第2节 空间几何体的表面积与体积
最新考纲 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
编写意图 空间几何体的表面积与体积是历年必考的重点和热点,多与几何体的三视图相结合,也出现在立体几何的解答题中,试题难度不大,本节主要内容是几何体表面积和体积的计算,几何体表面距离的最值问题及翻折问题.重点突破了已知三视图求表面积、体积问题及多面体与球相接、切问题,体会了割补法在表面积、体积计算中的应用.
夯基固本 考点突破 思想方法
夯基固本 抓主干 固双基 知识梳理 空间几何体的表面积和体积公式如下
质疑探究:将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平分别会得到什么图形? (提示:矩形、扇形、扇环)
基础自测 A B 1.(2014高考福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) 1.(2014高考福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) (A)2π (B)π (C)2 (D)1 解析:所得圆柱体的底面半径为1,母线长为1,所以其侧面积S=2π×1×1=2π,故选A. A 2.(2014河北省唐山二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) B
D
4.(2014高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.
5.(2015大连月考)一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92,则h= . 答案:4
考点突破 剖典例 找规律 考点一 几何体的表面积
反思归纳 (1)由空间几何体的三视图求其表面积,应先画出其直观图确定各面的形状,再根据三视图中的量度进行计算. (2)多面体的表面积是该几何体各个面的面积之和;求组合体的表面积时,应注意重合部分面积的处理.
答案:(1)D (2)12
考点二 几何体的体积
反思归纳 (1)简单几何体的体积可直接代入公式求解,如柱体、锥体、台体及球的体积等; (2)求解组合体的体积,应根据组合体的结构特征,利用分割法、补形法将其转化为规则几何体的体积求解. (3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.
(2)三棱锥中有五条棱长都是5,另一条棱长是6,则它的体积是 .
考点三 与球有关的表面积、体积问题
答案:(1)A (2)12π
反思归纳 (1)解决与球有关的问题的关键是在球中球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆周上一点的连线、该点与球心的连线构成一个直角三角形. (2)解决球与多面体(旋转体)接切问题的关键是确定球心在多面体(旋转体)中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素之间的关系,有时将多面体补形为正(长)方体再求解.
考点四 折叠与展开问题
反思归纳 (1)解决折叠问题时,要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化,哪些没有发生变化. (2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为平面上两点间的最短距离.
助学微博 1.求解几何体的表面积时应注意其表面的构成,区分侧面积与表面积,更要注意组合体的表面构成中重叠与挖空部分面积的处理;求旋转体的侧面积时,一般采用转化思想即将侧面展开化为平面图形求解. 2.求体积的常用方法:(1)公式法;(2)等积法;(3)割补法:将不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体. 3.解决与球有关的切、接问题的关键是充分利用几何体的特征(尤其是对称性)寻找圆心及半径、有时可构造长(正)方体简化运算.
思想方法 融思想 促迁移 割补法求几何体体积
方法点晴 当所给几何体的体积不好计算时,可根据几何体的结构特征将其分解成多个体积可求的几何体,或补形成体积可求的几何体,这种解法就是割补法,割补法求体积,体现了转化与化归思想的运用.
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