第14章 网络方程的矩阵形式 §14-1 割集概念 §14-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 §14-3 回路电流方程的矩阵形式 §14-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 §14-3 回路电流方程的矩阵形式 §14-4 节点电压方程的矩阵形式 §14-5 割集电压方程的矩阵形式

拓扑的由来 图论趣话 1 欧拉与哥尼斯堡桥： 有条名叫 Pregel 的河流经哥尼斯堡，河中有两个岛与陆地间有七个桥相通。能否从任一陆地出发，走遍七桥而每桥只走一次，回到原地？ 瑞士数学家欧拉

图论的主要应用 1 电网络的分析与综合。 2印刷电路与集成电路的布线和测试。 3 通讯网络。 4 在理论物理和统计力学的应用。(杨振宁、李政道) 5 在化学领域的应用。(同分异构体) 6在心理学领域的应用。(1936年,K.Lewin:拓扑心理学) 7在经济学领域的应用。(税率涨落、商品流通、供求关系) 8在计算机科学领域的应用。(计算机网络)

2. 电路的图，支路画成抽象(Abstract)的线段 一、概念(Concepts) R1 R2 R3 R4 R5 R6 iS i6 i5 i3 i2 i4 i1 + – uS ① ② ③ ④ 1. 图（G）：结点和支路的集合(Complete Set)。 2. 电路的图，支路画成抽象(Abstract)的线段 可将电压源与电阻串联，和电流源与电阻并联视作一条支路 3. 有向图(Directed Graph)： 标出了电流参考方向和结点号的图。 （方向和结点号必须与原图一一对应(Identical) ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ i1 i2 i3 i4 i5 iS i6 1 2 3 4 5 6

5. 连通图(Connected Graph)：任意两个结点之间至少存在一条路径(Route)。 4. 平面图(Planar Graph)：其各条支路除结点外不再相交(Intercross)。 5. 连通图(Connected Graph)：任意两个结点之间至少存在一条路径(Route)。 注意： 移去支路不意味着移去结点，因此可以存在孤立结点。 移去结点必须移去与之相连的所有支路， 支路必须终止在结点上。 ① ② ③ ④ 1 2 3 4 5 6 ① ② ③ ④ 1 2 3 4 5 6 6. 回路(Loop)：由支路所构成的一条闭合路径。 7. 网孔(Mesh)：平面图中的自然孔，孔内区域中不再含有任何支路和结点。

连支(Link)： 不属于树支的支路 有 (b-n+1)条连支。 ① ② ③ ④ 8.树（T）是一个连通子 图，满足两个条件： (1)包含所有结点; (2)不包含回路. 设有n个结点,b条支路 树支(Branch)： （n－1）条 ① ② ③ ④ 连支(Link)： 不属于树支的支路 有 (b-n+1)条连支。 9. 单连支回路（基本回路):只有一个连 支的回路。有(b-n+1)个单连支回路.

10. 独立结点: 能列独立的KCL方程的结点（ n-1） 选择一个结点参考结点，其它结点即独立结点。 独立回路: 能够列出独立 的KVL方程的回路。 ① ② ③ ④ 1 2 3 4 5 6 12. 独立回路组：一组独立回路。 13. 确定独立回路的原则： 独立回路组的每一回路至少有一条其它回路 未包含的独特支路。

§14-1 割集概念 (Definition of Cut Set) 1 、什么是割集？一个割集即连通图的一个支路集合；这些支路全部移去时连通图分为两部分；仅留一条支路时图仍是连通的。图中, adf 、bcf 、abe等7种割集, adef abcde不是割集。一般，可用在连通图上做闭合面的方法来判断确定一个割集。 2 、割集的方向？ 移取一个割集的所有支路时，连通图分为两部分，从其中一部分指向另一部分的方向

3 、独立割集：能够列出一组独立的kcL方程的割集 n个节点b条支路的连通图,独立节点数n-1=独立割集数 4 、基本割集：以树的概念确定的单树支割集 往往以基本割集作为独立割集，如何用树的概念确定基本割集组？ 树：是一个连通子图，它包含 所有节点，但没有回路 e b c f d a 选定树(Tree) 连支(Link) 三个基本割集: cbf eab daf 为一个基本割集组,可以作为一组独立割集

树(tree)： 属于树的支路称为树支，其余支路称为连支。 b c f d a = + 支路数 树支数 连支数

状态方程 State Function 和 就是电路的状态变量。 对状态变量列出的一阶微分方程称为状态方程 us il 状态变量：是电路的一组独立的动态变量： 对状态变量列出的一阶微分方程称为状态方程 us R L C + - u il

作为变量列上述方程 如果以 和 us R L C + - u il 得：

如果用矩阵形式列写方程，则 输入量v A 状态向量X B

结论： 要列出包括 项的方程，最好对只接有 一个电容的接点或割集写出KCL方程， 要列出包括 项的方程，最好对只包含 为n阶列向量，A为 V为m阶列向量, B为 方阵， 1、 若某电路具有n个状态变量 ， m个独立电源，上述 要列出包括 项的方程，最好对只接有 一个电容的接点或割集写出KCL方程， 2、 要列出包括 项的方程，最好对只包含 一个电感的回路列写KVL方程。 3、

特有树：树支包含了电路中所有电压源支路和电容支路，连支包含了电路中所有电流源支路和电感支路 例题 9 7 1 6 4 3 2 5 8 ③ R6 - + ② L7 iS G5 L8 C2 C3 ① O ④ C4 ⑤

iS G5 u5=R5(i8+is9) ③ R6 ② L7 L8 C2 C3 ① O ④ C4 ⑤ 消去非状态 变量 u5、i6 7 1 6 - + ② L7 iS G5 L8 C2 C3 ① O ④ C4 ⑤ 消去非状态 变量 u5、i6 7 1 6 4 3 2 5 u5=R5(i8+is9) 9 8

例：如图 对单电容树支列KCL i2 L1 iS - R2 us + uC L2 i1 R1 2 对单电 感连支 列KVL 1

18

考研补例： C us A + - C1 B L iL - + R iS + C2 - D

考研补例： 列出图(a)所示电路的状态方程 1 取电容电压、电感电流为状态变量。 2 作专用树 3 列单树支割集的KCL方程和单连支回路的KVL方程

4 消去非状态变量整理成标准形式 式(1)中电阻电流 iR 为非状态变量由方程(3)解出 代入方程(1)，整理得

要求掌握基本回路和基本割集的定义；理解基本回路KVL的独立性和基本割集KCL的独立性、树支电压的独立性和连支电流的独立性 1 基本回路 图中树支1、2、3用实线表示；连支4、5、6用虚线表示 基本回路：每一个连支和必要的树支都构成一个单连支回路，称为基本回路。基本回路的方向规定为所含连支的方向。 基本回路的性质： (a) (b) (c) 图中3个基本回路 的KVL方程为独立

推广到一般情况：对基本回路列写的基尔霍夫电压定律方程是一组独立方程，因此称基本回路是一组独立回路。 基本回路数等于连支数

基本割集：每取一个树支作一个单树支割集，称为基本割集。 基本割集的方向规定为所含树支的方向。 2 基本割集 基尔霍夫电流定律可用于割集：割集电流代数和为零。 基本割集：每取一个树支作一个单树支割集，称为基本割集。 基本割集的方向规定为所含树支的方向。 基本割集的性质 (a) (b) (c) 图中3个基本割集 KCL方程是（独立）：

推广为一般情况：基本割集的基尔霍夫电流定律方程是一组独立方程因此称基本割集是一组独立割集。 基本割集数等于树支数

(2) 对基本割集列写KCL ,可以求得树支电流： 例题 选择一树:{1,2,3,4} 对基本回路列写KVL，可以求得连支电压： (2) 对基本割集列写KCL ,可以求得树支电流：

基本要求：熟练掌握关联矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定律。 1 关联矩阵 节点支路关联矩阵 对于n个节点b条支路的图，定义一个矩阵(行号对应节点号，列号对应支路号),矩阵中第i行第j列元素定义为 例如，对如图所示的电桥电路的图，其节点-支路关联矩阵A’为 支路：1 2 3 4 5 6 节点① 节点② 节点③ 节点④

除去节点④对应的第4行 的任意一行都可由其它n-1行来确定，它只有n-1个独立行。可将其任意一行省略，得到一个缩减的矩阵，简称关联矩阵，记为A 。

AI＝0 2 基尔霍夫定律的关联矩阵形式 (1) KCL的关联矩阵形式 此方程组的系数矩阵 就是该图的关联矩阵A 推广 ：将b个支路电流写成支路电流矩阵，则基尔霍夫电流定律的关联矩阵形式为 除去节点④对应的第4行 AI＝0

此方程的系数矩阵等于图的关联矩阵A 的转置:AT (2) KVL的关联矩阵形式 选下图的节点④为参考点，用节点电压之差表示支路电压，并写成矩阵形式： 此方程的系数矩阵等于图的关联矩阵A 的转置:AT 推广： 设网络有b条支路，n个节点，第n号节点为参考节点支路电压和节点电压矩阵分别记作： 则节点电压与支路电压的关系即KVL：

基本要求：掌握基本回路矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定律 1基本回路矩阵B ：表示基本回路与支路的关联关系。定义B 的行对应基本回路,列对应支路，B的元素定义为 例： 与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为 支路：1 2 3 4 5 6 回路4 回路5 回路6 如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺序与连支相同，则在矩阵 B 的右边存在单位矩阵。

对左图所示基本回路列写KVL方程，并写成矩阵形式 2 基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式。 (1) KVL的基本回路矩阵形式 对左图所示基本回路列写KVL方程，并写成矩阵形式 其系数矩阵是上图的基本回路矩阵 推广到一般情况：设U 表示支路电压矩阵，基氏电压定律的基本回路矩阵形式为 如果支路编号使得矩阵B的右边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成 用树支电压表示连支电压

再扩展到全部支路电流系数矩阵是基本回路矩阵B 的转置BT (2) KCL的基本回路矩阵形式 对下图所示基本割集列写KCL方程并写成矩阵形式 基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式。 再扩展到全部支路电流系数矩阵是基本回路矩阵B 的转置BT 推广: 基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为 如果支路编号使得矩阵B的右边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成 用连支电流表示树支电流

AI＝0

基本要求：理解基本割集矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定律 1 基本割集矩阵C ：矩阵的行对应基本割集，列对应支路，其元素为： 支路：1 2 3 4 5 6 割集1 割集2 割集3 如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺序与连支相同，则在矩阵 C 的左边存在单位矩阵。

如果支路编号使得矩阵 C 的左边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成 2 基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式 (1) KCL的基本割集矩阵形式 对图所示的基本割集列写基尔霍夫 电流定律方程并写成矩阵形式为： 基本割集矩阵 推广：设I表示支路电流矩阵，则基尔 霍夫电流定律的基本割集矩阵形式是 如果支路编号使得矩阵 C 的左边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成 用连支电流表示树支电流

对左图所示的基本回路列电压方程，并写成矩阵形式得 (2) KVL的基本割集矩阵形式 对左图所示的基本回路列电压方程，并写成矩阵形式得 再扩展到全部支路电压 推广：设树支电压向量为，则基尔霍 夫电压定律的基本割集矩阵形式是 如果支路编号使得矩阵 C 的左边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成 用树支电压表示连支电压

求连支电压。 某网络图的连支电流 树支电阻 基本割集矩阵 例题 由连支电流求得树支电流为 由欧姆定律求得树支电压 最后求出连支电压

对同一图的关联矩阵A和对应任一树的基本回路矩阵B有： 3 网络矩阵之间关系 1)关联矩阵与基本回路矩阵关系 对同一图的关联矩阵A和对应任一树的基本回路矩阵B有： 连支电流是一组独立变量可随意给定，因此可得 或 2)基本回路矩阵与基本割集矩阵关系 在图中任取一树，写出基本回路矩阵B和基本割集矩阵C，有： 因对任意树支电压均成立,由此得 或

如果对支路、基本回路和基本割集的编号使得矩阵B和矩阵C中均出现单位子矩阵，则上式可进一步写成分块矩阵的形式 将上式展开得常用关系 上式表明由基本回路矩阵B可求基本割集矩阵C，反之亦然

基本要求：掌握广义支路的定义及其方程的矩阵形式、定义广义支路的目的。 第k条广义支路的方程可以表示成 (k=1,…b)

b条支路的支路方程矩阵形式是(省略了复变量s)： 简写为

若矩阵Z存在逆矩阵 ，令 ，并乘 两端，得 其中U 、I--支路电压向量与支路电流向量 -支路源电压与支路源电流量 -支路阻抗矩阵与支路导纳矩阵 含有互感元件： 其支路方程的矩阵形式为 互感支路

以图(a)为例， 含VCCS支路的支路方程为 与其它支路方程合在一起并写成矩阵形式得 支路导纳矩阵

基本要求：掌握用关联矩阵形式的基尔霍夫定律方程建立节点电压方程的步骤。 AI＝0 移项后得 节点电压方程 (称节点导纳矩阵) 令 节点电压方程简化为

利用本节方法列写图(a)所示电路的节点电压方程，并求出各广义支路的电压和电流。 例题 利用本节方法列写图(a)所示电路的节点电压方程，并求出各广义支路的电压和电流。 1) 按广义支路定义，对照图(a)作出网络的图 (b) 2)根据图写出关联矩阵A 3) 根据网络图并对照图(a)写出 4) 计算

(5) 按 列出节点电压方程 (6) 求解上式得节点电压 (7) 根据式 和式 求出广义支路电压和广义支路电流

对于本例的简单电路，按上述步骤列写节点电压方程还不如用以前学过的方法简便。但对于复杂电路，必须按照规范步骤列写电路方程，以便编制计算程序。

基本要求：掌握用基尔霍夫定律的矩阵形式建立回路电流方程的割集电压方程的方法。 1 回路电流方程的建立 (a) (b) 移项 基本回路方程矩阵形式 (c) 令 (d) 式(b)可以简写成 (e)

(a) 割集电压方程矩阵形式 (割集导纳矩阵) 令 (割集源电流向量) 割集电压方程式(a)可简写成

§14-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 Associated Matrix, Loop Matrix, Cut Set Matrix 一、关联矩阵及用关联矩阵表示的KCL、KVL矩阵方程 1、关联矩阵：表示支路和节点关联性质的矩阵 什么叫支路和节点相关联？ 关联矩阵的定义？例题 P335 降阶关联矩阵 2、用关联矩阵A表示的KCL、KVL矩阵方程 用关联矩阵表示的KCL矩阵方程：（15-2）式 用关联矩阵表示的KVL矩阵方程：（15-3）式

二、回路矩阵及用回路矩阵表示的KCL、KVL矩阵方程 Loop Matrix and KCL\KVL Matrix Function Expressed With Loop Matrix 1、回路矩阵：表示支路和回路关联性质的矩阵 什么叫支路和回路相关联？ 回路矩阵的定义？例题 P337 基本回路矩阵Bf :以基本回路组为独立回路组按下列规则 的回路矩阵： Bf中各列先排连支后排树支； 回路序号与对应连支所在列的序号相同； 回路绕向与连支方向相同 2、用回路矩阵B表示的KCL、KVL矩阵方程 用回路矩阵表示的KVL矩阵方程：（15-5）式 用回路矩阵表示的KCL矩阵方程：（15-6）式

三、割集矩阵及用割集矩阵表示的KCL、KVL矩阵方程 Cut Set Matrix and KCL\KVL Matrix Function Expressed With Cut Set Matrix 1、割集矩阵：表示支路和割集关联性质的矩阵 什么叫支路和割集相关联？ 割集矩阵的定义？例题 P338~339 基本割集矩阵Qf:以基本割集组为独立割集组按下列规则 的割集矩阵： Qf中各列先排连支后排树支； 割集序号与对应树支所在列的序号相同； 割集方向与树支方向相同 2、用割集矩阵Q表示的KCL、KVL矩阵方程 用割集矩阵表示的KCL矩阵方程：（15-9）式 用割集矩阵表示的 KVL矩阵方程：（15-10）式

§15-3 回路电流方程的矩阵形式 Matrix Form of Loop Current Function 割集电压：由割集划分的两个分离部分之间的一种假想电压。（正如回路电流是沿着回路流动的一种假想电流一样） 另：当选用割集是一组基本割集（单树支割集）时，割集方向与树支方向相同，割集电压与树支电压相同（相等）。因为Qf 前面部分为单位阵。 §15-3 回路电流方程的矩阵形式 Matrix Form of Loop Current Function 1、列出回路电流方程的矩阵形式要考虑两种约束： 支路约束---支路方程 支路间约束---支路间KCL、KVL约束（用回路矩阵表示）

2、 由于支路的复杂多样性，为了列矩阵方程方便，需要定义支路的模式，见P432复合支路。 3 、由支路方程（15-12式）及KCL、KVL相量矩阵形式K可得回路电流方程的矩阵形式（15-13式）（P344） 4 、支路阻抗矩阵Z, 电路中无互感时为对角阵（主对角线为各支路阻抗，非主对角线都为0 ）； 电路中有互感时不是对角阵（主对角线仍为各支路阻抗，非主对角线不都为0） ， 5 、回路阻抗矩阵Zl=BZBT 电路中无互感时为l阶方阵， 主对角线为回路自阻抗，非主对角线为回路间互阻抗；电路中有互感时仍为l阶方阵，主对角线的自阻抗和非主对角线为回路间互阻抗都有可能含有互感。

§14-4 节点电压方程的矩阵形式 Matrix Form of Node Voltage Function 1、列出节点电压方程的矩阵形式也要考虑两种约束： 支路约束---支路方程 支路间约束---支路间KCL、KVL约束（用关联矩阵表示） 2、复合支路见P437 3、 由支路方程（15-15式）及KCL、KVL相量矩阵形式K可得回路电流方程的矩阵形式（15-16式）（P348-349） 4、支路导纳矩阵Y, 电路中无互感时为对角阵（主对角线为各支路导纳，非主对角线都为0 ）； 电路中有互感时不是对角阵（主对角线仍为各支路导纳，非主对角线不都为0） ， 5、节点导纳矩阵Yn=AYAT 电路中无互感时为n-1阶方阵， 主对角线为回路自导纳，非主对角线为回路间互导纳； 电路中有互感时仍为n-1阶方阵，主对角线的自导纳和非主对角线为节点间互导纳都有可能含有互感。

§14-5 割集电压方程的矩阵形式 Matrix Form of Function Cut Set Voltage Function 1、列出割集电压方程的矩阵形式也要考虑两种约束： 支路约束---支路方程 支路间约束---支路间KCL、KVL约束（用基本割集矩阵表示） 2、复合支路：同节点电压法复合支路见P437 3、 由支路方程（15-15式）及KCL、KVL相量矩阵形式K可得割集电压方程的矩阵形式（15-17式）（P352） 4、支路导纳矩阵Y：同节点电压法,无互感时为对角阵 5、割集导纳矩阵：Yt=QfYQfT 为n-1阶方阵， 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）中变量是割集电压，称为割集电压法，节点电压法是割集电压法的特殊情况。

比较回路电流方程的矩阵形式（15-16式）和割集电压方程的矩阵形式（15-17式） 对某些图有Qf=A； 当选择的独立割集都由汇集在一个节点上的支路组成时，割集电压法即节点电压法。