三） 性质 判别 平行四边形 对边平行相等，对角相等，对角线互相平分 1、 2、 3、 4、 矩形 四角都是直角，对角线相等 1、 2、 3、 菱形 四条边相等，对角线互相垂直 1、 2、 3、 正方形 四角相等，四边相等，对角线相等、互相垂直平分 矩形+菱形 做一做 A B C D X 解题过程: