1.1.3 四种命题的相互关系

１、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。 三个概念 ２、互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。 ３、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。

原命题： 若p 则q 逆命题： 若q 则p 否命题： 若 p 则 q 逆否命题： 若 q 则 p

观察与思考 ？ 你能说出其中任意两个命题之间的关系吗?

四种命题的真假 看下面的例子： 1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 (真) 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 (假) 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假) (真) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 （假） 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。 （真） 逆命题：若ac2>bc2,则a>b。 （真） 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 （假） 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。

1、四种命题之间的 关系 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 互为 逆否 若p则q 若q则p 互逆 互否 互否 若﹁p则﹁q 若﹁q则﹁p 互为 逆否 否命题 若﹁p则﹁q 逆否命题 若﹁q则﹁p 互逆

一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 假

总结： 想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？ 即(1)原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。 （1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。 想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？ 即(1)原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。 (两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).

练一练 1.判断下列说法是否正确。 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； （对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错） 2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答：0个、2个、4个。 如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 （假） 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 （假） 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 （假） 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。 （假）

例1：设原命题是：当c>0时，若a>b, 则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的真假。 例题讲解 例1：设原命题是：当c>0时，若a>b, 则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的真假。 分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 （真） 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. （真） 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.

例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。 分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. （真） 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0. （假） 小结： 在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。

反证法

引例 证明：一个三角形中不能有 两个角是直角． 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能 有两个角是直角．

反证法的一般步骤： 假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 反设 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 归谬 (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。 结论

反馈练习 用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. x=a x=b x=a (x-a)(x-b)=0 x=b 证明 假设_________或_________, 由于____________时,_________________, 与 (x-a)(x-b)≠0矛盾, 又_________时,_________________, 与(x-a)(x-b)≠0矛盾, 所以假设不成立, 从而______________________. x=a x=b x=a (x-a)(x-b)=0 x=b (x-a)(x-b)=0 x ≠a且x ≠b

例 1 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 证明： 假设弦AB、CD被P平分， 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分. P O B A D C 证明： 假设弦AB、CD被P平分， 由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有 OP⊥AB，OP⊥CD， 即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。 所以，弦AB、CD不被P平分。

所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立。 O B A C 证法二 证明: 假设弦AB、CD被P点平分, 连结 AD、BD、BC、AC, 因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ABCD是平行四边形，而圆内接平行四边形必是矩形，则其对角线AB、CD必是⊙O的直径，这与已知条件矛盾。 所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立。

例 2 证明:

演练反馈 用反证法证明: 若方程ax2+bx+c=0 (a ≠0)有两个不相等的实数根, 则b2-4ac>0. 2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是 直角,则∠B一定是锐角.

总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论 2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．

4.小结： 用反证法证明过程中推理论证是要得出矛盾 矛盾有三种可能： (1)与原命题的条件矛盾； (2)与定义、公理、定理等矛盾； (3) 与结论的反面成立矛盾(自相矛盾). 反证法的基本思想： 通过证明原命题的否定是假命题，说明原命题是 真命题.