第六章 微分方程 — 积分问题 推广 — 微分方程问题

6.1 微分方程的基本概念 几何问题 引例 物理问题 微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6.1.1 引出微分方程的两个实例 引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 6.1.1 引出微分方程的两个实例 引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① ② 由 ① 得 (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为

说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 引例2. 列车在平直路上以 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) . 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 P321.例2 因此所求运动规律为 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6.1.2 微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容) 分类 偏微分方程 6.1.2 微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容) 分类 偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 ( n 阶显式微分方程) 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束

微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 初始条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 引例2 引例1 通解: 特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 验证函数 是微分方程 的解, 并求满足初始条件 的特解 . 解: 这说明 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解. 利用初始条件易得: 故所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即

6.2 常见微分方程的解法 6.2.1 可分离变量微分方程 可分离变量方程 转化 解分离变量方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

分离变量方程的解法: 分离变量: 两边积分: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 两边积分 因此可能增、 减解. 或 得 即 ( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 ( C 为任意常数 ) 由初始条件得 C = 1, 故所求特解为 解: 分离变量得 两边积分得 即 ( C 为任意常数 ) 由初始条件得 C = 1, 故所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

练习: 解: 分离变量 即 ( C < 0 )

已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 (初始条件) 对方程分离变量, 然后积分: 即 利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系. 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量, 然后积分 : 得 t 足够大时 利用初始条件, 得 代入上式后化简, 得特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积 开始时容器内盛满了水, 求水 从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变 化规律. 解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 即 设在 内水面高度由 h 降到 机动 目录 上页 下页 返回 结束

对应下降体积 因此得微分方程定解问题: 将方程分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系: 两端积分, 得 利用初始条件, 得 因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 有解 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 有解 y = – x 及 y = C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 求下列方程的通解 : 提示: (1) 分离变量 (2) 方程变形为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6.2.2 齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 解法: 令 代入原方程得 分离变量: 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 6.2.2 齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 解法: 令 代入原方程得 分离变量: 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.

例1. 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( C 为任意常数 ) ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 例2. 解微分方程 解: 则有 分离变量 积分得 即 代回原变量得通解 (C 为任意常数) 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6.2.3 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x)  0, 称为齐次方程 ; 若 Q(x)  0, 6.2.3 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x)  0, 称为齐次方程 ; 若 Q(x)  0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 解非齐次方程 则 用常数变易法: 作变换 即 对应齐次方程通解 两端积分得 故原方程的通解 即 齐次方程通解 非齐次方程特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 解方程 即 解: 先解 积分得 即 则 用常数变易法求特解. 令 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 解: 先解 即 积分得 即 则 用常数变易法求特解. 令 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6.2.4 伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: 解法: 除方程两边 , 得 令 求出此方程通解后, 运行时, 点击相片, 或按钮“伯努利”, 可显示伯努利简介,并自动返回. 令 (线性方程) 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.

例2. 求方程 的通解. 则方程变形为 解: 令 其通解为 将 代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 2. 伯努利方程 化为线性方程求解. 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 2. 伯努利方程 化为线性方程求解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

伯努利(1654 – 1705) 瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多 位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式, ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多 位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 年提出了著名的伯努利方程, 1713年出 版了他的巨著《猜度术》, 这是组合数学与概率论史 上的一件大事, 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .

6.2.6 二阶常系数线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式 二阶线性齐次微分方程

1、二阶线性微分方程解的结构 是二阶线性齐次方程 定理1. 的两个解, 也是该方程的解. 证: 代入方程左边, 得 (叠加原理) 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 则 也是齐次方程的解 但是 并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义: 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( ,  )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关;

两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理 2. 是二阶线性齐次方程 的两个线性无关特解, 则 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 故方程的通解为 常数,

定理 3. 是二阶非齐次方程 ① 则 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, ② 是非齐次方程的通解 . 证: 将 证: 将 代入方程①左端, 得 运行时, 点击按钮“复习”, 可显示一阶线性方程解的结构. 复习 目录 上页 下页 返回 结束

是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 证毕 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2、 二阶常系数齐次线性微分方程: ① 特征方程: 特 征 根 通 解 实根

例1. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6.2.7 二阶常系数非齐次 线性微分方程 一、 二、

二阶常系数线性非齐次微分方程 : ① 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法 — 待定系数法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、  为实数 , 为 m 次多项式 . 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若  不是特征方程的根, 则取 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若  不是特征方程的根, 则取 Q (x) 为 m 次待定系数多项式 从而得到特解 形式为

(2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若  是特征方程的重根 , 即 是 m 次多项式, 故特解形式为

例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 代入方程得 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束