四种命题的相互关系

教学过程： 一、复习引入： 1.四种命题及其形式 原命题： 否命题： 逆命题： 逆否命题： 若p , 则q； 若p，则q； 若q，则p；

解：逆命题：若 x = 2， 则 x2-3x +2 =0 否命题：若 x2-3x +2 0, 则 x  2 的逆命题、否命题、逆否命题？ 解：逆命题：若 x = 2， 则 x2-3x +2 =0 否命题：若 x2-3x +2 0, 则 x  2 逆否命题：若 x  2, 则 x2-3x +2 0

解：逆命题：若 x,y全为0，则 x2+y2 =0 否命题：若 x2+y2 0, 则 x ,y不全为0 为0”的逆命题、否命题、逆否命题？ 解：逆命题：若 x,y全为0，则 x2+y2 =0 否命题：若 x2+y2 0, 则 x ,y不全为0 逆否命题：若 x ,y不全为0, 则 x2+y2 0

二.讲解新课. 1．四种命题的相互关系 互逆 若B,则A 若A,则B 互否 互否 互为逆否 互为逆否 互逆 若A,则B 若B,则A 互逆

互逆 逆命题 原命题 互否 互否 互为逆否 互为逆否 互逆 否命题 逆否命题 互逆

2．四种命题的真假关系 例：判断以下四种命题的真假 原命题：若四边形ABCD为平行四边形，则对角线互相平分。 真 逆命题：若四边形ABCD对角线互相平分，则它为平行四边形； 否命题：若四边形ABCD不是平行四边形，则对角线不平分； 逆否命题：若四边形ABCD对角线不平分，则它不是平行四边形； 真 真 真

例：命题“若 a=0, 则 ab=0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假。 解： 逆命题：若 ab=0 则 a=0 （假） 否命题：若 a  0 则 ab 0 （假） 逆否命题：若 ab 0 则 a  0 （真）

四种命题的真假性： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假

四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

练习： 设原命题是 “当c>0时，若a>b，则ac>bc”， 写出它的逆命题、否命题与逆否 命题，并分别判断它们的真假.

解：逆命题： 当c>0时，若ac>bc，则a>b. 它是真命题； 否命题： 当c>0时，若ab则ac bc. 它是真命题； 逆否命题：当c>0时，若acbc 则ab 它是真命题.

1.写出下列命题的否命题，并判 断原命题及否命题的真假： (1)如果x＞－3，那么x＋8＞0 (2)如果一个三角形的三边都相等， 那么这个三角形的三角都相等． (3)矩形的对角线互相平分且相等． (4)相似三角形一定是全等三角形．

解：(1)否命题是：“如果 x≤－3， 那么x＋8≤0” 原命题为真,否命题为假． (2)否命题是：“如果一个三角形 的三边不都相等，那么这个三 角形的三角不都相等”. 原命题为真,否命题也为真

(3)否命题是：“如果四边形不是矩 形，那么对角线不互相平分或 不相等” 原命题是真，否命题也是真 (4)否命题是“不相似的三角形一定 不是全等三角形．” 原命题是真，否命题是假

2.写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假． (1)若x2＝1，则x＝1． (2)对顶角相等． (3)等腰三角形的两腰相等． (4)x2＋2x＋8＞0的解集为空集

解(1)逆命题是:若x＝1，则x2＝1 (2)逆命题是:如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 (3)逆命题是:如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形 (4)逆命题是:空集是x2＋2x＋8＞0的解集

3．命题“若 x = y 则 |x| = |y|”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假。 逆命题：若 |x| = |y| 则 x = y （假， 如 x = 1, y = 1） 否命题：若 x  y 则 |x| |y| （假，如 x = 1, y = 1） 逆否命题：若 |x|  |y| 则 x  y （真）

这表明：原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题。 问题:在三角形ABC中，若∠ C是直角，那么∠ B一定是锐角。 证明：若∠B不是锐角，即是直角或钝角， 当∠B是直角时，有：∠C+∠B=180 ° 此时∠A=0°； 当角B是钝角时，有：∠C+∠B>180°，此时∠A+∠B+∠C>180° 这表明：原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题。

三、原命题与逆否命题的等价性 的应用 证明：若 ，则

证明：若x , y中至少有一个不为0， 设 ，则 ，所以 这与已知条件 矛盾 故 即原命题的逆否命题为真， 从而原命题为真

练习： 若 则 提示：设 代入

课堂小结： 1、四种命题之间的相互关系； 2、四种命题的真假性之间的真假关系；

课后作业： 1、课本P8 ：A3、4．

附加题:已知a、b、c是一组勾股数（即a2+b2=c2）,求证：a、b、c不可能都是奇数。 ∵a、b、c都是奇数， ∴ a2、b2、c2也 都是奇数, ∴ a2+b2是偶数，而c2又是奇数，得a2+b2≠c2. 所以a、b、c不可能都是奇数。

教学目的： 1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假。 2．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想 教学重点：理解四种命题的关系。 教学难点：逆否命题的等价性。

4、若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的 命题？ P:若A则B r:若A则B S:若B则A t:若B则A

三、原命题与逆否命题的等价性的应用 例、证明：若p2+q2=2,则p+q≤2 分析：要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题为真命题。

证明：若p+q>2,则 所以p2+q2≠2, 这表明：原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题。

这表明：原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题。 证明：如果a>b>0,那么 证明:若 不大于 ，则 或者 , ∵a>0，b>0 又 这表明：原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题。

证明：若方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等的实数根，则 b2-4ac>0. 这表明：原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题。