【例3】在△ABC中，如图8-2-8，BC=9，AC=12，AB=15，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E. `图8-2-8 (1)求证：△ABC是直角三角形. (2)设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线. (3)设⊙O交BC于点F，连结EF，求AE的长和EF∶AC的值. (2003年·广西)

【解析】 (1)根据勾股定理的逆定理，很容易证得. (2)要证切线，若这条直线上有一点在圆上，通常是过这一点作半径，证明半径垂直于这条直线即可，因此此题须连结OD，证OD⊥AC. ∵∠BDE=90°∴BE是⊙O的直径 ∴OB=OD ∴ ∴OD⊥AC (3)通过平行或相似求解 OD∥BC 由∠BFE=90° EF∥AC

【例4】直线l切⊙O于点C，AD为⊙O的任一条直径，点B在直线l上，且∠BAC=∠CAD(AB与AD不在一条直线上)画出图形，试判断四边形ABCO是怎样的特殊四边形?并证明你所得到的结论. 【解析】本题可根据题意画出⊙O与它的切线l，再画直径AD，最后根据∠BAC=∠CAD，来确定B的位置.在探索四边形ABCO形状时，可转动直径AD，画出几个不同位置的图形进行观察，猜想，发现在一般情形下(即AD与l不行平时)四边形ABCO可能是直角梯形，而当AD∥l时，四边形ABCO变成了正方形，所以在解题时需分两种情况进行分类、讨论、证明，如下8-2-9(1)，8-2-9(2)两图.

AD不平行于l图8-2-9(1) AD∥l图8-2-9(2) ∠3=∠2OC∥AB 若AD不平行于l，则OCBA为直角梯形. AD∥l 若 OC∥AB 四边形ABCO是正方形 OC⊥BC

方法小结： 1.若证切线，有两条思路： ①是直线上的点不知是否在圆上的，则过圆心作该直线的垂线，根据定义证； ②是已知直线上的点在圆上，则连结圆心和这一点，根据切线的判定定理证明. 2.有切线，则常连结过切点的半径；若不知切 点，则过圆心作切线的垂线，则垂足为切点有切线，常利用弦切角计算或证明.

课时训练 1已知圆的直径为13 cm，圆心到直线l的距离为6cm， 那么直线l和这个圆的公共点个数是( ) A.0个 B.1个 C C.2个 D.无法确定 C 2. 如图8-2-10，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是( ) A.65° B.115° 图8-2-10 C.65°或115° D.130°或50° (2003年·山西省) C

3.如图8-2-11中，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD=OB，连结AD，如果∠DAC=78°，那么∠ADO等于( ) C.６２° D.５１° B

4.如图8-2-12，BC为半圆的直径，CA为切线，AB交半圆于E，EF⊥BC于F，连结EC，则图8-2-12中与△EFC相似的三角形共有( ) C.3个 D.4个 D

5.如图8-2-13，PA，PB分别切⊙O于A、B，OP交⊙O于C，下列结论中错误的是( ) A.∠1=∠2 B.PA=PB C.AB⊥OP D.PA王2=PC·PB D

6.如图8-2-14，∠AOB=30°，OA=10，那么以A为圆心，6为半径的⊙A与射线OB的关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 A

1.已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF 图8-2-15(1) 图8-2-15(2) (1)如图8-2-15(1)，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件(只须写出三种情况)： ①AB⊥EF或 ②∠CAE=∠B或 ③∠C=∠FAB(或∠BAC+∠CAE=90°，∠EAB=∠FAB)

2．已知：如图8-2-16(1)，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，切点为C，PO与⊙O相交于A、B (2003年·新疆生产建设兵团) (2)如图11-2-15(2)，AB是非直径弦∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线. 证明：连结AO并延长AO交⊙O于H，连结HC ∴∠H=∠B ∵AH是直径∴∠ACH=90° ∵∠B=∠CAE∴∠CAE+∠HAC=90° ∴HA⊥EF∴EF是⊙O的切线 2．已知：如图8-2-16(1)，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，切点为C，PO与⊙O相交于A、B (2003年·新疆生产建设兵团)

图8-2-16(1) 图8-2-16(2) 图8-2-16(3) (1)试探求∠BCP与∠P的数量关系. (2)若∠A=30°，则PB与PA有什么数量关系? (3)∠A可能等于45°吗?若∠A=45°，则过点C的切线与AB有怎样的位置关系?(图8-2-16(2)供你解题使用) (4)若∠A＞45°，则过点C的切线与直线AB的交点P的位置将在哪里?(图8-2-16(3)供你解题使用)

解：(1) ∠BCP= (2)若∠A=30°，则∠BCP=∠A=30° ∠P=30° = (3)∠A可以等于45°. 如图8-2-16(2)，当∠A=45°时，过点C的切线与AB平行. (4)若∠A＞45°，则过点C的切线与直线AB的交点P在AB的反向延长线上. PA 或 PA=3PB