北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 2004-2005学年第二学期 欧阳顺湘 2005.4.12 大学文科数学 之 线性代数与概率统计 北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 2004-2005学年第二学期 欧阳顺湘 2005.4.12

概率统计初步

概率统计初步 概率基础 离散型、连续型随机变量 随机变量的数字特征——期望与方差 统计。。。 样本空间、事件与事件的概率 概率的计算 随机变量的分布、分不列、分布函数 离散型、连续型随机变量 随机变量的数字特征——期望与方差 统计。。。

第一讲 概率基础 概率统计应用 概率简史 概率基础 随机现象、随机试验 样本空间、样本点 随机事件 随机事件的概率

什么是概率论与统计学？ 概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学 统计学——关于收集和分析数据的科学和艺术

概率统计知识的应用 概率统计知识之所以重要是因为它们研究的是自然界以及社会生活中无所不在的随机现象. 概率论渗透到现代生活的方方面面 降水概率为60% 彩票、保险、投资风险、民意调查

概率简史 概率，机会的数学 在博弈游戏中存在着大量的随机性问题 一般说是源于博弈游戏

概率论的起源

机会游戏有着悠久的历史

希罗多德在他的巨著《历史》中记录到，早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起掷骰子，游戏发展到后来，到了公园前1200年，有了立方体的骰子，6个面上刻上数字，和现代的赌博工具已经没有了区别

身边的博弈 朝鲜 “英皇娱乐酒店”，“英皇赌场” 澳门 。。。 彩票 （在买彩票的路上发生交通事过的概率远高于中大奖的概率）

一般认为概率论的早期研究不会晚于文艺复兴时期 一般认为概率论的早期研究不会晚于文艺复兴时期.当时的欧洲正处于资本主义上升时期,商业贸易,海上交通日益发达,因而开始了与偶然性事故有关的财产, 寿命等保险事业. 与此同时,自然科学方面开普勒(Kepler 德国 1571-1630),伽利略 (Galilei 意大利 1564-1642)等人在各自的研究领域中也遇到了测量结果的偶然性偏差. 这些单纯用传统数学无法解决的问题,孕育着17世纪中叶概率论的诞生.但概率论的基本概念则是直接来自对一些特殊问题特别是赌博游戏的研究.

16世纪意大利学者卡丹（Cardan Jerome)与塔塔利亚（Tartaglia Niccolo)等人已 从数学角度研究过赌博的问题．例如，他们计算过掷两个或三个骰子，出现总数为9或10的可 能性的大小，卡丹还专门写过一本名叫《论赌博》的书． 第一个有意识地计算赌博胜算的是文艺复兴时期意大利的卡尔达诺，他几乎每天赌博，并且由此坚信，一个人赌博不是为了钱，那么就没有什么能够弥补在赌博中耗去的时间。他计算了同时掷出两个骰子，出现哪个数字的可能最多，结果发现是“7”

帕斯卡(Blaise Pascal,1623-62) 法国数学家. 著名数学家帕斯卡和费马的通信在概率论的早期研究中起着重要的作用 他们讨论了一些赌博者提出的问题, 由此奠定了现代概率论的基础. 帕斯卡(Blaise Pascal,1623-62) 法国数学家. 费马(Pierre de Fermat, 1601-65) 法国数学家

帕斯卡和费马曾经讨论过的 点数问题 在1654年7月29日帕斯卡给费马的信中, 他写道: ``德梅尔(De Mere)告诉我, 他发现了数论中一个错误, … . 这使得他如此愤怒, 以致对每一个人说这些命题是不一致的, 算术是自相矛盾的." 德梅尔是法国当时一位爱好数学而又热衷于赌博游戏的贵族.

他最初常常与别人玩``6点“的游戏: 投掷一颗均匀的骰子4次, 如果出现了6点, 则算德梅尔赢. 德梅尔由经验得知这样的游戏对自己稍微有利. 但是久而久之, 其他人逐渐意识到这样的游戏不公平, 并且拒绝和德梅尔玩这种游戏. 德梅尔只好改变游戏规则. 他约定: 投掷两颗均匀的骰子24次, 如果出现了一对6点, 则算德梅尔赢. 德梅尔推断在这两种游戏中他获胜的概率是相同的.

但后来的赌博经验告诉他, 两个骰子的游戏对他有些不利, 他渐渐开始输钱. 德梅尔注意到, 在这两种游戏中, 投掷的次数和总的可能结果数的比例是相同的 (在单个骰子的游戏中, 比例是4:6; 在两个骰子的游戏中, 比例是24:36). 但后来的赌博经验告诉他, 两个骰子的游戏对他有些不利, 他渐渐开始输钱. 德梅尔百思不得其解, 只好向他的朋友帕斯卡请教其中的道理. 而帕斯卡又将这个问题介绍给了他的朋友费马. 帕斯卡和费马分别用各自擅长的方法求解出了答案

概率论的进一步发展

1713年, 他的著作《猜度术》出版 建立了概率计算的基本法则. 他还研究了二项分布, 大数准则等 贝努里(Jakob Bernoulli, 1654~1705), 瑞士数学家.

棣莫弗在1733年的一篇文章中引入正态分布. 作为二项分布当试验次数增加时的近似 棣莫弗 Abraham de Moivre Born: 26 May 1667 in Vitry-le-François, Champagne, France Died: 27 Nov 1754 in London, England 棣莫弗在1733年的一篇文章中引入正态分布. 作为二项分布当试验次数增加时的近似

高尔顿钉板 高尔顿钉板上方是多排交错成三角状的钉子, 当小球(如豌豆)从上方往下落时, 在每一排碰到钉子后有两种可能的结果: 向左或向右拐后继续往下落, 直至落入下方的容器中. 小球落入各容器的可能性可以用二项分布列来刻画. 当许多小球从上往下落时, 各容器中的小球的多少(累积高度)便反映了二项分布取值的比例. 随着倾入的球的增加, 我们可以发现容器中小球呈中间多, 两端少的``钟形", 或说近似于正态曲线. 高尔顿钉板

拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace 1749~ 1827, 法国) 1812年出版的《概率的分析理论》 拉普拉斯推广了棣莫弗的结果, 证明了(早期特殊的)中心极限定理. 拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace 1749~ 1827, 法国)

高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855, 德国)

19世纪, 比利时统计学家魁特奈特在访问了巴黎, 了解到正态分布后, 倡导并身体力行将正态分布用于连续性数据的分析. 由于他的这一努力, 正态分布在19世纪的统计应用中大为流行. 有的学者说正态分布统治了19世纪的统计学, 并造出了``魁特奈特主义"这个名词. 魁特奈特

概率的公理化 Kolmogorov 1933 《概率论基本概念》 给出了概率的公理化定义 概率论以集合论为基础 柯尔莫戈洛夫 （1903-1987，俄罗斯）

概率论基本概念 样本空间 事件 事件的运算 事件的概率 随机变量 等

许多自然现象和社会现象大体可分为两种范畴 必然现象 （确定性现象） 随机现象 （偶然现象，不确定性现象）

确定性现象 确定性现象——在一定条件下必然发生的现象 例如 在海边生活（101 325 Pa）时，水加热到100℃时必然会沸腾 在没有外力作用的条件下，作等速直线运动的物体必然继续作等速直线运动; 在不受外力作用的条件下，作等速直线运动的物体改变其等速直线运动状态是不可能的

随机现象 随机现象——在一定条件下可能发生也可能不发生的现象 例如 抽样检查中抽到次品 同一仪器多次测量同一物体的重量，所得结果彼此总是略有差异，这是由于诸如测量仪器受大气影响，观察者生理上或心理上的变化等等偶然因素引起的

偶然性与必然性：人生无常？ 在我们生活的物质世界和社会环境中，我们无时无刻不面对不确定性，遭受各种自然灾祸，忍受着自然的不确定性。 佛教中的因果报应学说：没有必要去研究随机性，一个人的命运，是由人的前世的行动所决定的。

投掷一枚硬币：正面还是反面？ 如果你想知道结果（y）是正面（头）还是反面（尾），那你必须了解有关的几个因子及其大小： 投掷硬币的初始速度 x1 硬币的大小的测定x2 每次投掷硬币的力度x3 …… 以及 y 与 x1 x2 x3 …. 之间的关系 f

如果不知道 f 的确切形状 如果所有因子 x1, x2, x3 。。。的值不能确定 如果测量存在误差 就会产生误差 在许多科学研究中，往往采用理想条件。。。

在《自然哲学的数学原理》中牛顿写道： “全部哲学的任务看起来就在于这一点从——种种运动现象来研究各种自然力，再从这些力来表征其他现象；我愿我们能用同样推理方法，从机械原则导出其余的自然现象。”

斯宾诺莎曾以不容置疑的口气写道：“其所以说一物是偶然的，除了表示我们的知识有了缺陷外，实在没有别的原因。” 即理论和知识的不足可以经改进弥补而消除随机性 好比掷骰子，只要能针对每次投掷精确地搞清楚各种相关因素，就可以精确的确定是哪个面朝上，而代替统计学意义上每个面的六分之一概率。

偶然性并非是我们给我们的无知所取的名字。 ——彭加勒 偶然性并非是我们给我们的无知所取的名字。 ——彭加勒

决定论与非决定 决定论：所有自然界的现象都有预定的特点 决定论与非决定是本世纪著名的爱因斯坦与玻尔科学论战的焦点。 他们之间的分歧典型地表现在爱因斯坦给玻恩的一封信中：“你相信掷骰子的上帝，我却信仰客观存在的世界中的完备定律和秩序。”

决定论：拉普拉斯的“数学神灵” “数学神灵”被赋予具有无限的数学演绎的能力，如果在某一个时刻他知道刻画当时状态的所有量度时，这个神灵就可预测未来世界将要发生的一切事件。

假定給了我們在一瞬間宇宙中所有物質微粒的精確的質量、位置和速度，那麼我們在原則上能夠借助於牛頓力學計算過去所發生的一切和未來將發生的一切。這會包括所有人的身體運動，因此包括所有口頭或書面的詞句，所有詩歌，和將要寫出的所有音樂。計算可由機器進行。隻需把牛頓的運動定律和現存的初始條件編為程序輸入機器即可。它可能完全是聾的，而且不知道作曲的種種問題。但是它將能夠預測過去或未來的特定的作曲家會把什麼樣的黑色標記寫到空白五線譜紙上。

拉普拉斯在《概率论》引言中生动地描述：“让我们想象有个精灵，它知道在一定时刻的自然界里一切的作用力和组成这个世界的一切东西的位置；让我们又假定，这个精灵能够用数学分析来处理这些数据。由此，它能够得到这样的结果：把宇宙中最大物体的运动和最轻原子的运动都包括在同一个公式里。对于这个精灵来说，没有不确定的东西。过去和未来都会呈现在它的眼前。” 　

随机现象的统计规律 概率论研究对象——统计规律 随机现象虽然就每次观测来说具有不确定性，然而进行大量的观测后，其结果却呈现出一种完全确定的规律性。

两种试验 试验Ⅰ:从装有10个白球的袋中任取一球；(确定性现象） 试验Ⅱ:从装有黑白各5球的袋中任取一球.（随机现象）

随机试验 满足下述条件的试验称为随机试验E ： （可重复）试验可以在相同的条件下重复进行； （结果可知）试验的所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个； （结果随机）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.   例如：抛掷硬币、抛掷骰子、呼叫次数、灯泡寿命等等

样本点及样本空间 样本点——随机试验的每一个可能结果，用小写字母 ω （ omega ）表示 , 有时用具体符号表示 例1 掷骰子的样本点可写成：1,2,3,4,5,6 例2 掷硬币的样本点可写成：正（H）、反（T）. 样本空间——全体样本点组成的集合,用字母 Ω Omega 表示, 亦称基本空间. 如例1：={1,2,3,4,5,6}

样本空间

事件 事件域——由中若干子集组成的集合，用F表示. 例：投掷一枚硬币。。。 随机事件——事件域中的元素，用大写字母A,B,… 表示. 粗略地可看成样本点的集合。 例1：A={2,4},B={2,3,4},C={1,3,5},D={掷出奇数点}, G ={掷出偶数点} 均为的随机事件.   事件A发生——试验的结果ω A . 如例1：在试验中若掷出2点，那么事件A、B、G发生.

样本空间 可能的事件域? 最大的事件域? 用集合表示下列事件： 1。两次投掷结果相同 2。两次投掷结果不同 3。两次投掷没有一次正面出现

事件分类 基本事件——由一个样本点组成的事件，用字母表示； 如例1：基本事件为 . 复杂事件——由两个以上样本点组成的事件。 如例1：基本事件为 .   复杂事件——由两个以上样本点组成的事件。 如例1： A={2,4},B={2,3,4},C={1,3,5}, D={掷出奇数点}, G ={掷出偶数点} 均为复杂事件. 其中：事件称为必然事件. 不可能事件——指 Φ 事件. （Φ）

事件之间的关系与运算 事件集合 一一对应 事件的关系与运算相当于集合的关系运算 关系：子集、包含、 运算：+ - *

1 事件的包含 “A发生必导致B发生” 记为 AB 或者 B A

2 事件的相等 A＝B  AB且BA.

“事件A与B至少有一个发生”，记作AB 3.（和事件） 事件的并 “事件A与B至少有一个发生”，记作AB 3’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作

4.（积事件 ）事件的交 A与B同时发生，记作 AB＝AB 4’n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An

5.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生

6.互斥（互不相容）的事件 ：AB＝ 

7 事件的逆 互逆的事件 AB＝ , 且AB＝ 

8、事件的运算 1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：

表1 事件的运算律

　例１考虑教育局全体干部的集合，令Ａ为女干部，Ｂ为已婚女干部，Ｃ为具有硕士学历的干部 用文字说明 　　的含义 用Ａ，Ｂ，Ｃ的运算表示“硕士学历的单身女干部”　“不是已婚硕士的干部”

练习 Page 153 2 投掷一枚均匀的硬币3次, 用H表示正面朝上, T表示反面朝上. 写出该随机试验的样本空间Ω 写出该样本空间所对应的最大的事件域（即Ω 的所有子集形成的集合类） 用样本点的集合表示如下事件A,B,C,D,E，并由此求出 A-C, B-C, BC, CE, A+C, A+C+E, Ā. 三次投掷中没有出现反面朝上的 三次投掷中有正面朝上的 三次投掷中恰好有两次正面朝上 三次投掷中至少有两次正面朝上 三次投掷中恰好有一次正面朝上

3 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：

ＴＨＥ　ＥＮＤ

例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：