商用微積分 CH3 微分

微分的四個基本法則 法則1：常數的導函數 法則2：乘冪法則 法則3：函數有常數倍數的導函數 法則4：和法則 （c 為常數） 若n 為任意實數，則 法則3：函數有常數倍數的導函數 法則4：和法則 CH3 微分 第136-138頁

乘積法則及商法則 法則5：乘積法則 法則6：商法則 CH3 微分 第146-147頁

鏈鎖律 法則7：鏈鎖律 廣義乘冪法則 若h(x)= g[f(x)]，則 換言之，若已知 y = h(x) = g(u) ，其中u = f(x)，則 廣義乘冪法則 若函數 f 為可微且h(x)=[f(x)]n（n 為實數），則 CH3 微分 第154-155頁

廣義乘冪法則 若函數 f 為可微且 (n為實數)，則 CH3 微分 第頁

例6 令 ，求函數圖形上在點 的切線斜率。 CH3 微分 第157頁

解 在f的圖形上任意點的切線斜率為f'(x) ，要計算f'(x)時，我們可先運用廣義乘冪法則，接著再運用商法則，於是可得 CH3 微分 第157頁

解 由上式可知 f 在 的切線斜率為 CH3 微分 第157頁

邊際成本 在某一產量下，工廠每多生產一件商品時真正成本稱為邊際成本(marginal cost) 我們可用總成本函數的變化率做為邊際成本的近似值 經濟學家將邊際成本函數(marginal cost function)定義為總成本函數的導函數。換言之，若C為總成本函數，則其邊際成本函數為C' ，於是邊際一詞等同於導函數。 CH3 微分 第163頁

平均成本函數 令C(x)為總成本函數，則平均成本函數(average cost function)記為 〔讀做C bar of x〕且表示為 平均成本函數的導函數 稱為邊際平均成本函數(marginal average cost function)，也就是平均成本函數對產量的變化率。 CH3 微分 第164-165頁

收入函數 收入函數R為 在某一銷售量之下，邊際收入(marginal revenue)代表產品多售出一單位的真正收入。 我們可說R' (x)為邊際收入，於是將R' (x) 定義為邊際收入函數(marginal revenue function)，R的導函數R'正是收入函數的變化率。 CH3 微分 第167頁

利潤函數 我們接下來要談的是利潤函數，利潤函數P為 其中R 和C 分別為收入函數與成本函數，x 則為商品的產量及銷售量。邊際利潤函數(marginal profit function) P‘(x)代表售出第(x + 1)個產品時所得的利潤（或虧損）（假設已售出 x 個產品）。 CH3 微分 第167-168頁

需求彈性 令 f 為定義成 x ＝ f(p)的可微分需求函數，則在單價為 p 時的需求彈性(elasticity of demand)為 CH3 微分 第170頁

彈性需求 若E(p) ＞ 1，則稱為彈性(elastic)需求。 若E(p) ＝ 1，則稱為單位(unitary)需求。 若E(p) ＜ 1，則稱為非彈性(inelastic)需求。 CH3 微分 第171頁

彈性需求 1. 單價為 p 時，若為彈性需求[E(p)＞ 1]，單價的上漲會使收入減少，但單價下降會使收入增加。 CH3 微分 第171-172頁

圖13 CH3 微分 第172頁

高階導函數 函數 f 在 x 的一階、二階、三階……及n 階導函數分別記為 或 CH3 微分 第176頁

通貨膨脹率 令某經濟體系在a年至b年的消費者物價指數(consumer price index, CPI)可用函數 I(t)來表示（其中a ≤ t ≤ b），I 在t ＝ c 的一階導函數 I‘(c)（其中a ＜ c ＜ b），為 I 在c的變化率。而， 則是I(t)在 t ＝ c 時對t的相對變化率(relative rate of change)，代表該經濟體系在t＝c時的通貨膨脹率(inflation rate)。 CH3 微分 第178-179頁

隱微分 考慮方程式 若在 x 及 y 上加上適當的限制，則此方程式定義 y 為 x 的函數，在此例卻不容易將 y 明確表為 x 的函數。我們自然會問起，此時如何計算dy/dx？ 幸虧有鏈鎖律，我們可直接由隱函數形式的方程式來計算dy/dx，這種方法稱為隱微分(implicit differentiation) CH3 微分 第182頁

以隱微分求dy/dx 1.將式子的兩邊同時對 x 微分（注意：任何含 y 之項的導函數必有dy/dx的因子）。 CH3 微分 第183頁

例3 考慮方程式 x2+y2＝ 4。 a.以隱微分方法求dy/dx。 b.求函數 y =f(x)的圖形在點 的切線斜率。 c. 求(b)之切線方程式。 CH3 微分 第183頁

解 a. 將式子的兩邊同時對 x 微分，得 CH3 微分 第183-184頁

解 b.此函數在點 的切線斜率為 （註： 讀做dy/dx evaluated at 。） CH3 微分 第184頁

解 c.以斜率 及點 ，使用點斜式可得切線方程式為 切線的圖形在圖17中。 CH3 微分 第184頁

解 CH3 微分 第184頁

解 我們可將x2＋y2＝ 4 的式子，寫成顯函數的形式(y＝f(x))，即 現在，原方式定義兩函數： 點 並不在y＝g(x)的圖形上，所以本題的函數應為 f 的圖形為上半圓（原點為圓心且半徑為 2），如圖17所示。 CH3 微分 第184頁

解 註：符號 是用來表示dy/dx 在點(a, b)的值。 CH3 微分 第185頁

應用例題6 新成屋的變化率 根據全國不動產經紀人協會的研究，未來 5年內美國西南部新成屋數目 N(t)（以百萬計）與房貸利率r(t)（以每年的百分率計）的關係為 若已知房貸利率為每年11% 且以每年 1.5%的速率增加，求新成屋數目的變化率。 CH3 微分 第186頁

解 目前已知 而我們想求的是 dN/dt。先於原式中代入 r ＝ 11，得 CH3 微分 第186頁

解 或N ＝ 5/3（N不得為負）。再將原式的兩邊同時對 t 微分，得 再代入 N ＝ 5/3 及dr/dt ＝ 1.5 後得 CH3 微分 第186-187頁

解 解得dN/dt 為 這表示新成屋的數目是以每年50,000戶的速率減少。 CH3 微分 第187頁

求解相關變化率問題 1. 對各量指定一變數，若需要的話，畫圖以助思考。 2. 寫出各變數及其對 t 之變化率的已知值。 3. 求可表示變數之間的關係方程式。 4. 以隱微分將方程式的兩邊對t微分。 5. 代入第2 步驟的數值，再解方程式求得所需的變化率。 CH3 微分 第188頁

微分量 經濟學家想知道國家資本支出的些微增加，會如何影響國家的出口總額。 社會學家想知道增加房地產的投資，會如何影響犯罪率。 生意人想知道產品單價的些微調漲，會如何影響其利潤。 細菌學家想知道些微增加殺菌劑的量，會如何影響病菌的群體數。 CH3 微分 第192頁

增量 令x表某一變量且假設 x 由x1變至x2，則 x 的變化量稱為 x的增量(increment in x)，並記為∆x（讀做delta x），亦即 假設兩個變量x 和y 的關係式為y ＝ f(x)，其中f 為函數。當 x 的值由 x 變到 x ＋ ∆ x時，y 亦會有所改變，y的改變量稱為y的增量(increment in y)，記為∆y 並定義成 CH3 微分 第192-193頁

增量 CH3 微分 第193頁

增量 CH3 微分 第194頁

微分量 令y ＝ f(x)為x 的可微函數，則 1. 自變數 x 的微分量dx為dx ＝ ∆x。 2. 依變數 y 的微分量dy為 CH3 微分 第194頁

應用例題5 汽車速度對營運成本的效應 卡車在500哩的旅途上，以平均速度為v mph來行駛時的營運成本（以元計）為 當平均速度由55 mph增加到58 mph時，求營運成本的近似變化量。 CH3 微分 第196頁

解 已知v ＝ 55 且∆v ＝ dv ＝ 3，則 營運成本減少1.46 元，這說明了為何很多卡車司機經常超速（速限為55mph）。 CH3 微分 第196頁

第3章公式總整理 CH3 微分 第200-201頁

第3章公式總整理 CH3 微分 第200-201頁