§3．9 曲 率 一、弧微分 有向弧段的值、 弧微分公式 二、曲率及其计算公式 曲率、 曲率的计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲率圆曲率半径
一、弧微分 有向弧段 的值 s(简称为弧s) ： M M0 ( s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． x y O M0 x0 M x y O M0 x0 M s>0 s<0
下面来求s(x)的导数及微分． 设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是 M0 M M x0 x x+Dx Dx Dy y O Ds
因为 1， 因此 由于ss(x)是单调增加函数，从而 于是 ds 这就是弧微分公式．
二、曲率及其计算公式 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系： M1 M2 N2 N1 ) j 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧 为Ds ，切线的转角为Da ． M0 M M Ds Da x y O a+Da ) a s C 平均曲率： 曲率：
曲率的计算公式： 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数． 因为tan a y ，所以 于是 从而，有
例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率． 解 因此，y|x11，y|x12． 曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ， 代入曲率公式，得 要使K 最大，只须2axb0， 对应的点为 抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ ． 提示：
三、曲率圆与曲率半径 曲线在M点的曲率半径 y r D M y=f(x) x O 曲线在M点的曲率圆 曲线在M点的曲率中心 曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系：
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？ O x y y=0．4 x2
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8． 把它们代入曲率公式，得 0．8． 抛物线顶点处的曲率半径为 所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过 2．50单位长．