第2讲 命题及其关系、充要条件
知 识 梳 理 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的 语句叫做命题，其中判断为 的语句叫真命题，判断为 的语句叫假命题． 判断真假 真 假
2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的 ， q是p的 ； (2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的 ． 相同 充分条件 必要条件 充要条件
[感悟·提升] 1．一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念．否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)，如(1)把否命题错看成是命题的否定．
规律方法 (1)在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题． (2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变． (3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例． (4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
【训练1】 (2013·吉林白山二模)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是________．
考点二 充分条件、必要条件的判断 【例2】 (1)(2013·福建卷改编)设点P(x，y)，则“x＝2且 y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的_______条件． (2)(2013·济南模拟)如果a＝(1，k)，b＝(k,4)，那么“a∥b”是“k＝－2”的________条件． 解析 (1)当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0， 但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2 且y＝－1， ∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件．
(2)因为a∥b，所以1×4－k2＝0，即4＝k2，所以k＝±2.所以“a∥b”是“k＝－2”的必要不充分条件． 答案 (1)充分而不必要 (2)必要不充分
规律方法 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p
1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提． 2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．
[反思感悟] 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．