第七节 第七章 常系数 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程(代数方程)之根
二阶常系数齐次线性微分方程: ① 和它的导数只差常数因子, ( r 为待定常数 ), 代入①得 所以令①的解为 ② 称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根. 1. 当 时, ②有两个相异实根 则微分 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为
2. 当 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 取 u = x , 则得 因此原方程的通解为 特征方程
3. 当 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为 特征方程
小结: 特征方程: 特 征 根 通 解 实根 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
推广: 特征方程: 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 若特征方程含 k 重复根 则其通解中必含 对应项
例1. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为
例3. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动, 取其平衡位置为原点建 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 初始 求物体的运动规律 解: 由第六节例1 (P323) 知, 位移满足 因此定解问题为
1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) 方程: 特征方程: 特征根: 方程通解: 利用初始条件得: 故所求特解:
解的特征: 简谐振动 A: 振幅, : 初相, 周期: 固有频率 (仅由系统特性确定)
2) 有阻尼自由振动情况 方程: 特征方程: 特征根: 这时需分如下三种情况进行讨论: 小阻尼: n < k 解的特征 三个按钮“解的特征”分别指向自定义放映: “小阻尼”,“大阻尼”,“临界阻尼”,放映完毕自动返回.若不能调用,则需要重新定义这些自定义放映,并重新连接. 大阻尼: n > k 解的特征 临界阻尼: n = k 解的特征
小阻尼自由振动解的特征 : 由初始条件确定任意常数后变形 运动周期: 振幅: 衰减很快, 随时间 t 的增大物体 趋于平衡位置.
大阻尼解的特征: ( n > k ) 1) 无振荡现象; 2) 对任何初始条件 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. 此图参数:
临界阻尼解的特征 : ( n = k ) 任意常数由初始条件定, 最多只与 t 轴交于一点; 2) 无振荡现象 ; 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. 此图参数:
例4. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程通解为 例5. 解: 特征方程: 特征根 : 原方程通解: (不难看出, 原方程有特解
例6. 解: 特征方程: 即 其根为 方程通解 :
例7. 解: 特征方程: 特征根为 则方程通解 :
内容小结 特征根: (1) 当 时, 通解为 (2) 当 时, 通解为 (3) 当 时, 通解为 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3 思考与练习 求方程 的通解 . 答案: 通解为 通解为 通解为 作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3 第八节
备用题 为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 解: 根据给定的特解知特征方程有根 : 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为