第1课时　空间几何体及空间中的平行与垂直

高频考点 考情解读 空间几何体的表面积与体积 此类问题多为选择题与填空题，常通过三视图和几何体的结合考查几何体的表面积与体积，试题难度中低档． 与球有关的几何体的切、接问题 多涉及球与棱柱、棱锥的切接问题，主要计算球的表面积及体积，因此试题存在一定难度． 线线、线面平行与垂直 此类问题多以多面体为载体，考查线线平行、线面平行及线线垂直、线面垂直的相互转化，试题以解答题为主． 面面平行与垂直 此类问题多以多面体为载体，结合线线、线面的位置关系，涉及的知识点多，综合性强，通常考查面面位置关系的判定及性质.

1．把握两种规则 (1)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧一样高． (2)画直观图的规则 画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半．

空间几何体的表面积与体积 (1)(2013·合肥市高三第二次教学质量检测)某个几何体的三视图如图(其中正视图中的圆弧是半圆)所示，则该几何体的表面积为(　　) A．92＋14π　　 B．82＋14π C．92＋24π　 D．82＋24π

(2)(2013·江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________. 解析：　(1)观察三视图可知，该几何体是长方体与一个半圆柱的组合体，根据所标注的尺寸可以计算出表面积为(4×5＋4×5＋4×4)×2－4×5＋π·22＋π·2·5＝92＋14π.

答案：　(1)A　(2)1∶24

(1)空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和． (2)在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量．在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面．

1．(1)(2013·辽宁卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．

(2)(2013·北京东城区高三教学统一检测)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

多面体与球

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系． (2)若球面四点P，A，B，C构成的线段PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2，把有关元素“补形”成为一个球内接正方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法．

2．(2013·辽宁五校考试)已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P－ABC的体积为(　　) C．20　 D．30

答案：　A

线线、线面的平行与垂直

证明：　(1)∵AD∥BC，BC＝2AD，G是BC的中点， ∴AD綊BG， ∴四边形ADGB是平行四边形， ∴AB∥DG. ∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG， ∴AB∥平面DEG.

(2)连接GF，易知四边形ADEF是矩形， ∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC， ∴DF⊥平面BCFE，又EG⊂平面BCFE，∴DF⊥EG. ∵EF綊BG，EF＝BE， ∴四边形BGFE为菱形，∴BF⊥EG， 又BF∩DF＝F，BF⊂平面BDF，DF⊂平面BDF， ∴EG⊥平面BDF.

(1)证线面平行常用的两种方法：一是利用线面平行的判定定理，把证线面平行转化为证线线平行；二是利用面面平行的性质，把证线面平行转化为证面面平行． (2)证线面垂直常用的方法：一是利用线面垂直的判定定理，把证线面垂直转化为证线线垂直；二是利用面面垂直的性质定理，把面面垂直转化为线面垂直；另外还要注意利用教材中的一些结论，如：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等等．

3．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．求证： (1)EF∥平面ABC1D1； (2)EF⊥B1C.

证明：　(1)连接BD1.在△DD1B中，E，F分别为D1D，DB的中点，则EF∥D1B. 又D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1. (2)由题意易得AB⊥B1C，B1C⊥BC1. 又AB，BC1⊂平面ABC1D1，AB∩BC1＝B， ∴B1C⊥平面ABC1D1. 又BD1⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1. 而EF∥BD1，∴EF⊥B1C.

面面平行与垂直 (1)求证：平面BCD⊥平面CDE； (2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC.

　(1)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决． (2)证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可．从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行．

4.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点． (1)求证：平面EFG∥平面PMA； (2)求证：平面EFG⊥平面PDC.

证明：　(1)∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点， ∴EG∥PM，GF∥BC. 又∵四边形ABCD是正方形， ∴BC∥AD，∴GF∥AD. ∵EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA内， ∴EG∥平面PMA，GF∥平面PMA. 又∵EG、GF都在平面FEG内且相交， ∴平面EFG∥平面PMA.

(2)由已知MA⊥平面ABCD. PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD， 又BC⊂平面ABCD. ∴PD⊥BC. ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC⊥DC.

又PD∩DC＝D， ∴BC⊥平面PDC. 在△PBC中，∵G、F分别为PB、PC的中点， ∴GF∥BC， ∴GF⊥平面PDC. 又GF⊂平面EFG， ∴平面EFG⊥平面PDC.

思想诠释　转化与化归思想——解决空间中的线、面平行与垂直问题 (2013·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.

证明：　 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形． 所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD， 所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF. 又因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.

1.本题第(1)问由面面垂直转化为线面垂直，第(2)问要证线面平行，应证线线平行，即BE∥AD⇒BE∥平面PAD，第(3)问多次利用线面垂直判定和性质，最后利用线面垂直转化面面垂直． 2．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化．

3．垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型． (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行． (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直． (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． (4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直． (5)平行与垂直关系间的转化． (6)平面图形与空间图形通过折叠进行的转化．

证明：　 (1)连接A1B，设A1B与AB1交于E，连接DE. ∵点D是BC中点，点E是A1B中点， ∴DE∥A1C，∵A1C⊄平面AB1D， DE⊂平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D.

(2)∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC. ∵平面ABC⊥平面B1BCC1， 平面ABC∩平面B1BCC1＝BC，AD⊂平面ABC， ∴AD⊥平面B1BCC1， ∵BC1⊂平面B1BCC1， ∴AD⊥BC1.