第4章 李雅普诺夫稳定性理论

4.2 李雅普诺夫意义下的稳定性 4.4 李雅普诺夫第二法 4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法 4.6 非线性系统李氏函数的求法 4.1 稳定性基本概念 4.2 李雅普诺夫意义下的稳定性 4.3 李雅普诺夫第一法 4.4 李雅普诺夫第二法 4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法 4.6 非线性系统李氏函数的求法

教学要求： 1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定 性概念 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳 定性分析方法 重点内容： 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别

研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。

经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系统)

俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。

主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程 的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数

4.1 稳定性基本概念 1.自治系统：输入为0的系统 =Ax+Bu(u=0) 2.初态 =f(x,t)的解为 初态 3.平衡状态： 系统的平衡状态 a.线性系统 A非奇异： A奇异： 有无穷多个

b.非线性系统 可能有多个 eg. 令

孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的领域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。

4.2 李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定 如果对每个实数 都对应存在另一个实数 满足 的任意初始态 出发的运动轨迹 4.2 李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定 如果对每个实数 都对应存在另一个实数 满足 的任意初始态 出发的运动轨迹 ，在 都满足：

则称 是李雅普诺夫意义下稳定的。 时变： 与 有关 定常系统： 与 无关， 是一致稳定的。 注意： －向量范数(表示空间距离) 欧几里得范数。

2.渐近稳定 1）是李氏意义下的稳定 2） 一致渐进稳定 3.大范围内渐进稳定性 对 都有

初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性。 线性系统(严格)：如果它是渐进稳定的，必 是大范围渐进稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。 非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 或其附近。

当 与 无关 大范围一致渐进稳定。 必要条件：在整个状态空间中只有一个平衡状态 不稳定性：不管 ， 有多小，只要 内由 出发的轨迹超出 以外，则称此平衡状态是不稳定的。

线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局部发散的轨迹。 若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。

4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 线性定常系统稳定性的特征值判据： 1）李氏稳定的充要条件： 即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。

非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。 设非线性系统状态方程： 在平衡状态 附近存在各阶偏导数，于是： --非线性函数

其中： --级数展开式中二阶以上各项之和)

上式为向量函数的雅可比矩阵。 令 则线性化系统方程为：

结论： 若 ，则非线性系统在 处是渐进稳定的，与 无关。 若 则不稳定。 若 ，稳定性与 有关， 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。

4.4 李雅普诺夫第二法(直接法) 稳定性定理： 设系统状态方程： 4.4 李雅普诺夫第二法(直接法) 稳定性定理： 设系统状态方程： 其平衡状态满足 ，假定状态空间原点作为平衡状态( )，并设在原点领域存在 对 x 的连续的一阶偏导数。

定理1：若(1) 正定； (2) 负定； 则原点是渐进稳定的。 说明： 负定 能量随时间连续单调衰减。 定理2：若(1) 正定； (2) 负半定； (3) 在非零状态不恒为零，则原点是渐进稳定的。

定理3：若(1) 正定； (2) 负半定； (3) 在非零状态存 在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。

说明： 系统维持等能量水平运动，使 维持在非零状态而不运行至原点。 定理4：若(1) 正定； (2) 正定 则原点是不稳定的。 说明： 正定 能量函数随时间增大， 在 处发散。

线性系统不稳定 非线性系统不一定 推论1：当 正定， 正半定，且 在非零状态不恒为零时,则原点不稳定。 推论2： 正定， 正半定，若 ， ，则原点是李雅普诺夫意义下稳定(同定理3)。 原点不稳定

几点说明： 选取不唯一，但没有通用办法， 选取不当，会导致 不定的结果。 这仅仅是充分条件。 --单调衰减(实际上是衰减振荡)

李氏第二法的步骤： 构造一个 二次型； 求 ，并代入状态方程； 判断 的定号性； 判断非零情况下， 是否为零。 渐进稳定 李氏稳定 不稳定

令 若 成立 李氏意义 下稳定 若仅 成立 渐进稳定

例1：已知非线性系统的状态方程为： 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。 解： 令 原点是唯一平衡点

设 则 定理1 负定 原点是渐进稳定的； 只有一个平衡状态，该系统是大范围渐进稳定； 由于V(x)与t无关，又是大范围一致渐进稳定。

几何意义： 等能量轨迹(整个平面)

例2：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 解：1) 令 即原点是平衡状态。 设

则： 负半定 其它 令 只有全零解 非零状态时 原点 是渐进稳定，且是大范围一致渐进稳定。 定理2

例3：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 解：由于 设 则 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。 则原点是平衡状态 定理3

例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 解: 即 设 则 可见 与 无关，故非零状态(如 )有 ，而对其余任意状态 有

故 正半定。 令 即非零状态时， 不恒为零，则原点不稳定即系统不稳定。 推论1

4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法 设系统状态方程为： 为唯一平衡状态。 --非奇异矩阵 设选取如下的正定二次型函数 为李氏函数 则： 设选取如下的正定二次型函数 为李氏函数 则： --非奇异矩阵 将 代入：

令 由渐进稳定性定理1，只要Q正定(即 负定)，则系统是大范围一致渐进稳定。 定理：系统 大范围渐进稳定的充要条 件为: 给定一正交实对称矩阵Q，存在唯一的正定实对称矩阵P使 成立，则 为系统的一个李氏函数。

方法1：给定P Q V(x)选取不定 Q不定。 给定正定Q P Q单位阵 p的定号性 方法2：Q取正半定(定理2)允许单位矩阵主对 角线上部分元素为零 负半定。

例1： 解：选取

P正定 是大范围一致渐进稳定

线性定常离散系统渐进稳定性判别 设系统状态方程： 其中 -非奇异阵， 是平衡状态。 设

令 李氏代数方程

定理：系统 渐进稳定的 充要条件为： 给定任一正定实对称阵Q，存在一个正实 对称P，使式 成立，则 是系统的一个李氏函数。 可取 定理：系统 渐进稳定的 充要条件为： 给定任一正定实对称阵Q，存在一个正实 对称P，使式 成立，则 是系统的一个李氏函数。 可取 Q=I，如果 且 Q为正半定阵。

4.6 非线性系统李氏函数的求法 对线性系统稳定性而言，局部渐进稳定与大范围渐进稳定概念相同，但非线性系统的稳定性则不然。 4.6 非线性系统李氏函数的求法 对线性系统稳定性而言，局部渐进稳定与大范围渐进稳定概念相同，但非线性系统的稳定性则不然。 在大范围内不是渐进稳定则在局部完全可能渐进稳定。可见非线性系统的稳定性具有局部性质。 因此在寻找李是函数时，需要确定平衡点附近邻域的最大稳定范围。具体介绍研究非线性系统李亚谱诺夫稳定性方法。 常见的方法：1、雅可比法；2、矩阵法；3、线性近似法；4、变量梯度法。具体介绍1、3法。

可见：⑴Q半负定，则系统稳定；⑵Q负定，则系统渐进稳定；⑶（ ） 时，V(x) 则系统大范围渐进稳定。

可见：要使系统稳定，使 负定，亦v(x)正定。

亦 且 可解出 为允许线性化范围