CHAPTER 2 函 數

2-1 函數的意義 在日常生活中討論到量與量的關係，例:手機費用與使用時間的關係，計程車資與行駛距離的關係等，在數學上處理量與量的關係最常見的工具是函數。 什麼是函數(function)呢? 任何兩個量，其中一個量(設為 x)改變，另外一個量(設為 y)也隨之改變，這種描述量與量對應關係的式子就是一個函數。 x 稱為自變數， y 稱為應變量， y 是 x 的函數，記作

手機使用時間為自變量 x，手機費用為應變量 y， 手機費用=f(使用時間)

從工廠生產的角度來看函數，自變量 x 好比原料，應變量 y 好比成品，函數 f 好比工廠，將原料 x 送入工廠，在工廠 f 中加工，然後輸出成品 y，

p.15例1:求下列函數的定義域與值域

(1)是函數對應關係，因定義域中的任一個元素，都恰有值域中的一個元素與之對應。 (2)是函數對應關係，因定義域中的任一個元素，都恰有值域中的一個元素與之對應。 (3)是函數對應關係，因定義域中的任一個元素，都恰有值域中的一個元素與之對應。

(4)不是函數對應關係，因定義域中的有些元素(如 a)，與值域中的多個元素相對應。 (5)不是函數對應關係，因定義域中的有些元素(如 b)，未與值域中的元素相對應。同時定義域中的有些元素(如 c)，與值域中的多個元素相對應。 (6)不是函數對應關係，因定義域中的有些元素(如 c)，未與值域中的元素相對應。

2-(1)、(2)之函數稱為一對一函數 定義域中任意相異元素 x1 與 x2，在值域中恆有 之關係， 2-(3)之函數可看出 之關係，此種為多對一函數。

判別座標平面上一個曲線是否為某一函數的圖形，檢查所有鉛垂線是否與此曲線均恰有一個交點，如果是，此曲線必為某函數的圖形。 圖(2)是一對一的函數圖形 圖(1)、(3)、(5)是多對一的函數圖形 圖(4)、(6)不是函數圖形

p.19 例4: 若函數

2-2 函數的圖形 畫出函數圖形最直接的方法就是描點法，根據自變量 x 與應變量 y，對應的數對 (x, y) 一一列表，再按照自變量的大小順序，依序在平面座標上描點，再把所描的點以線條連接起來，就是函數的圖形。 缺點:點不夠多時，圖形易於失真。

p.22 例5: 以描點法出函數 的圖形 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -25 -6 1 2 3 10 20

2-3 函數的分類

p.24 例6: 分別畫出下列函數的圖形 y 1 L: y=1 O x -1 M: x= -1

2-3-2 冪函數

p.25 例7: 畫出 的圖形 x -2 -1 0 1 2 y 8 1 0 -1 -8

2-3-3 多項式函數

當斜率為正，表示該直線由左至右逐漸遞增 當斜率為負，表示該直線由左至右逐漸遞減 當斜率為零，表示該直線為水平直線 當斜率為正或負無限大，表示該直線為垂直直線

p.28 例8: 分別畫出 之 圖形，並求其交點

p.28 例8: 分別畫出 之 圖形，並求其交點 兩點可決定一直線 L1: x 0 3 y -2 0 L2: x 0 1 y 1 0

p.32例11: (1)求二次函數 在x=?時，y 有極值? (2)畫出二次函數 之圖形

2-3-4 有理函數

p.33 例12: 畫出 的圖形 y x 。 O 1

2-3-5 分段函數(條件函數) y 3 x O 1 -3 。

p.34 例13: 畫出高斯函數 的圖形 [x]表小於或等於 x 的最大整數 y 3 。 ● 2 。 ● 1 。 。 ● ● x 。 ● -3 -2 -1 O 1 2 3 4 。 ● 。 ●

2-3-6 三角函數 古希臘時代為了解幾何上的測量問題，例如度量一條河的寛度或一座山的高度，產生以直角三角形為基礎的三角函數

(1)由畢氏定理，斜邊長=兩股平方和再開根號，故斜邊長

上述的三角函數定義侷限在角度θ為銳角時才成立，將之推廣至任意角，可得到廣義的三角函數定義。 設 P(x,y) 為有別於原點 O 的任意點，且 ，角度θ之始邊為正 x 軸，終邊為 ，以逆時針方向繞之取正，以順時針方向繞之取負，

p.42 例15: 求下列三角函數的值

2-3-7 指數函數 指數函數可用以解釋自然界中存在的許多現象，例: 生物學中細胞分裂、社會學中的人口成長以及經濟學中的複利問題。

p.45 例16: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

當指數函數 y=ax 之底數 a 等於某常數 e=2.71828……，y=ex (或 y=exp x) 稱為自然指數函數。

p.59 5. 計算下列各式

2-3-8 對數函數

p.45 例16: x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 y 3 2 1 0 -1 - 2 -3 x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 y -3 -2 -1 0 1 2 3

對數函數 y=logax 之底數 a 改成常數 e 時，所得之對數函數 y=logex (y=lnx) 稱為自然對數函數。

p.60 6. 計算下列各式

2-3-9 合成函數 考慮兩函數 f (x)=x5 與 g(x)=2x-1， f (g(x))= f (2x-1)=(2x-1)5，由 x → g(x) → f (g(x)) 的演變過程就叫做合成。 從工廠的角度來看，x 好比原料，首先在第一間工廠 g 加工成半成品，再送入第二間工廠 f 加工為成品。

p.50 例18:

p.51 例19:

2-3-10 反函數

(a)圖之函數非一對一函數，故沒有反函數 (b)圖之函數為一對一函數，故有反函數 (c)圖之函數非一對一函數，故沒有反函數

p.53 例21:

p.54 例22:

因兩點 (a,b) 與 (b,a) 對於直線 y=x 對稱，函數 f (x)與其反函數 y=f -1(x) 之圖形亦對於直線 y=x 對稱。

多對一函數在定義域的全部範圍沒有反函數，但在局部範圍，多對一函數可能有反函數。 例: f (x)=sinx, 將定義域的範圍限制在 -π/2≦x ≦ π/2，此時 f (x)=sinx 可視為一對一函數

2-3-11 多變數函數 前面所述皆為單變數函數(一元函數) y=f (x)，只有一個自變數 x，函數圖形由數對(x,y)構成，可在二維空間以線條呈現出來。 事實上在日常生活中接觸到的函數自變數不只一個，稱為多變數函數， 例: z=f (x,y) 有二個自變數 x 與 y，稱之為二變數函數(二元函數)，函數圖形由數對 (x,y,z)構成，可在三維空間以曲面呈現出來。

例: w=f (x,y,z) 有三個自變數 x, y 與 z，稱之為三變數函數(三元函數)，函數圖形由數對(x,y,z,w)構成，可在四維空間以某種形式呈現出來。