生 物 统 计 学  第2章     概率基础 (1) 彭司华 2016年2月

第2章        概率基础 2.1 随机事件及其概率 概念 : 科学研究中，有一类试验可以在相同条件下重复进行，每次试验存在多种可能的结果，而究竟出现哪种结果在试验之前不能肯定，这类试验称为随机试验 随机试验中每个可能出现的不能再分解的结果称为基本事件或样本点，所有基本事件的集合称为基本事件空间或样本空间，记为Ω。 基本事件或由若干基本事件组成的复合事件在试验中出现与否具有随机性，即可能出现也可能不出现，因此，称这类事件为随机事件，常用A、B、C……表示 在随机试验规定的条件下，必然出现的事件称为必然事件 ,是由所有基本事件构成的复合事件，记为Ω 在随机试验规定的条件下，必然不出现的事件称为不可能事件 ,不可能事件是不包含任何基本事件的事件，记为Ф

事件的关系及运算 事件的和 事件的积 事件A与事件B至少发生一个的事件，称为事件A与事件B的和，记为A+B或A∪ B 事件A1，A2，…，An中至少发生一个的事件，称为事件A1，A2，…，An的和，记为 或 事件的积 事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积，记为AB或A∩B。AB是事件A与事件B所有公共样本点构成的集合 事件A1，A2，…，An同时发生的事件，称为事件A1，A2，…An的积，记为 或

事件A发生，而事件B不发生的事件称为事件A与事件B差，记为A-B。A-B是属于事件A，而不属于事件B的样本点构成的集合 事件的差 事件A发生，而事件B不发生的事件称为事件A与事件B差，记为A-B。A-B是属于事件A，而不属于事件B的样本点构成的集合 互斥事件 若事件A与事件B不能同时发生，即AB=Ф，则称事件A与事件B互斥。事件A与事件B互斥表示事件A与事件B没有公共样本点 类似地，若事件A1，A2，…，An中任意两个均互斥，即AiAj=Ф（i≠j），则称A1，A2，…，An两两互斥

若事件A的发生与否并不影响事件B发生可能性的大小，反之亦然，则称事件A与事件B为独立事件 对立事件 若事件A与事件B的和为必然事件，而事件A与事件B的积为不可能事件 ，即A+B=Ω，A∩B=Ф，则称事件A与事件B对立，记A的对立事件为 。 是由样本空间中不属于A的那些样本点构成的集合 独立事件 若事件A的发生与否并不影响事件B发生可能性的大小，反之亦然，则称事件A与事件B为独立事件 类似地，若事件A1，A2，…，An中任意两个均独立，则称事件A1，A2，…，An相互独立

Ω Ω Ω Ω Ω B 事件之间的关系图

概率的定义 古典定义 ：在随机试验中，如果基本事件的总数n为有限多个，且每个基本事件的发生是等可能的，事件A由其中m个基本事件所组成，则事件A的概率为： 统计定义：在相同条件下，重复某一试验n次，事件A发生的频率随着n的不断增大而在某个常数值（p）附近摆动，则称频率的稳定值（p）为事件A发生的概率，记为P（A），即： P（A）= p 对于任意事件A，恒有0≤P(A)≤1，且P（Ω）=1，P（Ф）=0。 在实际问题中，由于试验次数n不可能无限增大，因此，常将n充分大时，事件A发生的频率作为其概率的近似值，即

解： 概率的运算法则 加法法则 得： P（A+B）= 0.6 + 0.3－0.2 = 0.7 对于任意事件A、B，有：P(A + B) = P(A) + P(B)－P(AB) 若事件A与B互斥，则：P(A + B) = P(A) + P(B) 例3.1 从0、1、…、9十个数中抽取任一数的概率相等，即P（X=x）= 0.1。若事件A为抽中0、1、2、3、4、5，事件B为抽中4、5、6，求事件A与B的和的概率。 解： 得： P（A+B）= 0.6 + 0.3－0.2 = 0.7

乘法法则 例3.2 在10尾鱼中有3尾雌鱼，7尾雄鱼。按不放回抽样从中抽取2尾，每次抽取1尾，求“第一次抽得雄鱼，第二次抽得雌鱼”的概率。 对于两事件A、B 若P（A）>0，则有P（AB）=P（A）P（B/A） 若P（B）＞0，则有P（AB）=P（B）P（A/B） P（B/A）称为事件A发生条件下事件B的条件概率 P（A/B）称为事件B发生条件下事件A的条件概率 若事件A与事件B相互独立，则有P（AB）=P（A）P（B） 例3.2 在10尾鱼中有3尾雌鱼，7尾雄鱼。按不放回抽样从中抽取2尾，每次抽取1尾，求“第一次抽得雄鱼，第二次抽得雌鱼”的概率。 解：设A表示“第一次抽得雄鱼”，B表示“第二次抽得雌鱼”，则 若按放回抽样从中抽取2尾，每次1尾，则“第一次抽得雄鱼，第二次抽得雌鱼”的概率为：

全概率公式 设事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1+A2+…+An=Ω，P（Ai）＞0，事件B仅当任意Ai发生时才能发生，则有 例3.3 某鱼池中草鱼、鲢鱼、鲫鱼所占比例分别为50%、30%、20%，其病鱼率分别为1%，2%，4%。求从该鱼池中任意取出1尾是病鱼的概率。 解：设B表示“任意取出1尾是病鱼”，A1表示“取出的鱼是草鱼”，A2表示“取出的鱼是鲢鱼”，A3表示“取出的鱼是鲫鱼”，显然A1、A2、A3两两互斥，且A1+A2+A3=Ω。 依题意知：P（A1）=0.5，P（A2）=0.3，P（A3）= 0.2 根据全概率公式得：

贝叶斯公式 例3.4 在例3.3，若任取一尾鱼是病鱼，问此此病鱼来自草鱼、链鱼、鲫鱼的概率分别为多大？ 解： 设事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1+A2+…+An=Ω，P（Ai）＞0，事件B仅当任意Ai发生时才能发生，且P（B）＞0，有 例3.4 在例3.3，若任取一尾鱼是病鱼，问此此病鱼来自草鱼、链鱼、鲫鱼的概率分别为多大？ 解：

2.2 随机变量及其分布 概念 离散型随机变量 X x1 x2 … xi P（X= xi） p1 p2 pi 2.2 随机变量及其分布 概念 设E为一随机试验，Ω为其本空间。如果对于Ω中的每个样本点ω，都有一个确定的实数X（ω）与之对应，则称X（ω）为随机变量，简记为X。 随机变量通常用大写拉丁字母X、Y、Z等表示，而小写字母x、y、z等则表示随机变量相应于每个样本点的值，称为随机变量的观察值。 离散型随机变量 若一随机变量X的可能取值为有限个或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。 离散型随机变量X各个xi的概率公式 P（X=xi）= pi （1,2,…） 此公式称为离散型随机变量X的概率分布或分布律 ，也可用分布表示 X x1 x2 … xi P（X= xi） p1 p2 pi

离散型随机变量的性质 ① pi≥0 （i=1，2，…） ② 例2.5 一鱼缸中养有雄鱼、雌鱼各5尾，按放回方式从中任取2尾，每次一尾。用Y表示所取2尾中雌鱼的数量，写出Y的概率分布。 Y的概率分布： Y 1/4 1 2 P（Y=yi）    1/2  1/4 解：由题意知，2尾鱼共4种组合，即（雄、雄）、（雄、雌）、（雌、雄）、（雌、雌），则Y的可能有取值为0，1，2，各个可能取值的概率为：

离散型随机变量的平均数与方差 若 绝对收敛，则 称为X的平均数或数学期望，记作μ或E（X），即 为X的方差，记作σ2或D（X），即

在任一固定点取值的概率都为零 ，通常考虑是在某一区间取值的概率，其所用工具是概率密度函数或概率分布函数 连续型随机变量 在任一固定点取值的概率都为零 ，通常考虑是在某一区间取值的概率，其所用工具是概率密度函数或概率分布函数 概念：对于随机变量X，若存在一个非负可积函数f（x）（-∞＜x＜+∞﹚使得对于任意实数a、b（a＜b），都有 则称X为连续型随机变量，称f（x）为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数 性质： ① f(x)≥0 ② 满足性质①和②的函数f（x）一定可以作为某个连续型随机变量的概率密度函数。

概率密度曲线： 由概率密度函数f（x）所作的曲线称为概率密度曲线，简称密度曲线。 密度曲线在x轴的上方，它与x轴之间的面积为1。 随机变量X的取值落入区间[a，b]的概率等于以[a，b]为底，f（x）为顶的曲边梯形的面积

若记随机变量X的取值落入（-∞, x）的概率为F(x)，则 称F（x）为连续型随机变量X的分布函数。具有下列两条性质： ① F（x）为单调不减函数，右连续，即当x1＜x2时，F（x1）≤F（x2） ② F（-∞）=0，F（+∞）=1 若要计算X的取值落入[a，b]的概率，用分布函数表示为 概率密度函数与分布函数都可用来描述连续型随机变量的概率分布，它们的关系是微分与积分的关系，即

平均数 方差 设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，若无穷积分 绝对收敛，则称该积分为X的平均数或数学期望，记为μ 或E（X），即 设连续型随机变量X的概率密度为f（x），则 为X的方差，记为σ2或D(X)，即

例2.6 设随机变量X的概率密度为 求X的数学期望 与方差 解：