四种命题

同位角相等，两直线平行。 两直线平行，同位角相等。 单击实现动画　

同位角相等， 两直线平行。 原命题： 互逆命题 条件 结论 相 同 两直线平行， 同位角相等。 逆命题： 单击实现动画　 条件 结论

同位角相等，两直线平行。 同位角不相等，两直线不平行。

原命题： 同位角相等， 两直线平行。 互否命题 条件 结论 条件的否定 结论的否定 同位角不相等， 两直线不平行。 否命题： 结论 条件　

同位角相等，两直线平行。 两直线不平行，同位角不相等。 单击实现动画

原命题： 同位角相等，两直线平行。 互为逆否命题 条件 结论 否 定 逆否命题： 两直线不平行，同位角不相等。 条件 结论

同位角相等，两直线平行。 两直线平行，同位角相等。 同位角不相等，两直线不平行。 两直线不平行，同位角不相等。 原命题： 逆命题： 否命题： 逆否命题：

原命题：若P，则q. 逆命题： 若q, 则p. 否命题：　 若┐P ，则┐q。 逆否命题： 若┐q ，则┐P 。

例1　把下列命题改写成“若P则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题： （1）　负数的平方是正数；

（1）负数的平方是正数。 解：原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数。 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数。 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数。 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数。

把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题。 （1）末位是0的整数，可以被5整除； （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

（1）末位是0的整数，可以被5整除； 解：原命题可以写成：若一个整数的末位是0，则它可以被5整除； 逆命题：若一个整数可以被5整除，则它的末位是0。 否命题：若一个整数的末位不是0，则它不可以被5整除。 逆否命题：若一个整数不可以被5整除，则它的末位不是0。

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 解：原命题可以写成：若一点为线段的垂直平分线上的点，则它与这条线段两个端点的距离相等； 逆命题：若一点与这条线段两个端点的距离相等，则此点在线段的垂直平分线上。 否命题：若一点不为线段的垂直平分线上的点，则它与这条线段两个端点的距离不相等。

逆否命题：若一点与这条线段两个端点的距离不相等，则此点不在线段的垂直平分线上。

逆命题 若q则p 原命题 若p则q 互　逆 逆　否 互　为 互 否 互 否 互　为 逆　否 否命题 若┐p则┐q 互　逆 逆否命题 若┐q则┐p

(真) 1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 (真) 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 (真) 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真) 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 (假) 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真) 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。 （假） 逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 （真） 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 （真） 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 （假） 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。 （假） 逆命题：若a2>b2, 则a>b。 （假） 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 （假） 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。 （假）

总结： 命题不一定为真。 （1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 （1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否 命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 逆否命题不一定为真。 想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？ 即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。

练一练 1.判断下列说法是否正确。 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； （对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错） 2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答：0个、2个、4个。 如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 （假） 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 （假） 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 （假） 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。 （假）

逆命题：如果一个四边形四边相等，那么它是正方形。 例题:分别写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题：并判断真假 （1）正方形的四边相等。 逆命题： 若X2－３Ｘ＋２＝０， 则Ｘ＝１或Ｘ＝２ 。 否命题：如果一个四边形不是正方形，那么它的四条边不相等。 原命题： 如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等。 否命题： 若Ｘ１且Ｘ２， 则Ｘ２－３Ｘ＋２ ０。 逆否命题：如果一个四边形四边不相等，那么它不是正方形。 （2）若X=1或X=2， 则X2－3X+2=0。 逆否命题： 若X2－３Ｘ＋２  ０， 则Ｘ１且Ｘ ２ 。

例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、 逆否命题，并分别指出其真假。 分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. （真） 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0. （假） 小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。

结论1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P则Q”的形式） 注意：三种命题中最难写 的是否命题。 结论2：（1）“或”的否定为“且”， （2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。

例题讲解 例1：设原命题是：当c>0时，若a>b，则ac>bc. 写出它的逆命 题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的真假。 分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 （真） 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. （真） 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.

利用原命题与逆否命题的等价性解题 证：只需证其等价命题：若AB＝AC，则BD＝CE。 已知BD、CE分别是ΔABC的∠B、∠C的角平分线，BD≠CE。 求证：AB≠AC 证：只需证其等价命题：若AB＝AC，则BD＝CE。

写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。 1 任意n∈N,若n是完全平方数，则√n ∈N 练习A 写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。 1 任意n∈N,若n是完全平方数，则√n ∈N 任意，a,b ∈R，如果a=b,则a2＝ab 任意x,q ∈R，如果q>0，则x2+x-q=0有实根 任意x，y ∈R，如果xy＝0，则x＝0或y＝0 如果四边形实菱形，则它的对角线互相垂直 ----

练习B 写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假 1如果四边形是平行四边形，那么它的一组对边平行且相等 2 设x ∈R，如果AB=Xcd,则AB与CD共线。 如果一个函数是偶函数，则它的图像关于y轴成轴对称图形。 如果一个函数是奇函数，则它的图像关于坐标原点成中心对称图形。