设立体介于x=a,x=b之间,A(x)表示过 立体的体积 一. 平行截面面积已知的立体体积 设立体介于x=a,x=b之间,A(x)表示过 点x且垂直于x 轴的截面面积. 取x为积分变量,其变化范围为[a,b]. 如图,体积微元为dV=A(x)dx, 则体积为 a b x 例1 如图,从圆柱体上截下一块楔形体, 求其体积.
解 如图,过x的截面是直角三角形, -R R y x o 边长分别为y和ytan .因此 则
例2 求以圆为底, 平行且等于底圆直径的线段为顶, 高为h的正劈锥体的体积. 解 如图, 过x的截面是等腰三角形, 例2 求以圆为底, 平行且等于底圆直径的线段为顶, x y o R h 高为h的正劈锥体的体积. 解 如图, 过x的截面是等腰三角形, 底边长为2y,高为h.因此 则
平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体 二. 旋转体的体积 平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体 称为旋转体. 设旋转体由图1的曲边梯形绕x轴形成. y x a b y=f(x) o 则如前所述,可求得截面面积 则 图1
例3 求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积. 图2 y c o x d x=(y) 同理,如旋转体由图2的曲边梯形绕y轴形成. 则体积为 例3 求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积. 图2 y o x P(h,r) 解 可求得过点O及P(h,r)的直线方程为 由公式得 图3
例4 求星形线 绕x轴旋转而成的立体体积 a x y 解 由对称性及公式
例5 求圆心在(b,0),半径为a(b>a)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积. x o b a 例5 求圆心在(b,0),半径为a(b>a)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积. 解 圆的方程为 ,则所求体积可视为 分别与直线y=-a,y=a及y轴所围成的 曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差. 则
例 证明：由平面图形 绕 轴旋转所成的旋转体的体积为 柱壳法——就是把旋转体看成是以y 轴为中心轴的 一系列圆柱形薄壳组成的， 以此柱壳的体积作为体积元素， 当dx很小时，此小柱体的高看作f（x）， 即为圆柱薄壳
在区间 上 柱壳体的体积元素为 平面曲线的弧长 若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上连续, 则称曲线y=f(x)为区间[a,b]上的光滑曲线, 光滑曲线可应用定积分求弧长.
[a,b]内任意小区间[x, x +d x]的一段弧长 可用相应的切线段近似代替.即 一.直角坐标情形 设光滑曲线方程: 取x为积分变量,变化区间为[a,b]. [a,b]内任意小区间[x, x +d x]的一段弧长 可用相应的切线段近似代替.即 o y x dy a b dx y=f(x) 则弧长微元(弧微分) 故弧长为
例1 求曲线 相应于x从a到b的一段弧长. 解
的全弧长. 例2 求 解 y=y(x)的定义域为 ,故弧长为: 二. 参数方程情形 则如前所述, 设光滑曲线方程: 弧长微元
例4 求星形线 的弧长. 解 由对称性及公式
三. 极坐标情形 设曲线方程:r=r() (). 化为参数方程: 则 例4 求阿基米德螺线r=a(a>0)上 相应于从0到2的一段弧长. 解