第9章 振动和波 按照物质运动的形态，经典物理学分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则是一种电磁波。量子力学又称波动力学。本章的意义绝不局限于力学，它将为学习整个物理学打基础。 DSP芯片

一、简谐振动 平衡与振动 处于静止状态的物体，我们称之为平衡，此时物体不受力或所受的合力为零。如果处于平衡位置的物体受到某种扰动而离开了平衡位置，则我们根据该物体以后能否保持平衡而将平衡分为以下四种：稳定平衡、亚稳平衡、不稳平衡和随遇平衡，如图所示。

平衡与振动 我们仅讨论处于稳定平衡（严格地说，稳定平衡是理想情况，绝对的稳定平衡是没有的）或亚稳平衡而扰动较小的情况，此时物体将会发生振动。我们把振动的物体称为振子。

恢复力与弹性力 图中的“弹簧振子”有一个平衡位置 O，在那个位置，弹簧既没有伸长也没有缩短，对物体不施加作用力，物体得以平衡。试把物体从平衡位置移开，例如移到P点，然后放手，拉长的弹簧有收缩的趋势，它施加于物体的作用力驱使物体向平衡位置移动。这种驱使物体向平衡位置移动的力叫作恢复力。 恢复力和惯性这一对矛盾不断斗争，它们的作用交替消长，力学系统就在平衡位置左右一定范围内来回振动。

恢复力与弹性力 弹簧振子的恢复力是弹簧的弹性力，其大小正比于弹簧的伸长或缩短。它满足胡克定律： 式中 x 是物体对平衡位置的位移，k 叫作弹性系数（或倔强系数），k 越大表示弹簧越硬。 由胡克定律可知弹性力有两个特点： 因为弹性力 F 的指向总与位移 x 的方向相反，故弹性力 F 总是指向平衡位置，总是力图把质点拉回到平衡位置； 因为 F 的数值大小正比于位移 x 的大小，所以物体偏离平衡位置越远，则它受到的拉回平衡点的力也越大。

恢复力与弹性力 重力也可以成为恢复力。如图所示的单摆，如将小球从平衡位置拉到P点再松手，小球将在平衡位置O点附近往复摆动。它的结构虽与上述弹簧振子完全不同，但它们的运动性质是十分相似的。 式中负号表示 F 与角位移方向相反。 可见，单摆所受的虽不是弹性力，但小角度摆动时在形式上与弹性力完全相似。我们把这种与弹性力具有相似表达式的力，叫做准弹性力。 可以证明：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。

恢复力与弹性力 取 V0 =0, x0 = 0，得弹性势能为： 势能的曲线示于图。由图可见，在一个严格的弹性力作用下的质点只可能作束缚运动，对任何大的能量 E，质点都不能作自由运动，而只能在下列有限范围内运动，即： 其中：

简谐振动的描述 1. 简谐振动解 如图所示，设弹簧振子的质量为 m，弹簧的倔强系数为 k，选取 x 轴，以平衡位置 O 为原点，则振子的运动方程为： 令： 解为： 其中 为待定常数，由初始条件确定。称这种运动为简谐振动。

简谐振动的描述 2. 简谐振动的特征参量 描绘一个简谐振动的特征参量有三个：振幅、角频率和相位。 振幅 A 2. 简谐振动的特征参量 描绘一个简谐振动的特征参量有三个：振幅、角频率和相位。 振幅 A A 代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，它正比于(E)1/2，即它的平方正比于系统的机械能，A2 ∝ E ；

简谐振动的描述 2. 简谐振动的特征参量 (2) 角频率ω（也称圆频率） 2. 简谐振动的特征参量 (2) 角频率ω（也称圆频率） 振动的特征之一是运动具有周期性。完成一次完整的振动所经历的时间称为周期，用 T 表示。由上式可知周期 T 与角频率ω的关系为：T = 2π /ω。周期的倒数称为频率ν，ν= 1/T = ω/2π。周期的单位是“秒”；频率的单位是“秒-1”，这有个专门的名称“赫兹（Hz）”；角频率的单位是“弧度／秒（rad/s）”。对于弹簧振子，频率与周期为 可见弹簧振子的频率（或周期）由其固有参量和决定，而与初始条件无关，故称为振子的固有频率。

简谐振动的描述 2. 简谐振动的特征参量 相位（或位相） 2. 简谐振动的特征参量 相位（或位相） 其中时刻 t = 0 的相位，称为初相位。相位是相对的，通过计时零点的选择，我们总可以使初相位： 而多个简谐运动之间的相位差是重要的。

简谐振动的描述 3. 简谐振动的描述 (1) x-t曲线图示法 3. 简谐振动的描述 (1) x-t曲线图示法 简谐振动可以用三角函数表示，也可用下边的曲线图表示，图上已将振幅、周期和初相标出。

简谐振动的描述 3. 简谐振动的描述 (2) 振幅矢量法 3. 简谐振动的描述 (2) 振幅矢量法 简谐振动还可以用旋转振幅矢量（也称相矢量）来表示。自原点画一条长等于振幅的矢量A，开始时 ( t=0 )，让矢量A与 x 轴的夹角等于振动的初位相，令A 以角速度（就是振动角频率）逆时针方向旋转，则矢量在轴上的投影就是振动的位移（如图）。 这种表示简谐振动的方法清晰明了，它能比较直观地把振幅、频率和初位相表示出来，我们以后将经常用到这种表示法。

简谐振动的描述 3. 简谐振动的描述 (3) 复数法 利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数表示 或 其中： 3. 简谐振动的描述 (3) 复数法 利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数表示 或 其中： 是复数，称复振幅，它已包含了初位相。但要注意，有意义的是上式的实部。

谐振子的能量 下面计算简谐振动的能量。振子的坐标和速度为： 其中 动能： 势能： 机械能： 此式表示简谐振动的机械能是守恒的。

谐振子的能量 由前式可见动能和势能的变化频率都是原振子振动频率的两倍。不难求出，一个周期内动能、势能的时间平均值都等于总能量的二分之一。

简谐振动的演示

振动的合成与分解 简谐振动是最简单、最基本的振动，任何一个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的合成。数学上称这种分解为傅里叶（Fourier）变换。 专用FFT芯片

方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合 成 方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合 成 设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动，每个振动的位移与时间关系可表为 利用振幅矢量法，由图不难看出，合运动仍是同频率的简谐振动，即 （余弦定理）

方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合 成 方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合 成 由此可知，合振动的振幅取决于两振动的位相差 则 则 为一般值 则

方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成 设 为简单起见，设 若 有

方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成 此简谐振动的频率与原来两振动频率几乎相等 而振幅随时间的变化为 由于振幅所涉及的是绝对值，故其变化周期由下式决定 故振幅变化频率：

方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成 即两频率之差。这一现象称为拍，⊿v称为拍频，拍的振动曲线如图所示。当两振动的振幅不等，即 A1 ≠ A2 时，也有拍现象，此时合振幅仍有时大时小的变化，但不会达到零。

方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成 校正乐器，例如校正钢琴，往往拿待校的钢琴同已校好的钢琴作比较，弹奏两架钢琴的同一个音键，细听有无拍的现象。如果听得出有拍的现象，说明尚未校准，必须再校，使得拍频越来越小直到拍完全消失为止，这一音键才算校准。

3. 方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成（二维振动） 3. 方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成（二维振动） 振动系统可以同时参与方向互相垂直的两个振动，例如单摆，就可以同时参与这样的两个振动。设一个振动沿 x 方向，一个沿 y 方向，即： 这实际上就是合振动的坐标参量方程。

二、阻尼振动 理想振动，振幅保持不变，振动能量也保持不变。这只是实际情况的一种抽象，实际振动系统的振动，当无外界能量补充时，振幅都要随时间逐渐衰减，衰减的原因，一是有摩擦力存在，将振动能量逐渐变为热能耗散了；二是振动能量以波的形式向四周传播，使振动能量逐渐变为波的能量，本节讨论有摩擦力存在的振动。 人造卫星太阳能帆板的减振

运动方程及其解 我们主要考虑摩擦力与速度成正比的情形。当速度不大时，粘滞阻力就属这种情形。在考虑了粘滞阻力后，弹簧振子的运动方程变为 其中h 称为阻尼系数。令： ω0 是阻力不存在时振子的固有角频率，β 称为阻尼因数或衰减常数。于是运动方程为： 这是常系数二阶线性常微分方程。

运动方程及其解 对于复杂问题，复数法能显示其优越性。该方程的解法是，视 x 为复数，用试探解 代入，其中 r 为待定常数。可解得： 于是方程的解可写成如下形式： 其中 A1, A2 为待定常数，由初始条件决定。

欠阻尼振动, 1. 振动解 令 将特解代入通解，得 取上式的实部得： 1. 振动解 令 将特解代入通解，得 取上式的实部得： 此时振子的运动严格讲己不再是周期运动，但仍可看作振幅逐渐衰减的周期运动，其振幅和周期为

欠阻尼振动， 2. 阻尼振子的能量 动能： 势能： 机械能：

欠阻尼振动， 2. 阻尼振子的能量 可见机械能并不守恒。当 时，有 于是 对时间微商，得： 和(9.2.11)式比较知： 2. 阻尼振子的能量 可见机械能并不守恒。当 时，有 于是 对时间微商，得： 和(9.2.11)式比较知： 这是摩擦力的功率，即损失的能量用于克服摩擦力作功。

欠阻尼振动， 3. 品质因数 衰减常数的大小反映了阻尼的大小。我们也可用一周中振子损失的能量在总能量中所占的比例来描写阻尼的大小。通常将 t 时刻时振子的能量 E 与经一周后损失的能量 ⊿E 之比的 2π倍称为振子的品质因数，并用 Q 表之： 小阻尼情况下，根据上面的能量表示式(9.2.15)，可得

欠阻尼振动， 3. 品质因数 奥迪轿车前后箱减振器 因 所以 可见，Q 仅由振动系统本身的性质决定。

临界阻尼与过阻尼 过阻尼情况为 此时 r1, r2 皆为实数 由解的表达式(9.2.5)知： 其中 A1, A2 可由初条件决定，此时已没有振动现象（非三角函数）。

临界阻尼与过阻尼 临界阻尼情况为 此时 我们只得到了阻尼方程(9.2.3)的一个特解，为了求另一个特解，可令 代入阻尼方程，得阻尼方程的通解为： 其中 A1, A2 可由初条件决定，此时也没有振动现象。 临界阻尼状态之所以重要，是因为它所对应的回复时间，即由静止开始从偏离平衡位置的某处回复到平衡位置（在一定观察精度内）所需的时间，比欠阻尼和过阻尼状态都要短。

临界阻尼与过阻尼 理想汽车减震器：临界阻尼 阻尼的作用： 欠阻尼：振动存在，但周期变长，振幅随时间减小，最终振动停止； 临界阻尼：不可能振动，但趋于平衡最快； 过阻尼：不可能振动，但趋于平衡变慢。 理想汽车减震器：临界阻尼

三、受迫振动与共振 只受弹性力或准弹性力和粘滞阻力作用的振动系统，其振幅总是随时间衰减，振动不能持久。如果要使振动持久不衰，就必须由外界不断供给能量。振动系统在外界强迫力作用下的振动，叫做受迫振动。（例如 电磁傅科摆）

运动方程及其解 1. 受恒定外力作用 设外界的强迫力 F0 为常数，则阻尼振动系统满足的方程为： 该方程有一特解： 令 1. 受恒定外力作用 设外界的强迫力 F0 为常数，则阻尼振动系统满足的方程为： 该方程有一特解： 令 代入(7.3.1)得： 这就是阻尼运动的方程(9.2.1)，只是平衡位置改变了。即当外界的强迫力 F0 为常数时，不产生任何新的内容，故我们以后不考虑恒定的外力作用。

运动方程及其解 2. 受周期外力作用 任何非正弦型外力都可以看成正弦型外力的线性迭加。研究了振动系统对正弦型外力的响应，也就原则上解决了振动系统对任何外力的响应问题。下面我们仅考虑简谐强迫力 弹簧振子的运动方程为： 令 上式变为：

运动方程及其解 2. 受周期外力作用 下面求其特解。为此，将方程写成复数形式： 其中 令 代入得： 于是：

运动方程及其解 2. 受周期外力作用 方程(9.3.5)的特解应为(9.3.9)式的实部，即 其中

运动方程及其解 2. 受周期外力作用 (9.3.10)式是方程(9.3.5)的特解，该方程的通解等于该方程的一个特解加上对应的齐次方程的通解。而在小阻尼的情况下，(9.2.8)式即为对应的齐次方程的通解。于是方程(9.3.5)的通解为： 其中 为待定常数，由初始条件决定， 的表达式见(9.2.6)。

运动方程及其解 2. 受周期外力作用 对(9.3.13)式讨论如下： 2. 受周期外力作用 对(9.3.13)式讨论如下： 其中第一项即阻尼振动，它随着时间衰减，故称暂态解，第二项不随时间衰减，称为稳态解。开始时，振子的运动比较复杂，为暂态解和稳态解的叠加，经过一段时间以后，暂态解衰减掉了，只留下稳态解。 稳态解的特点是它的频率与强迫力频率相同，它的振幅及初位相与初始条件无关，完全由强迫力和系统的固有参量决定，而暂态解的频率由系统本身性质决定，振幅及初位相则由初始条件决定。

稳态解分析 下面分析受迫振动的稳态解，受迫振动的运动方程为： 稳态解： 其中 注意到： 故运动方程中各项可用旋转矢量表示如图所示，则各量之间的相位关系一目了然。

稳态解分析 我们只讨论 的欠阻尼情况。 (频率甚低) 此时 对应的矢量旋转图见图所示。我们可得如下结论： 我们只讨论 的欠阻尼情况。 (频率甚低) 此时 对应的矢量旋转图见图所示。我们可得如下结论： (1) 频率甚低时，物体加速度和速度均很小，故物体的惯性与阻力都可以忽略，弹力几乎时时与外力相平衡。 (2) 振幅矢量稍落后于矢量外力，振动与外力同位相。

稳态解分析 (频率甚高) 对应的矢量旋转图见图所示。我们可得如下结论： 因频率甚高，物体的惯性很重要。速度并不大，位移更小，阻力和弹力均可忽略，物体几乎只在外力作用下振动，而且振幅很小。此时 (2) 振幅矢量落后于矢量外力 f0，相位约为π。

通过交流电的灯泡

共振 现在让我们来仔细讨论一下，受迫振动所给出的振幅和相位随频率变化的情况。 上式中无论选ω或ω0 作变量，位移和速度的振幅都有一个极大值。阻尼越小峰值越尖锐。这种现象叫做共振。

共振 这里应注意到，在力学里和电学里考察的着眼点还有所不同。在机械的振动系统里，往往系统的固有频率ω0 是固定的，驱动力的频率ω可以调节；此外，机械振动系统中的位移是比较容易观察并产生直接效果的。 然而，在振荡电路里，固有频率ω0 是可调的，驱动力是外来的讯号，其频率ω（电台信号）是给定的；此外，电路中重要的变量是电流，它相当于这里的速度。 所以，在力学里应着重考察位移随驱动频率ω的变化，而在电学里应着重考察电流（速度）随固有频率ω0 的变化。然而从功率的角度看，在任何情况里我们都应着重考察速度。

共振 1. 振幅共振 当 dB/dω= 0 时，B 最大，由(9.3.18)式知， 振幅 B 最大。此时称为达到振幅共振。 时，有 1. 振幅共振 当 dB/dω= 0 时，B 最大，由(9.3.18)式知， 振幅 B 最大。此时称为达到振幅共振。 时，有 共振时相移：

共振 1. 振幅共振 即位移落后于驱动力π/2 相位，而速度恰好与驱动力同相位。 1. 振幅共振 即位移落后于驱动力π/2 相位，而速度恰好与驱动力同相位。 功率 = F0 v，故此时外力永远做正功，效果是振幅越来越大。

共振 1. 振幅共振 B-ω图常称频率响应曲线或称共振曲线。当 Q > 1 时，所有的曲线都有一个峰，这就是共振峰。品质因素 Q 越大，曲线的峰越明显。共振峰 位于略小于

共振 2. 能量共振 既然外力供给振子的能量等于阻力消耗的能量（以维持振动），则振子得到的功率： 2. 能量共振 既然外力供给振子的能量等于阻力消耗的能量（以维持振动），则振子得到的功率： 当 dP/dω= 0 时，P 最大，此时称为能量共振。由(9.3.19)可得， ω=ω0 时能量共振。 共振时强迫力的功率时刻与阻力的功率相抵，因而振子的机械能恒定不变。这时振子以固有频率振动，犹如一个不受阻力的自由振子，故动能与势能之和与时间无关。同时，共振时强迫力与速度同位相，因而时刻对体系作正功，这正是共振开始时振幅急剧增大的原因所在。但随着振幅的增大，阻力的功率也不断增大，最后与强迫力的功率相抵，遂使振子的振幅保持恒定。

共振 2. 能量共振 与振幅共振不同的是，能量共振时ω和ω0 严格相等，如图所示。

共振 3. 共振峰的锐度，Q 的第二种意义 通常用锐度来描写共振曲线的尖锐程度，共振峰锐度定义为： 称为共振峰宽度。

共振 3. 共振峰的锐度，Q 的第二种意义 当β很小时，由 从(9.3.18)式得 故

共振 4. 系统放大倍数，Q 的第三种意义 由(9.3.14)式知，当ω≈ 0 时，振幅 我们定义系统放大倍数 其中 Br 为共振时的振幅，由(9.3.18)式知， 代入(9.3.23)式得 于是系统放大倍数恰等于品质因数。这是 Q 值的第三种意义。

点绛唇 [李清照] 蹴罢秋千， 起来慵整纤纤手。 露浓花瘦， 薄汗轻衣透。 LC振荡电路 点绛唇 [李清照] 　蹴罢秋千，  　　起来慵整纤纤手。  　　露浓花瘦，  　　薄汗轻衣透。  　　  　　

部队过桥 次声波武器 （频率低于20Hz的声波 ）

四、机械波 如果在空间某处发生的扰动，以一定的速度由近及远向四处传播，则称这种传播着的扰动为波。机械扰动在弹性介质内的传播形成机械波（弹性波）。

机械波的产生和传播 由连续不断的、无穷个质点构成的系统，若其各部分有相互作用力而且可以有相互运动，称为连续媒质。若连续媒质之间的相互作用力是弹性力，则称为弹性媒质。 机械波特点： 机械波是一种机械运动形式，必须具备两个条件：振源和弹性媒质； 2. 波是指媒质整体所表现的运动状态； 波的传播是质点振动状态的传播过程，亦即振动位相的传播过程，而所有的质点都仍在各自的平衡位置附近振动。

机械波的产生和传播 在弹性媒质中，可以设想各质点（质元）有一个平衡位置，它一离开平衡位置，即受到各附近质点的指向平衡位置的合力。质元间的相互作用（如弹性）使波得以传播，质元的惯性使波以有限的速度传播。引起媒质振动的振动物体称为波源。 弹性媒质形变分类： 切变：物体受力后层间发生位移的现象称为切变。切变物体企图恢复原状而产生的弹性力称为切变弹性。 张变：媒质伸长或压缩这种变形称为张变。张变物体企图恢复原状而产生的弹性力称为张变弹性。

波的分类 如果波源振动方向与波的传播方向垂直，就会形成周期性峰、谷的传播。这样的波称为横波。其具体形成过程如图所示。 1. 按传播方式

波的分类 横波传播条件：媒质具有切变弹性。 1. 按传播方式 液体内部、气体不能产生切变弹性力，故液体内部和气体中不能传播横波。 1. 按传播方式 液体内部、气体不能产生切变弹性力，故液体内部和气体中不能传播横波。 野鸭的水波实验

波的分类 1. 按传播方式 如果波源振动方向与波的传播方向平行，就会形成周期性疏、密的传播，这就是纵波。纵波的形成过程如图所示。

声波与声纳技术

波的分类 2. 按空间形状 如果波在各向同性的均匀无限介质中传播，那么，从一个点波源发出的扰动，经过一定时间后，扰动将到达一个球面上，如果扰动是周期性的，介质中各处也相继发生同频率的周期性扰动。介质中振动位相相同的点的轨迹称为波阵面，简称波面。最前面的波阵面称为波前。波阵面是球面的波称为球面波，在离波源足够远处，在观察的不大范围内，球面可看成平面，这种波就称为平面波，自波源出发且沿着波的传播方向所画的线叫波线，在各向同性介质中，波线与波面互相垂直。

波的分类 2. 按空间形状

波的分类 3. 按波源振动方式 波源作周期振动形成的波称为周期波。 波源作间歇振动形成的波称为脉冲波。 波源作简谐振动形成的波称为简谐波。 3. 按波源振动方式 波源作周期振动形成的波称为周期波。 波源作间歇振动形成的波称为脉冲波。 波源作简谐振动形成的波称为简谐波。 波的叠加原理－独立传播特性

平面简谐波 如果波源作简谐振动，介质中各质点也将相继作同频率的简谐振动，这样形成的波叫简谐波。如果波面为平面,则这样的波称为平面简谐波。由于平面简谐波的波面上每一点的振动和传播规律完全一样，故平面简谐波可以用一维的方式来处理。 如图所示，设一简谐波沿正 x 方向传播，已知在 t 时刻坐标原点 O 处振动位移的表式为

平面简谐波 于是 P 点的位移为 v 称为波的位相速度，也称为波速，它表示单位时间某一振动相位所传播的距离。 上式就是简谐波的运动学方程。由于波是向右传播的，又称为右行波。令 λ称为波长，它表示振动在一个周期中传播的距离。

平面简谐波 由于 令 k 称为波数，它表示在 2π米内所包含的波长数。于是简谐波方程又可以写成： ω―时间周期性 k―空间周期性

平面简谐波 是和时间有关的量 是和空间有关的量 其对应关系为： 时间 t： 圆频率ω 周期 T 空间 x： 波数 k 波长 λ 而它们由波速相互联系： 若 v 与ω无关，则称波是无色散的。

平面简谐波 简谐波运动学方程的物理意义： 波的运动学方程是一个二元函数，位移既是时间 t 的函数，又是位置 x 的函数。 当 x 一定，y 仅为 t 的函数，例如 x = x1 时，即盯住某一位置看， 它表示 x = x1 这一质点随时间作简谐振动，时刻 t 和 t + T 的振动状态相同，说明波动过程在时间上具有周期性，振动的周期（频率）和振幅与波源相同，位相落后

平面简谐波 简谐波运动学方程的物理意义： 2. t 一定，则 y 仅为 x 的函数，当 t = t1 时 其中 表示任一时刻各质点离开平衡位置的位移的分布。可以看出，波动过程在空间上具有周期性，波长就是波动的空间周期。

平面简谐波 简谐波运动学方程的物理意义： 3. y 一定，则波表达式的宗量 即波的位相一定， 则随着时间的增加，波必须在空间传播一定的距离。将上式对时间求导，得 vp 称为波的位相速度，简称相速。它表示确定的位相在单位时间内传播的距离。

平面简谐波 简谐波运动学方程的物理意义： 将以上各方程中的 v 换成 -v，即得向坐标轴负向传播的平面简谐波的运动学方程为 该波又称为左行波。

平面简谐波 简谐波运动学方程的物理意义： 波速为波在媒质中传播的速度，它是振动位相在媒质中传播的速度，它不同于波线上各质元绕平衡位置的振动速度。波速对于均匀各向同性媒质而言是一个常数，而各质元的振动速度和加速度则是时间的函数，为：

平面简谐波 简谐波运动学方程的物理意义： 6. 在空间中传播的平面简谐波的运动学方程为 6. 在空间中传播的平面简谐波的运动学方程为 其中 k 称为波矢，它是一个矢量，而它的绝对值就是波数。

波动方程和波的传播速度 一般形式的波动方程 将波的运动学方程，对时间t 和空间x分别求二阶偏导数，以 v 表示波的相速度，可得一般形式的波动方程： 对于在三维空间中传播的波，若以 B (r, t) 表示其振幅矢量，则波动方程为： 如果弹性介质中的波速只与介质的参量有关，而与所传播的简谐波的频率无关。这样的波为无色散波。

波动方程和波的传播速度 声波的速度： 对于15o，一个大气压的空气 代入上式得v = 289米/秒，而实验测得的声速约为 v = 340米/秒，相差竟达 20% 之多！这个矛盾一个世纪内竟无法解释。后来才有人指出，不应该忽略了空气在传声中，一伸一缩，其温度，因而其弹性，都有变化的缘故，该问题才告解决。这个问题，我们留待热学中再探讨。