Chapter 6 積分與其應用

6.1 反導數與不定積分 6.2 廣義乘冪律與替代法的積分 6.3 指數與對數的積分 6.4 面積與微積分基本定理 6.1　反導數與不定積分 6.2　廣義乘冪律與替代法的積分 6.3　指數與對數的積分 6.4　面積與微積分基本定理 6.5　兩圖形所圍成區域的面積 6.6　加總極限的定積分 6.7　旋轉體的體積 第六章　積分與其應用 P.6-1

6.1 反導數與不定積分 學習目標 了解反導數的定義，並利用不定積分表示反導數。 利用積分法則求反導數。 利用起始條件求不定積分的特解。 利用反導數求解現實生活的問題。 第六章　積分與其應用 P.6-2

反導數 在第三章我們學會解決這樣的問題：給定一函數，試求導數。可是，很多微積分的應用卻牽涉反向的問題：給定一導數，試求原函數。譬如，函數 f (x) = 3x2。在求函數 f 時，對於下列函數的合理猜測是 從導數來求原函數的運算，其實是微分的反向運算，稱為反微分或反導數 (antidifferentiation)。 第六章　積分與其應用 P.6-2

反導數 第六章　積分與其應用 P.6-2

學習提示 在本節中，「F(x) 為 f(x) 的反導數」同義於「F 為 f 的反導數」。 第六章　積分與其應用 P.6-2

F(x) = x3, G(x) = x3 － 5, 和 H(x) = x3 + 0.3 反導數 若 F(x) 為 f(x) 的反導數，則 F(x) ＋ C 也為 f(x) 的反導數，其中 C 為任意常數。譬如， F(x) = x3, G(x) = x3 － 5, 和 H(x) = x3 + 0.3 皆為 3x2 的反導數，因為它們的導數都是 3x2。所有 3x2 的反導數都是屬於 x3 ＋ C 的一般式。所以，反微分的過程並不只是找到單一函數而已，而是找到整個函數族，其成員之間只相差一常數。 第六章　積分與其應用 P.6-2

反導數  積分符號 計算反微分的過程也稱為積分 (integration)，記作 稱為積分符號 (integral sign)。  積分符號 稱為積分符號 (integral sign)。 第六章　積分與其應用 P.6-2

反導數 下列符號  f (x) dx 不定積分 是 f(x) 的不定積分 (indefi nite integral)，代表 f(x) 的整個反導數族；亦即，對於所有的 x，若 F (x) ＝ f(x) 為真， 則可寫成 第六章　積分與其應用 P.6-2~6-3

反導數 其中 f(x) 為積分函數 (integrand) 且 C 為積分常數 (constant of integration)。另外，不定積分的微分 dx 可辨識出積分的變數； 即符號  f (x) dx 的意義為「f 對 x 的反導數」。正如同符號 dy/dx 的意義為「y 對 x 的導數」 第六章　積分與其應用 P.6-3

求反導數 積分與微分互為反運算的性質可以符號表示為 也因為它們互為反運算的性質，所以可利用微分公式，直接推導得積分公式。 第六章　積分與其應用 P.6-3

求反導數 以下為已學過微分公式所對應的積分公式的整理。 第六章　積分與其應用 P.6-3

學習提示 在 6.2 節將要研究積分的廣義乘冪律，在 6.3 節則要研究積分的指數律與對數律。 第六章　積分與其應用 P.6-3

求反導數 請注意，基本乘冪律有個限制：n不能等於 －1，所以不能將該法則應用於積分 若要計算此積分，則須利用 6.3 節的積分對數律。 　若要計算此積分，則須利用 6.3 節的積分對數律。 第六章　積分與其應用 P.6-4

範例 1　求不定積分 求下列不定積分。 第六章　積分與其應用 P.6-4

範例 1　求不定積分 （解） 第六章　積分與其應用 P.6-4

學習提示 範例 1(b) 的積分  1 dx 常簡寫為  dx 的形式。 第六章　積分與其應用 P.6-4

檢查站 1 求下列不定積分。 a.  5 dx b. －1 dr c.  2 dt 第六章　積分與其應用 P.6-4

範例 2　求不定積分 第六章　積分與其應用 P.6-4

檢查站 2 求  5x dx 。 第六章　積分與其應用 P.6-4

求反導數 在求不定積分時，若只依據基本積分法則，很容易產生怪異的積分常數。譬如在範例 3，可能寫成 然而，因為 C 可為任意常數，所以沒有必要將積分常數寫成 3C，只要寫 就行了。 第六章　積分與其應用 P.6-4

求反導數 請注意，範例 2 中求積分的過程很類似於計算微分的流程。 第六章　積分與其應用 P.6-4

範例 3　積分前先改寫 第六章　積分與其應用 P.6-5

檢查站 3 求下列不定積分。 第六章　積分與其應用 P.6-5

求反導數 切記可利用微分來驗算反微分的問題。譬如在範例 3(b)中，若要檢查 是否為正確的反導數，將其微分可得 　運用五個基本積分法則，就可求出任意多項式函數的積分，如同下例所示。 第六章　積分與其應用 P.6-5

範例 4 多項式函數的積分 求 a.  (x + 2) dx 和 b.  (3x4 － 5x2 + x) dx 。 第六章 積分與其應用 範例 4　多項式函數的積分 求 a.  (x + 2) dx 和 b.  (3x4 － 5x2 + x) dx 。 第六章　積分與其應用 P.6-5

範例 4　多項式函數的積分 （解） 通常省略解答的第二行。 第六章　積分與其應用 P.6-5

範例 4　多項式函數的積分 （解） b. 第六章　積分與其應用 P.6-5

檢查站 4 求 a.  (x + 4) dx 和 b.  (4x3 － 5x + 2) dx。 第六章　積分與其應用 P.6-5

範例 5　積分前先改寫 求　　　　　。 第六章　積分與其應用 P.6-5

範例 5　積分前先改寫 （解） 首先將積分函數中的商改寫為分項和，再改寫每一項的乘冪為分數形式。 第六章　積分與其應用 P.6-6

學習提示 在求分式的不定積分時，切記不可將分子與分母的函數分別積分。譬如，在範例 5 中 不等於 第六章　積分與其應用 P.6-6

代數技巧 範例 5 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(a)。 第六章　積分與其應用 P.6-6

檢查站 5 求 　　　　。 第六章　積分與其應用 P.6-6

y = F(x) =  (3x2 － 1) dx = x3 － x + C 特解 方程式 y =  f (x) dx 有許多解，每個解之間也只有常數的不同。這說明 f 的任意兩個反導數的圖形是互為垂直平移的圖形。譬如，圖 6.1 為多個不同 C 值的反導數圖形，反導數的形式為 y = F(x) =  (3x2 － 1) dx = x3 － x + C 每一個反導數都是微分方程 dy/dx ＝ 3x2 － 1 的解。一個 x、y 的微分方程 (differential equation) 中包含 x、y 和 y 的導數，故 dy/dx ＝ 3x2 － 1 的通解 (general solution) 為 F(x) ＝ x3 － x ＋ C。 第六章　積分與其應用 P.6-6

特解 第六章　積分與其應用 P.6-6 圖6.1

特解 在許多積分的應用中，足夠的給定條件可求出特解 (particular solution)，藉由知道某個 x 的 F(x) 值就行 [這條件稱為起始條件(initial condition)]。譬如在圖 6.1 中，只有一曲線通過點 (2, 4)，因此，用下列的條件就能找出這一條曲線。 F (x) = x3 － x + C 通解 F (2) = 4 起始條件 　將起始條件代入通解，得 F(2) ＝ 23 － 2 ＋ C ＝ 4，即 C ＝ －2，所以特解為 F (x) = x3 － x － 2 特解 第六章　積分與其應用 P.6-6

範例 6　求特解 求 F (x) ＝ 2x － 2 的通解，再求滿足起始條件 F(1) ＝ 2 的特解。 第六章　積分與其應用 P.6-7

範例 6 求特解 （解） 首先以積分求通解。 F(x) = ∫ (2x － 2) dx 對 F (x) 積分得 F(x) 範例 6　求特解 （解） 首先以積分求通解。 F(x) = ∫ (2x － 2) dx 對 F (x) 積分得 F(x) = x2 － 2x + C 通解 利用起始條件 F(1) ＝ 2 可得 F(1) ＝ 12 － 2(1) ＋ C ＝ 2 即 C ＝ 3。所以特解為 F(x) = x2 － 2x + 3 特解 第六章　積分與其應用 P.6-7

範例 6　求特解 （解） 此解如圖 6.2 所示，其中每條灰色曲線為方程式 F (x) ＝ 2x － 2的某一解， 而黑色曲線是唯一通過點 ( 1 , 2 ) 的解， 也就是F (x) ＝ x2 － 2x ＋ 3 是滿足起始條件的唯一解。 第六章　積分與其應用 P.6-7

範例 6　求特解 （解） 第六章　積分與其應用 P.6-7 圖6.2

檢查站 6 求 F (x) ＝ 4x ＋ 2 的通解，再求滿足起始條件 F(1) ＝ 8 的特解。 第六章　積分與其應用 P.6-7

應用 在第三章中，自由落體的位置函數 (不計空氣阻力) 為 s(t) = －16t2 + v0t + s0 第六章　積分與其應用 P.6-7

範例 7　推導位置函數 從 80 呎高處將一球以每秒 64 呎的速度向上投擲 (如圖 6.3 所示)。試以 t (秒) 為變數，推導高度 s (呎) 的位置函數。試問此球在空中的時間會超過 5 秒嗎？ 第六章　積分與其應用 P.6-7

範例 7　推導位置函數（續） 第六章　積分與其應用 P.6-7 圖6.3

範例 7 推導位置函數（解） 令 t ＝ 0 代表起始時間，再利用給定的兩條件 s(0) = 80 起始高度為 80 呎 範例 7　推導位置函數（解） 令 t ＝ 0 代表起始時間，再利用給定的兩條件 s(0) = 80 起始高度為 80 呎 s (0) = 64 起始速度為每秒 64 呎 由於重力加速度為 －32 呎每秒平方，對加速度函數積分即可求得速度函數， s (t) = －32 重力加速度 s (t) =  －32 dt 對 s (t) 積分可求得 s (t) = －32t + C1 速度函數 第六章　積分與其應用 P.6-7~6-8

範例 7 推導位置函數（解） 利用起始速度為每秒 64 呎，可求得 C1 ＝ 64 s (t) = －32 + 64 速度函數 範例 7　推導位置函數（解） 利用起始速度為每秒 64 呎，可求得 C1 ＝ 64 s (t) = －32 + 64 速度函數 s (t) =  (－32 +64) dt 對 s (t)積分則可求得 s (t) = －16t 2 + 64t + C2 位置函數 再利用起始高度為 80 呎，可求得 C2 ＝ 80，所以位置函數為 s (t) = －16t 2 + 64t + 80 位置函數 第六章　積分與其應用 P.6-8

範例 7 推導位置函數（解） 令位置函數等於 0 解出 t，就是球落到地面的時間。 範例 7　推導位置函數（解） 令位置函數等於 0 解出 t，就是球落到地面的時間。 －16t2 + 64t + 80 = 0 令 s(t) 等於零 － 16 (t + 1)(t－5) = 0 因式分解 t =－ 1, t = 5 解 t 因為時間為正數，則此球丟出 5 秒後落到地面； 它在空中的時間不會超過 5 秒鐘。 第六章　積分與其應用 P.6-8

檢查站 7 從 48 呎高處將一球以每秒 32 呎的速度向上投擲，試推導該球的位置函數，試問何時球落到地面？撞擊地面的速度為何？ 第六章　積分與其應用 P.6-8

範例 8 求成本函數 生產某產品 x 單位的邊際成本函數可表示為 若生產一單位的費用為 $50，試求生產 200 單位的總成本。 範例 8　求成本函數 生產某產品 x 單位的邊際成本函數可表示為 若生產一單位的費用為 $50，試求生產 200 單位的總成本。 第六章　積分與其應用 P.6-8

範例 8　求成本函數 （解） 對邊際成本函數積分，即可求得成本函數 第六章　積分與其應用 P.6-8

範例 8 求成本函數 （解） 若要解出 K，則須利用起始條件：x ＝ 1 時，C ＝ 50。 範例 8　求成本函數 （解） 若要解出 K，則須利用起始條件：x ＝ 1 時，C ＝ 50。 50 = 32(1) － 0.02(1)2 + K 以 50 代入 C，1 代入 x 　18.02 = K 解出 K 故總成本為 C = 32x － 0.02x2 + 18.02 成本函數 於是生產 200 單位的總成本為 C = 32(200) － 0.02(200)2 + 18.02 = $5618.02 第六章　積分與其應用 P.6-8~6-9

學習提示 注意在範例 8 中，積分常數為 K，而非 C。如此的作法是避免製造常數 C 與成本函數的混淆。 C ＝ 32x－0.02x2＋18.02 第六章　積分與其應用 P.6-8

檢查站 8 生產某產品 x 單位的邊際成本函數可表示為 若生產一單位的費用為 $40，試求生產 200 單位的總成本。 第六章 積分與其應用 第六章　積分與其應用 P.6-9

總結 (6.1 節) 寫出反導數的定義，參考範例 1、2、3、4 及 5。 寫出常數律，參考範例 1。 寫出常數倍數律，參考範例 2。 寫出和律，參考範例 4。 寫出差律，參考範例 5。 寫出基本乘冪律，參考範例 2、3、4 及 5。 描述在現實生活中，如何利用反導數來求出成本函數 (範例8)。 第六章　積分與其應用 P.6-9